Com es troba la ganància CC d'una funció de transferència (amb exemples inclosos)

Camp: Electricitat bàsica

China

Què és una Funció de Transferència

Una funció de transferència descriu la relació entre la senyal de sortida d'un sistema de control i la senyal d'entrada. Un diagrama de blocs és una visualització del sistema de control que utilitza blocs per representar la funció de transferència i fletxes per representar les diferents senyals d'entrada i sortida.

La funció de transferència és una representació convenient d'un sistema dinàmic lineal invariable en el temps. Matemàticament, la funció de transferència és una funció de variables complexes.

Per a qualsevol sistema de control, hi ha una entrada de referència coneguda com a excitació o causa que opera a través d'una funció de transferència per produir un efecte resultant en una sortida controlada o resposta.

Així, la relació de causa i efecte entre la sortida i l'entrada està enllaçada a través d'una funció de transferència. En una Transformada de Laplace, si l'entrada es representa per $R(s)$ i la sortida es representa per $C(s)$ .

La funció de transferència del sistema de control es defineix com la raó de la transformada de Laplace de la variable de sortida a la transformada de Laplace de la variable d'entrada, assumint que totes les condicions inicials són zero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Què és el guany CC?

La funció de transferència té moltes interpretacions físiques útils. El guany en estat estacionari d'un sistema és simplement la raó entre la sortida i la entrada en estat estacionari representada per un nombre real entre menys infinit i més infinit.

Quan un sistema de control estable es estimula amb una entrada de pas, la resposta a l'estat estacionari arriba a un nivell constant.

El terme guany CC es descriu com la raó entre l'amplitud de la resposta en estat estacionari i l'entrada de pas.

El guany CC és la raó entre la magnitud de la resposta al pas en estat estacionari i la magnitud de l'entrada de pas. El teorema del valor final demostra que el guany CC és el valor de la funció de transferència avaluat a 0 per a funcions de transferència estables.

Resposta temporal dels sistemes d'ordre primer

L'ordre d'un sistema dinàmic és l'ordre de la derivada més alta de la seva equació diferencial governant. Els sistemes de primer ordre són els sistemes dinàmics més simples d'anàlisi.

Per entendre el concepte de guany estacionari o guany DC, considera una funció de transferència general de primer ordre.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ també es pot escriure com

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Aquí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ s'anomena constant de temps. K s'anomena guany DC o guany estacionari

Com trobar el guany DC d'una funció de transferència

El guany DC és la raó entre la sortida estacionària d'un sistema i la seva entrada constant, és a dir, l'estat estacionari de la resposta a un esglaó unitat.

Per trobar el guany DC d'una funció de transferència, considerem tant sistemes LTI (Linear Time-Invariant) continus com discrets.

El sistema LTI continu es dona com

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

El sistema LTI discret es dona com

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Utilitza el teorema del valor final per calcular l'estat estacionari de la resposta a un esglaó unitat.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ és estable i tots els pols es troben al costat esquerre

Per tant,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilitzada per a un sistema LTI continu és

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilitzada per a un sistema LTI discret és

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

En tots dos casos, si el sistema té una integració, el resultat serà $\infty$ .

El guany en corrent contínua és la relació entre l'entrada estacionària i la derivada estacionària de la sortida, que es pot obtenir mitjançant la diferenciació de la sortida obtinguda. És gairebé el mateix per als sistemes continus i discrets.

Diferenciació en el domini continu

En el sistema continu o domini 's', l'equació (1) es diferencia multiplicant l'equació per 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

on $\dot{Y(s)}$ és la transformada de Laplace de $\dot{y(t)}$

Diferenciació en el domini discret

La derivada en el domini discret es pot obtenir mitjançant una primera diferència.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Per tant, per diferenciar en el domini discret, hem de multiplicar $\frac{z-1}{T_{z}}$

Exemples numèrics per trobar la ganància DC

Exemple 1

Considerem la funció de transferència contínua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Per trobar la ganància DC (ganància en estat estacionari) de la funció de transferència anterior, apliquem el teorema del valor final

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Ara el guany DC es defineix com la raó entre el valor estacionari i la entrada d'escala unitària aplicada.

Guany DC = $\frac{2}{1}=2$

Per tant, és important tenir en compte que el concepte de guany DC només és aplicable a aquells sistemes que són estables per natura.

Exemple 2

Determineu el guany DC per a l'equació

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

La resposta al pas de la equació de transmissió anterior és

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Ara, apliqueu el teorema del valor final per trobar el guany DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles mereixen ser compartits, si hi ha infracció contacteu per eliminar.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Sistemes elèctrics

Sistemes de control

Sobre experts

Electrical4u

China

Recomanat

Més

Faltes i gestió d'una fàsica a terra en línies de distribució de 10kV

Característiques i dispositius de detecció de falles a terra monofàsiques1. Característiques de les falles a terra monofàsiquesSenyals d’alarma centrals:La campana d’avís sona i s’il·lumina la llum indicadora etiquetada «Falla a terra a la barra [X] kV, secció [Y]». En sistemes amb connexió a terra del punt neutre mitjançant una bobina de Petersen (bobina d’extinció d’arcs), també s’il·lumina la indicació «Bobina de Petersen en funcionament».Indicacions del voltímetre de supervisió d’aïllament:E

Rockwill

01/30/2026

Mode d'operació de connexió a terra del punt neutre per a transformadors de xarxes elèctriques de 110kV～220kV

L'arranjament dels modes d'operació de la connexió a terra del punt neutre per a les xarxes de transformadors de 110kV～220kV ha de complir els requisits de resistència a l'aislament dels punts neutrals dels transformadors, i també s'ha de procurar mantenir la impedància de seqüència zero de les subestacions bàsicament invariable, assegurant que la impedància de seqüència zero integral en qualsevol punt de curtcircuït al sistema no superi tres vegades la impedància de seqüència positiva integral.

Vziman

01/29/2026

Per què les subestacions utilitzen pedres guixes grava i roca trencada

Per què les subestacions utilitzen pedres, gravíl·la, piuladures i roca trencada?A les subestacions, equips com transformadors de potència i distribució, línies d'alta tensió, transformadors de tensió, transformadors de corrent, i interruptors de desconnectar, tots requereixen un aparatge a terra. Més enllà de l'aparatge a terra, ara explorarem en profunditat per què el gravíl·la i la roca trencada s'utilitzen sovint a les subestacions. Tot i que semblin ordinàries, aquestes pedres juguen un pap

Echo

01/29/2026

HECI GCB per generadors – Interruptor ràpid de circuit SF₆

1.Definició i funció1.1 Ròleg del Circuit Breaker del GeneradorEl Circuit Breaker del Generador (GCB) és un punt de desconnectatge controlable situat entre el generador i el transformador d'elecció, servint com a interfície entre el generador i la xarxa elèctrica. Les seves funcions principals inclouen l'aïllament de les faltes del costat del generador i l'habilitació del control operatiu durant la sincronització del generador i la connexió a la xarxa. El principi d'operació d'un GCB no difereix

Garca

01/06/2026