Com es troba la ganància CC d'una funció de transferència (amb exemples inclosos)

Camp: Electricitat bàsica

China

Què és una Funció de Transferència

Una funció de transferència descriu la relació entre la senyal de sortida d'un sistema de control i la senyal d'entrada. Un diagrama de blocs és una visualització del sistema de control que utilitza blocs per representar la funció de transferència i fletxes per representar les diferents senyals d'entrada i sortida.

La funció de transferència és una representació convenient d'un sistema dinàmic lineal invariable en el temps. Matemàticament, la funció de transferència és una funció de variables complexes.

Per a qualsevol sistema de control, hi ha una entrada de referència coneguda com a excitació o causa que opera a través d'una funció de transferència per produir un efecte resultant en una sortida controlada o resposta.

Així, la relació de causa i efecte entre la sortida i l'entrada està enllaçada a través d'una funció de transferència. En una Transformada de Laplace, si l'entrada es representa per $R(s)$ i la sortida es representa per $C(s)$ .

La funció de transferència del sistema de control es defineix com la raó de la transformada de Laplace de la variable de sortida a la transformada de Laplace de la variable d'entrada, assumint que totes les condicions inicials són zero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Què és el guany CC?

La funció de transferència té moltes interpretacions físiques útils. El guany en estat estacionari d'un sistema és simplement la raó entre la sortida i la entrada en estat estacionari representada per un nombre real entre menys infinit i més infinit.

Quan un sistema de control estable es estimula amb una entrada de pas, la resposta a l'estat estacionari arriba a un nivell constant.

El terme guany CC es descriu com la raó entre l'amplitud de la resposta en estat estacionari i l'entrada de pas.

El guany CC és la raó entre la magnitud de la resposta al pas en estat estacionari i la magnitud de l'entrada de pas. El teorema del valor final demostra que el guany CC és el valor de la funció de transferència avaluat a 0 per a funcions de transferència estables.

Resposta temporal dels sistemes d'ordre primer

L'ordre d'un sistema dinàmic és l'ordre de la derivada més alta de la seva equació diferencial governant. Els sistemes de primer ordre són els sistemes dinàmics més simples d'anàlisi.

Per entendre el concepte de guany estacionari o guany DC, considera una funció de transferència general de primer ordre.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ també es pot escriure com

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Aquí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ s'anomena constant de temps. K s'anomena guany DC o guany estacionari

Com trobar el guany DC d'una funció de transferència

El guany DC és la raó entre la sortida estacionària d'un sistema i la seva entrada constant, és a dir, l'estat estacionari de la resposta a un esglaó unitat.

Per trobar el guany DC d'una funció de transferència, considerem tant sistemes LTI (Linear Time-Invariant) continus com discrets.

El sistema LTI continu es dona com

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

El sistema LTI discret es dona com

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Utilitza el teorema del valor final per calcular l'estat estacionari de la resposta a un esglaó unitat.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ és estable i tots els pols es troben al costat esquerre

Per tant,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilitzada per a un sistema LTI continu és

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilitzada per a un sistema LTI discret és

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

En tots dos casos, si el sistema té una integració, el resultat serà $\infty$ .

El guany en corrent contínua és la relació entre l'entrada estacionària i la derivada estacionària de la sortida, que es pot obtenir mitjançant la diferenciació de la sortida obtinguda. És gairebé el mateix per als sistemes continus i discrets.

Diferenciació en el domini continu

En el sistema continu o domini 's', l'equació (1) es diferencia multiplicant l'equació per 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

on $\dot{Y(s)}$ és la transformada de Laplace de $\dot{y(t)}$

Diferenciació en el domini discret

La derivada en el domini discret es pot obtenir mitjançant una primera diferència.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Per tant, per diferenciar en el domini discret, hem de multiplicar $\frac{z-1}{T_{z}}$

Exemples numèrics per trobar la ganància DC

Exemple 1

Considerem la funció de transferència contínua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Per trobar la ganància DC (ganància en estat estacionari) de la funció de transferència anterior, apliquem el teorema del valor final

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Ara el guany DC es defineix com la raó entre el valor estacionari i la entrada d'escala unitària aplicada.

Guany DC = $\frac{2}{1}=2$

Per tant, és important tenir en compte que el concepte de guany DC només és aplicable a aquells sistemes que són estables per natura.

Exemple 2

Determineu el guany DC per a l'equació

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

La resposta al pas de la equació de transmissió anterior és

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Ara, apliqueu el teorema del valor final per trobar el guany DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles mereixen ser compartits, si hi ha infracció contacteu per eliminar.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Sistemes elèctrics

Sistemes de control

Sobre experts

Electrical4u

China

Recomanat

Més

Normes de selecció de penetracions dealta tensió per a transformadors elèctrics

1. Estructura i classificació de les empremadesLes formes estructurals i la classificació de les empremades es mostren a la taula següent: Número de sèrie Característica de classificació Categoria 1 Estructura principal d'aislament Tipus capacitivaPaper impregnat amb resinaPaper impregnat amb oli Tipus no capacitiva Aislament de gasAislament líquidResina de col·locacióAislament compost 2 Material d'aislament extern Pòrcel·laCauch plastificat de silici 3

James

12/20/2025

Guia de procediments d'instal·lació i manipulació de transformadors de gran potència

1. Arrossegament Mecànic Direct de Transformadors de Gran PotènciaQuan es transportin transformadors de gran potència mitjançant arrossegament mecànic directe, s’han de dur a terme correctament les següents tasques:Investigar l'estructura, amplada, gradient, pendent, inclinació, angles de gir i capacitat de càrrega de carreteres, ponts, col·lectors, clavegueres, etc., al llarg del recorregut; reforçar-los si és necessari.Estudiar els obstacles aeris al llarg del recorregut, com ara línies elèctr

Vziman

12/20/2025

5 Tècniques de diagnòstic de faltes per a transformadors elèctrics grans

Mètodes de diagnòstic de falles en transformadors1. Mètode de ràtios per l'anàlisi de gasos dissoltsPer a la majoria dels transformadors d'oli, són produïts certs gasos combustibles al dipòsit del transformador sota estress tèrmic i elèctric. Els gasos combustibles dissolts a l'oli es poden utilitzar per determinar les característiques de descomposició tèrmica del sistema d'aïllament oli-papí del transformador basant-se en el seu contingut específic de gasos i ràtios. Aquesta tecnologia va ser u

Vziman

12/20/2025

17 Preguntes freqüents sobre transformadors elèctrics

1 Per què el nucli del transformador ha de estar connectat a terra?Durant l'operació normal dels transformadors d'energia, el nucli ha de tenir una connexió a terra fiable. Sense aquesta connexió, una tensió flotant entre el nucli i la terra podria causar descàrregues intermittenents. La connexió a terra en un sol punt elimina la possibilitat de potencial flotant al nucli. Tanmateix, quan hi ha dos o més punts de connexió a terra, els potencials desiguals entre les seccions del nucli creen corre

Vziman

12/20/2025