कैसे एक स्थानांतरण फ़ंक्शन का डीसी गेन पाएं (उदाहरण सहित)

फील्ड: बुनियादी विद्युत

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ट्रांसफर फंक्शन क्या है

एक ट्रांसफर फंक्शन नियंत्रण प्रणाली के आउटपुट सिग्नल और इनपुट सिग्नल के बीच के संबंध का वर्णन करता है। एक ब्लॉक डायग्राम नियंत्रण प्रणाली का एक दृश्य रूप है जो ट्रांसफर फंक्शन को दर्शाने के लिए ब्लॉकों का उपयोग करता है और विभिन्न इनपुट और आउटपुट सिग्नल को दर्शाने के लिए तीरों का उपयोग करता है।

ट्रांसफर फंक्शन एक रैखिक समय-निर्विवाद गतिशील प्रणाली का सुविधाजनक प्रतिनिधित्व है। गणितीय रूप से ट्रांसफर फंक्शन जटिल चरों का एक फंक्शन है

किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए एक संदर्भ इनपुट होता है जिसे उत्तेजना या कारण के रूप में जाना जाता है, जो एक ट्रांसफर फंक्शन के माध्यम से संचालित होकर एक प्रभाव उत्पन्न करता है, जिसका परिणाम एक नियंत्रित आउटपुट या प्रतिक्रिया होती है।

इस प्रकार, आउटपुट और इनपुट के बीच का कारण और प्रभाव का संबंध एक ट्रांसफर फंक्शन के माध्यम से एक-दूसरे से जुड़ा होता है। लाप्लास रूपांतरण में, यदि इनपुट $R(s)$ द्वारा दर्शाया जाता है और आउटपुट $C(s)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

नियंत्रण प्रणाली ट्रांसफर फंक्शन को आउटपुट चर के लाप्लास रूपांतरण और इनपुट चर के लाप्लास रूपांतरण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, यह मानते हुए कि सभी प्रारंभिक स्थितियाँ शून्य हैं।

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

डीसी गेन क्या है?

संकलन फ़ंक्शन कई उपयोगी भौतिक व्याख्याएँ होती हैं। एक प्रणाली का स्थिर-अवस्था लाभ बस स्थिर-अवस्था में आउटपुट और इनपुट के अनुपात को दर्शाता है, जो ऋणात्मक अनंत और धनात्मक अनंत के बीच एक वास्तविक संख्या द्वारा प्रदर्शित होता है।

जब एक स्थिर नियंत्रण प्रणाली को एक स्टेप इनपुट से उत्तेजित किया जाता है, तो स्थिर-अवस्था में प्रतिक्रिया एक स्थिर स्तर पर पहुंचती है।

शब्द डीसी गेन को स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया और स्टेप इनपुट के बीच अम्प्लीचुअर के अनुपात के रूप में वर्णित किया जाता है।

डीसी गेन स्थिर-अवस्था स्टेप के प्रतिक्रिया के अम्प्लीचुअर और स्टेप इनपुट के अम्प्लीचुअर के बीच का अनुपात है। अंतिम मूल्य प्रमेय दर्शाता है कि डीसी गेन स्थिर ट्रांसफर फ़ंक्शनों के लिए 0 पर ट्रांसफर फ़ंक्शन का मूल्य है।

पहले क्रम की प्रणालियों का समय प्रतिक्रिया

एक गतिशील प्रणाली की कोटि उसके नियंत्रण अवकल समीकरण के सबसे ऊँचे अवकलज की कोटि होती है। पहली-कोटि की प्रणालियाँ विश्लेषण करने के लिए सबसे सरल गतिशील प्रणालियाँ होती हैं।

स्थिर-अवस्था लाभ या DC लाभ की अवधारणा को समझने के लिए एक सामान्य पहली-कोटि के ट्रांसफर फंक्शन को ध्यान में रखें।

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

यहाँ,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ को समय नियतांक कहा जाता है। K को डीसी गेन या स्थिरावस्था गेन कहा जाता है

ट्रांसफर फंक्शन के डीसी गेन कैसे खोजें

डीसी गेन एक प्रणाली के स्थिरावस्था आउटपुट और इसके नियत इनपुट के अनुपात को कहा जाता है, अर्थात् एकक स्टेप प्रतिक्रिया की स्थिरावस्था।

एक ट्रांसफर फंक्शन के डीसी गेन को खोजने के लिए, हम दोनों निरंतर और विच्छिन्न लिनियर ट्रांसफार्म इनवर्स (LTI) प्रणालियों को ध्यान में रखेंगे।

निरंतर LTI प्रणाली इस प्रकार दी जाती है

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

विच्छिन्न LTI प्रणाली इस प्रकार दी जाती है

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

अंतिम मान प्रमेय का उपयोग एकक स्टेप प्रतिक्रिया की स्थिरावस्था की गणना करने के लिए किया जाता है।

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ स्थिर है और सभी पोल बाएं हाथ की ओर स्थित हैं

इसलिए,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

सतत LTI प्रणाली के लिए अंतिम मान प्रमेय का सूत्र

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

डिस्क्रीट LTI प्रणाली के लिए अंतिम मान प्रमेय का सूत्र

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

दोनों मामलों में, यदि प्रणाली में एकीकरण है तो परिणाम होगा $\infty$ ।

स्थिर-अवस्था इनपुट और स्थिर-अवस्था आउटपुट के डेरिवेटिव के बीच का अनुपात डीसी गेन होता है, जो प्राप्त आउटपुट के डिफ़रेंशिएशन से प्राप्त किया जा सकता है। यह लगभग निरंतर और विक्षेपित प्रणाली दोनों के लिए समान होता है।

निरंतर क्षेत्र में डिफ़रेंशिएशन

निरंतर प्रणाली या 's' क्षेत्र में, समीकरण (1) को 's' से गुणा करके डिफ़रेंशिएशन किया जाता है।

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

जहाँ $\dot{Y(s)}$ लाप्लास ट्रांसफ़ोर्म है $\dot{y(t)}$

विक्षेपित क्षेत्र में डिफ़रेंशिएशन

विक्षेपित क्षेत्र में डेरिवेटिव को पहले अंतर से प्राप्त किया जा सकता है।

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

इस प्रकार डिस्क्रीट डोमेन में विभेदन करने के लिए, हमें $\frac{z-1}{T_{z}}$

डीसी गेन खोजने के लिए संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित निरंतर संचार फलन को ध्यान में रखें,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

उपरोक्त संचार फलन का डीसी गेन (स्थिर-अवस्था गेन) ज्ञात करने के लिए, अंतिम मूल्य प्रमेय लागू करें

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

अब डीसी गेन को स्थिरावस्था मान और लगाए गए इकाई स्टेप इनपुट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

डीसी गेन = $\frac{2}{1}=2$

इसलिए यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि डीसी गेन की अवधारणा केवल उन प्रणालियों पर लागू होती है जो स्थिर होती हैं।

उदाहरण 2

समीकरण के लिए डीसी गेन निर्धारित करें

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

उपरोक्त स्थानांतरण समीकरण का चरण प्रतिक्रिया है

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

अब DC गेन खोजने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय को लागू करें।

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

कथन: मूल का सम्मान करें, अच्छे लेख साझा करने योग्य हैं, यदि कोई उल्लंघन है तो कृपया हटाने के लिए संपर्क करें।

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