Comment trouver le gain en continu d'une fonction de transfert (exemples inclus)

Champ: Électricité de base

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Qu'est-ce qu'une Fonction de Transfert

Une fonction de transfert décrit la relation entre le signal de sortie d'un système de contrôle et le signal d'entrée. Un diagramme en bloc est une visualisation du système de contrôle qui utilise des blocs pour représenter la fonction de transfert et des flèches pour représenter les différents signaux d'entrée et de sortie.

La fonction de transfert est une représentation pratique d'un système dynamique linéaire invariant dans le temps. Mathématiquement, la fonction de transfert est une fonction de variables complexes.

Pour tout système de contrôle, il existe une entrée de référence connue sous le nom d'excitation ou de cause qui opère à travers une fonction de transfert pour produire un effet résultant en une sortie contrôlée ou en une réponse.

Ainsi, la relation de cause à effet entre la sortie et l'entrée est liée par une fonction de transfert. Dans une transformée de Laplace, si l'entrée est représentée par $R(s)$ et la sortie est représentée par $C(s)$ .

La fonction de transfert d'un système de contrôle est définie comme le rapport de la transformée de Laplace de la variable de sortie à la transformée de Laplace de la variable d'entrée, en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Qu'est-ce que le gain en courant continu ?

La fonction de transfert a de nombreuses interprétations physiques utiles. Le gain à l'état stable d'un système est simplement le rapport entre la sortie et l'entrée à l'état stable, représenté par un nombre réel compris entre moins l'infini et plus l'infini.

Lorsqu'un système de commande stable est stimulé par une entrée en échelon, la réponse à l'état stable atteint un niveau constant.

Le terme gain en courant continu est décrit comme le rapport d'amplitude entre la réponse à l'état stable et l'entrée en échelon.

Le gain en courant continu est le rapport de l'amplitude de la réponse à l'état stable à l'amplitude de l'entrée en échelon. Le théorème de la valeur finale démontre que le gain en courant continu est la valeur de la fonction de transfert évaluée à 0 pour les fonctions de transfert stables.

Réponse temporelle des systèmes du premier ordre

L'ordre d'un système dynamique est l'ordre de la dérivée la plus élevée de son équation différentielle de gouvernance. Les systèmes du premier ordre sont les systèmes dynamiques les plus simples à analyser.

Pour comprendre le concept de gain en régime permanent ou gain continu, considérez une fonction de transfert générale du premier ordre.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ peut également s'écrire comme

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Ici,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ est appelée la constante de temps. K est appelé le gain en courant continu ou gain à l'état stable

Comment trouver le gain en courant continu d'une fonction de transfert

Le gain en courant continu est le rapport entre la sortie à l'état stable d'un système et son entrée constante, c'est-à-dire l'état stable de la réponse à un échelon unitaire.

Pour trouver le gain en courant continu d'une fonction de transfert, considérons à la fois les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) continus et discrets.

Le système LTI continu est donné par

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Le système LTI discret est donné par

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Utilisez le théorème de la valeur finale pour calculer l'état stable de la réponse à un échelon unitaire.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ est stable et tous les pôles se situent du côté gauche

Par conséquent,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

La formule du théorème de la valeur finale utilisée pour un système LTI continu est

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

La formule du théorème de la valeur finale utilisée pour un système LTI discret est

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

Dans les deux cas, si le système a une intégration, le résultat sera $\infty$ .

Le gain en courant continu est le rapport entre l'entrée à l'état stable et la dérivée de sortie à l'état stable, qui peut être obtenue par différenciation de la sortie obtenue. Il est presque identique pour les systèmes continus et discrets.

Différentiation dans le domaine continu

Dans le système continu ou domaine 's', l'équation (1) est différentiée en multipliant l'équation par 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

où $\dot{Y(s)}$ est la transformée de Laplace de $\dot{y(t)}$

Différentiation dans le domaine discret

La dérivée dans le domaine discret peut être obtenue par une première différence.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Ainsi, pour différencier dans le domaine discret, nous devons multiplier $\frac{z-1}{T_{z}}$

Exemples numériques pour trouver le gain continu

Exemple 1

Considérons la fonction de transfert continue,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Pour trouver le gain continu (gain en régime permanent) de la fonction de transfert ci-dessus, appliquez le théorème de la valeur finale

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Maintenant, le gain en courant continu est défini comme le rapport de la valeur à l'état stable à l'entrée d'un échelon unitaire appliqué.

Gain en courant continu = $\frac{2}{1}=2$

Il est donc important de noter que le concept de gain en courant continu ne s'applique qu'aux systèmes qui sont stables par nature.

Exemple 2

Déterminez le gain en courant continu pour l'équation

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

La réponse indicielle de l'équation de transfert ci-dessus est

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Maintenant, appliquez le théorème de la valeur finale pour trouver le gain en continu.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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