Как да намерите DC придобивката на една передавателна функция (включени са примери)

Поле: Основни електротехника

China

Какво е преходна функция

Преходната функция описва връзката между изходния сигнал на система за управление и входния сигнал. Блоковата диаграма е визуализация на системата за управление, която използва блокове за представяне на преходната функция и стрели, представляващи различните входни и изходни сигнали.

Преходната функция е удобно представяне на линейна времево-инвариантна динамична система. Математически преходната функция е функция на комплексни променливи.

За всяка система за управление има референтен вход, известен като възбуждение или причина, който действа чрез преходна функция, за да произведе ефект, резултиращ в контролиран изход или отговор.

Така, връзката между причината и ефекта между изход и вход се свързва помежду си чрез преходна функция. В преобразуването на Лаплас, ако входът е представен от $R(s)$ , а изходът е представен от $C(s)$ .

Преходната функция на системата за управление е дефинирана като отношението на преобразуването на Лаплас на изходната променлива към преобразуването на Лаплас на входната променлива, при условие, че всички начални условия са нула.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Какво е DC Gain?

Функцията на преноса има много полезни физически интерпретации. Статичното увелиление на системата е просто съотношението между изхода и входа в стабилно състояние, представено от реално число между отрицателна безкрайност и положителна безкрайност.

Когато стабилна система за управление е стимулирана със стъпков вход, отговорът в стабилно състояние достига постоянен ниво.

Терминът DC gain се описва като съотношението на амплитудите между отговора в стабилно състояние и стъпковия вход.

DC gain е съотношението на големината на отговора до стабилното състояние на стъпковия вход. Теоремата за крайна стойност показва, че DC gain е стойността на функцията на преноса, оценена при 0 за стабилни функции на пренос.

Времев отговор на първопорядкови системи

Поръчката на динамична система е поръчката на най-високата производна на управляващото диференциално уравнение. Системи от първи ред са най-простите динамични системи за анализ.

За да разберете концепцията за постоянна печалба или DC печалба, разгледайте обща функция на прехвърляне от първи ред.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ може също да бъде записан като

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Тук,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ се нарича времева константа. K се нарича DC усиление или стационарно усиление

Как да намерите DC усиление на трансферна функция

DC усиление е отношението между стационарния изход на системата и нейния постоянен вход, т.е. стационарната част на отговора на единична стъпка.

За да намерим DC усиление на трансферна функция, нека разгледаме както непрекъснати, така и дискретни линейни инверсни (LTI) системи.

Непрекъснатата LTI система е дадена като

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Дискретната LTI система е дадена като

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Използвайте теоремата за крайна стойност, за да изчислите стационарната част на отговора на единична стъпка.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ е стабилна и всички полюси са на лявата страна

Следователно,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Формулата за крайната теорема, използвана за непрекъсната LTI система, е

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Формулата за крайната теорема, използвана за дискретна LTI система, е

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

В двете случаи, ако системът има интеграция, резултатът ще бъде $\infty$ .

DC приходът е отношението между устойчивия вход и устойчивата производна на изхода, което може да се получи чрез диференциране на полученния изход. Той е почти същият за непрекъснатите и дискретните системи.

Диференциране в непрекъснатата област

В непрекъснатата система или област 's', уравнение (1) се диференцира, като умножаваме уравнението по 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

където $\dot{Y(s)}$ е преобразуването на Лаплас от $\dot{y(t)}$

Диференциране в дискретната област

Производната в дискретната област може да се получи чрез първа разлика.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

За да диференцираме в дискретната област, трябва да умножим $\frac{z-1}{T_{z}}$

Числови примери за намиране на DC прираст

Пример 1

Разгледайте непрекъснатата передаваща функция,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

За да намерите DC прираста (постоянна стойност) на горната передаваща функция, приложете теоремата за крайна стойност

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Сега DC gain се дефинира като отношението на стабилната стойност към приложния единичен стъпков вход.

DC Gain = $\frac{2}{1}=2$

Затова е важно да се отбележи, че концепцията за DC Gain е приложима само за системи, които са по природа стабилни.

Пример 2

Определете DC gain за уравнението

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Стъпковият отговор на горното преносно уравнение е

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Сега, приложете теоремата за крайна стойност, за да намерите DC gain.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Изявление: Уважавайте оригинала, статиите от високо качество заслужават споделяне, ако има нарушение на авторските права, моля, се свържете за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Електрически системи

Управлени системи

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607