Jak znaleźć wzmocnienie stałe funkcji przekazania (z przykładami)

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Co to jest funkcja przekazująca

Funkcja przekazująca opisuje relację między sygnałem wyjściowym układu sterującego a sygnałem wejściowym. Diagram blokowy to wizualizacja układu sterującego, która używa bloków do reprezentacji funkcji przekazującej i strzałek reprezentujących różne sygnały wejściowe i wyjściowe.

Funkcja przekazująca jest wygodną reprezentacją liniowego, niezmiennego w czasie układu dynamicznego. Matematycznie funkcja przekazująca jest funkcją zmiennych zespolonych.

Dla każdego układu sterującego istnieje odniesienie wejściowe znane jako pobudzenie lub przyczyna, które działa poprzez funkcję przekazującą, aby wytworzyć efekt wynikający w kontrolowanym sygnale wyjściowym lub odpowiedzi.

W związku z tym relacja przyczynowo-skutkowa między sygnałem wyjściowym a wejściowym jest połączona przez funkcję przekazującą. W transformacie Laplace'a, jeśli wejście jest reprezentowane przez $R(s)$ , a wyjście jest reprezentowane przez $C(s)$ .

Funkcja przekazująca układu sterującego jest zdefiniowana jako stosunek transformaty Laplace'a zmiennej wyjściowej do transformaty Laplace'a zmiennej wejściowej, przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Co to jest wzmocnienie DC?

Funkcja przenoszenia ma wiele przydatnych fizycznych interpretacji. Wzmocnienie ustalone systemu to po prostu stosunek wyjścia do wejścia w stanie ustalonym, reprezentowany przez liczbę rzeczywistą między minus nieskończonością a plus nieskończonością.

Gdy stabilny system sterujący jest pobudzany sygnałem skokowym, odpowiedź w stanie ustalonym osiąga stały poziom.

Termin wzmocnienie DC opisuje stosunek amplitudy między odpowiedzią w stanie ustalonym a wejściem skokowym.

Wzmocnienie DC to stosunek wartości amplitudy odpowiedzi w stanie ustalonym do wartości amplitudy wejścia skokowego. Twierdzenie o wartości końcowej pokazuje, że wzmocnienie DC to wartość funkcji przenoszenia obliczona dla 0 dla stabilnych funkcji przenoszenia.

Odpowiedź czasowa pierwszego rzędu systemów

Rząd układu dynamicznego to rząd najwyższej pochodnej jego sterującej równania różniczkowego. Układy pierwszego rzędu są najprostszymi do analizy układami dynamicznymi.

Aby zrozumieć koncepcję stałej wzmocnienia lub wzmocnienia DC, rozważmy ogólną funkcję przekazu pierwszego rzędu.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ można również zapisać jako

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Tutaj,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ nazywany jest stałą czasową. K nazywane jest wzmocnieniem DC lub wzmocnieniem stanu ustalonego

Jak znaleźć wzmocnienie DC funkcji przenoszenia

Wzmocnienie DC to stosunek wyjścia systemu w stanie ustalonym do stałego wejścia, czyli stanu ustalonego odpowiedzi na skok jednostkowy.

Aby znaleźć wzmocnienie DC funkcji przenoszenia, rozważmy zarówno ciągłe, jak i dyskretne liniowe układy niezmiennicze (LTI).

Ciągły układ LTI dany jest jako

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Dyskretny układ LTI dany jest jako

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Użyj twierdzenia o wartości końcowej, aby obliczyć stan ustalony odpowiedzi na skok jednostkowy.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ jest stabilny i wszystkie bieguny leżą po lewej stronie

Stąd,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Wzór twierdzenia o wartości końcowej używany dla ciągłego systemu LTI to

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Wzór twierdzenia o wartości końcowej używany dla dyskretnego systemu LTI to

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

W obu przypadkach, jeśli system ma integrację, wynik będzie $\infty$ .

Zysk stały to stosunek między stałą wartością wejściową a pochodną wyjściową w stanie ustalonym, który można uzyskać poprzez różniczkowanie otrzymanego wyjścia. Jest prawie taki sam zarówno dla systemów ciągłych, jak i dyskretnych.

Różniczkowanie w dziedzinie ciągłej

W systemie ciągłym lub dziedzinie ‘s’, równanie (1) jest różniczkowane przez pomnożenie równania przez ‘s’.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

gdzie $\dot{Y(s)}$ jest transformacją Laplace’a $\dot{y(t)}$

Różniczkowanie w dziedzinie dyskretnej

Pochodna w dziedzinie dyskretnej może być uzyskana przez pierwszą różnicę.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Aby dokonać różniczkowania w dyskretnym obszarze, musimy pomnożyć $\frac{z-1}{T_{z}}$

Przykłady numeryczne do znalezienia wzmocnienia DC

Przykład 1

Rozważmy ciągłą funkcję przejściową,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Aby znaleźć wzmocnienie DC (wzmocnienie ustalone) powyższej funkcji przejściowej, zastosuj twierdzenie końcowej wartości

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Teraz zysk DC jest zdefiniowany jako stosunek wartości ustalonej do zastosowanego jednostkowego wejścia skokowego.

Zysk DC = $\frac{2}{1}=2$

W związku z tym należy zauważyć, że pojęcie zysku DC ma zastosowanie tylko do systemów, które są stabilne.

Przykład 2

Określ zysk DC dla równania

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Odpowiedź skokowa powyższego równania przekształcenia to

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Teraz zastosuj twierdzenie o wartości granicznej, aby znaleźć wzmocnienie DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Oświadczenie: Szanować oryginał, dobre artykuły są warte udostępniania, w przypadku naruszenia praw autorskich prosimy o kontakt w celu usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Systemy energetyczne

Systemy sterowania

O ekspertach

Electrical4u

China

Polecane

Więcej

Usterki i obsługa jednofazowego przewodzenia do ziemii w sieciach dystrybucyjnych 10kV

Charakterystyka i urządzenia do wykrywania uszkodzeń jednofazowych do ziemi1. Charakterystyka uszkodzeń jednofazowych do ziemiSygnały centralnego alarmu:Dzwonek ostrzegawczy dzwoni, a lampka wskaźnikowa z napisem „Uszkodzenie jednofazowe do ziemi na szynie [X] kV, sekcja [Y]” świeci się. W systemach z uziemieniem punktu neutralnego za pośrednictwem cewki Petersena (cewki gaszącej łuk) zapala się również lampka wskaźnikowa „Cewka Petersena włączona”.Wskazania woltomierza do monitorowania izolacji

Rockwill

01/30/2026

Tryb działania z uziemionym punktem neutralnym dla transformatorów sieci energetycznej 110kV～220kV

Układ ziemnego punktu neutralnego transformatorów w sieci energetycznej 110kV～220kV powinien spełniać wymagania wytrzymałości izolacji punktów neutralnych transformatorów, a także starać się utrzymać zerowe impedancje stacji przekształcających praktycznie niezmienione, zapewniając, że zerowa impedancja skupiona w dowolnym punkcie zastanym w systemie nie przekracza trzykrotności dodatniej impedancji skupionej.Dla nowo budowanych i modernizowanych transformatorów 220kV i 110kV ich tryby ziemienia

Vziman

01/29/2026

Dlaczego stacje przekształcające używają kamieni żwiru kamyków i drobnych skał

Dlaczego stacje przekształcające używają kamieni kruchych, żwiru, kamyków i drobnych kamieni?W stacjach przekształcających, urządzenia takie jak transformatory mocy i dystrybucyjne, linie przesyłowe, transformatory napięcia, transformatory prądu oraz wyłączniki odłączeniowe wymagają zazemblowania. Poza zazemblowaniem, teraz głębiej przyjrzymy się, dlaczego żwir i kamienie kruche są powszechnie używane w stacjach przekształcających. Choć wyglądają zwyczajnie, te kamienie odgrywają kluczową rolę b

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – Szybki wyłącznik obwodów SF₆

1.Definicja i funkcja1.1 Rola wyłącznika generatorowegoWyłącznik generatorowy (GCB) to sterowany punkt rozłączenia znajdujący się między generatorem a transformatorem podwyższającym, pełniąc rolę interfejsu między generatorem a siecią energetyczną. Jego główne funkcje obejmują izolowanie uszkodzeń po stronie generatora oraz umożliwienie kontroli operacyjnej podczas synchronizacji generatora i podłączenia do sieci. Zasada działania GCB nie różni się znacząco od zasady działania standardowego wyłą

Garca

01/06/2026