伝達関数のDCゲインを見つける方法（例付き）

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フィールド: 基本電気

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伝達関数とは

伝達関数は、制御システムの出力信号と入力信号との関係を記述します。ブロック図は、伝達関数を表すブロックと、異なる入力および出力信号を示す矢印を使用して制御システムを視覚化したものです。

伝達関数は、線形時不変動的システムの便利な表現です。数学的には、伝達関数は複素変数の関数です。

任意の制御システムにおいて、励起または原因として知られる参照入力が伝達関数を通じて作用し、制御された出力または応答を生み出します。

したがって、出力と入力との間の原因と結果の関係は、伝達関数によって結びついています。ラプラス変換では、入力を $R(s)$ で、出力を $C(s)$ で表すことができます。

制御システムの伝達関数は、出力変数のラプラス変換と入力変数のラプラス変換の比として定義され、すべての初期条件がゼロであると仮定します。

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

直流增益とは何ですか？

伝達関数には多くの有用な物理的な解釈があります。システムの定常状態ゲインは、単に定常状態での出力と入力の比を表す実数であり、負の無限大から正の無限大までの間で表現されます。

安定した制御システムがステップ入力で刺激された場合、応答は定常状態で一定のレベルに達します。

直流増益という用語は、定常状態の応答の振幅とステップ入力の振幅の比として説明されます。

直流増益は、定常状態のステップ応答の振幅とステップ入力の振幅の比です。最終値定理は、安定した伝達関数において、直流増益が0で評価された伝達関数の値であることを示しています。

一次システムの時間応答

動的システムの次数は、その支配的な微分方程式の最高次の導関数の次数です。一次システムは分析する上で最も単純な動的システムです。

定常ゲインまたはDCゲインの概念を理解するには、一般的な一次伝達関数を考えます。

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ はまた以下のようになります

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

ここで

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ は時間定数と呼ばれます。Kは直流ゲインまたは定常状態ゲインと呼ばれます

伝達関数の直流ゲインを求める方法

直流ゲインは、システムの定常状態出力とその一定入力、つまり単位ステップ応答の定常状態との比です。

伝達関数の直流ゲインを見つけるには、連続および離散線形変換逆（LTI）システムの両方を考慮してみましょう。

連続LTIシステムは以下のようになります

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

離散LTIシステムは以下のようになります

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

最終値定理を使用して、単位ステップ応答の定常状態を計算します。

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ が安定しており、すべての極が左側にある

したがって、

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

連続LTIシステムに使用される最終値定理の式は

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

離散LTIシステムに使用される最終値定理の式は

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

どちらの場合でも、システムが統合されている場合、結果は $\infty$ となります。

DCゲインは、定常状態の入力と出力の微分値の比であり、得られた出力を微分することで求めることができます。連続系システムと離散系システムの両方でほぼ同じです。

連続領域での微分

連続系システムまたは's'領域では、式（1）を微分するために、式に's'を乗じます。

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

ここで $\dot{Y(s)}$ は $\dot{y(t)}$

離散領域での微分

離散領域での微分は、最初の差分によって得られます。

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

したがって、離散領域での微分を行うには $\frac{z-1}{T_{z}}$

直流ゲインを求めるための数値例

例1

連続伝達関数を考えます。

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

上記伝達関数の直流ゲイン（定常状態ゲイン）を見つけるために、最終値定理を適用します。

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

直流ゲインは、ステップ入力に対する定常状態の値の比として定義されます。

直流ゲイン = $\frac{2}{1}=2$

したがって、直流ゲインの概念は安定性を持つシステムにのみ適用可能であることに注意することが重要です。

例2

次の式の直流ゲインを決定します

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

上記伝達関数のステップ応答は以下の通りです

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

次に、最終値定理を適用してDCゲインを求めます

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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