Как найти постоянную составляющую коэффициента передачи функции передачи (включая примеры)

Поле: Основы электротехники

China

Что такое передаточная функция

Передаточная функция описывает соотношение между выходным сигналом системы управления и входным сигналом. Блок-схема — это визуализация системы управления, которая использует блоки для представления передаточной функции и стрелки, обозначающие различные входные и выходные сигналы.

Передаточная функция является удобным представлением линейной динамической системы с постоянными параметрами. Математически передаточная функция представляет собой функцию комплексных переменных.

Для любой системы управления существует опорный вход, известный как возбуждение или причина, который действует через передаточную функцию, создавая эффект, приводящий к управляемому выходу или отклику.

Таким образом, причинно-следственная связь между выходом и входом связана друг с другом через передаточную функцию. В преобразовании Лапласа, если вход представлен как $R(s)$ , а выход представлен как $C(s)$ .

Передаточная функция системы управления определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной, предполагая, что все начальные условия равны нулю.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Что такое постоянная (DC) передаточная функция?

Передаточная функция имеет много полезных физических интерпретаций. Постоянная передаточная функция системы представляет собой просто отношение выхода и входа в установившемся режиме, выраженное вещественным числом между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью.

Когда стабильная система управления стимулируется ступенчатым входом, реакция в установившемся режиме достигает постоянного уровня.

Термин постоянная (DC) передаточная функция описывается как отношение амплитуды между реакцией в установившемся режиме и ступенчатым входом.

Постоянная (DC) передаточная функция — это отношение величины реакции на ступенчатый вход в установившемся режиме к величине ступенчатого входа. Теорема окончательного значения показывает, что постоянная (DC) передаточная функция является значением передаточной функции, оцененной при 0 для устойчивых передаточных функций.

Временная характеристика систем первого порядка

Порядок динамической системы — это порядок наивысшей производной управляющего дифференциального уравнения. Системы первого порядка являются самыми простыми динамическими системами для анализа.

Для понимания концепции установившегося коэффициента усиления или коэффициента усиления по постоянному току рассмотрим общую передаточную функцию первого порядка.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ также можно записать как

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Здесь,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ называется постоянной времени. K называется коэффициентом усиления по постоянному току или стационарным коэффициентом усиления

Как найти коэффициент усиления по постоянному току передаточной функции

Коэффициент усиления по постоянному току — это отношение установившегося выхода системы к её постоянному входу, то есть установившееся значение единичного ступенчатого отклика.

Для нахождения коэффициента усиления по постоянному току передаточной функции рассмотрим как непрерывные, так и дискретные линейные инвариантные во времени (LTI) системы.

Непрерывная LTI система задается следующим образом

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Дискретная LTI система задается следующим образом

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Используйте теорему конечного значения для вычисления установившегося значения единичного ступенчатого отклика.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ устойчив и все полюсы находятся на левой стороне

Следовательно,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Формула теоремы о конечном значении для непрерывной ЛИС используется следующая

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Формула теоремы о конечном значении для дискретной ЛИС имеет вид

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

В обоих случаях, если система имеет интеграцию, результат будет $\infty$ .

Постоянная составляющая (DC) усиления — это отношение между стационарным входом и стационарной производной выхода, которое можно получить путем дифференцирования полученного выхода. Оно почти одинаково для непрерывных и дискретных систем.

Дифференцирование в непрерывной области

В непрерывной системе или в области 's' уравнение (1) дифференцируется путем умножения уравнения на 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

где $\dot{Y(s)}$ — это преобразование Лапласа от $\dot{y(t)}$

Дифференцирование в дискретной области

Производная в дискретной области может быть получена с помощью первой разности.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Таким образом, для дифференцирования в дискретной области необходимо умножить $\frac{z-1}{T_{z}}$

Числовые примеры для нахождения постоянной составляющей усиления

Пример 1

Рассмотрим непрерывную передаточную функцию,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Для нахождения постоянной составляющей усиления (устойчивого состояния) данной передаточной функции применим теорему о конечном значении

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Теперь коэффициент усиления по постоянному току определяется как отношение установившегося значения к приложенному единичному ступенчатому входу.

Коэффициент усиления по постоянному току = $\frac{2}{1}=2$

Следовательно, важно отметить, что концепция коэффициента усиления по постоянному току применима только к тем системам, которые устойчивы по своей природе.

Пример 2

Определите коэффициент усиления по постоянному току для уравнения

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Ответ на ступенчатое воздействие для приведенного выше передаточного уравнения имеет вид

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Теперь применим теорему о конечном значении, чтобы найти коэффициент усиления по постоянному току.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Заявление: Уважайте оригинальные материалы, хорошие статьи достойны распространения, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Энергетические системы

Системы управления

О специалистах

Electrical4u

China

Область экспертизы

Basic Electrical

Профессиональная статья

607