Paano Makuha ang DC Gain ng Isang Transfer Function (Kasama ang mga Halimbawa)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Transfer Function

Ang transfer function ay naglalarawan ng relasyon sa pagitan ng output signal ng isang control system at ang input signal. Ang block diagram ay isang visualization ng control system na gumagamit ng mga block para kumatawan sa transfer function at mga arrow na kumakatawan sa iba't ibang input at output signals.

Ang transfer function ay isang convenient na representation ng isang linear time-invariant dynamical system. Matematikal ang transfer function ay isang function ng complex variables

Para sa anumang control system, mayroong isang reference input na kilala bilang excitation o cause na gumagana sa pamamagitan ng isang transfer function upang mabuo ang isang effect na nagsisilbing controlled output o response.

Kaya, ang relasyon ng cause at effect sa pagitan ng output at input ay konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng isang transfer function. Sa Laplace Transform, kung ang input ay kinakatawan ng $R(s)$ at ang output ay kinakatawan ng $C(s)$ .

Ang transfer function ng control system ay inilalarawan bilang ang ratio ng Laplace transform ng output variable sa Laplace transform ng input variable, na nagsasangguni na ang lahat ng initial conditions ay zero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Ano ang DC Gain?

Ang function ng transfer ay may maraming kapaki-pakinabang na pisikal na interpretasyon. Ang steady-state gain ng isang sistema ay simpleng ratio ng output at input sa steady-state na kinakatawan ng tunay na numero sa pagitan ng negatibong walang hanggan at positibong walang hanggan.

Kapag isang stable control system ay hinudyahan ng step input, ang tugon sa steady-state ay umabot sa constant na antas.

Ang termino DC gain ay inilalarawan bilang ratio ng amplitude sa pagitan ng tugon sa steady-state at step input.

Ang DC gain ay ang ratio ng magnitude ng tugon sa steady-state step sa magnitude ng step input. Ang final value theorem ay nagpapakita na ang DC gain ay ang halaga ng function ng transfer na itinantiya sa 0 para sa mga stable transfer functions.

Oras Tugon ng Unang Order na Mga Sistema

Ang order ng isang dynamic na sistema ay ang order ng pinakamataas na derivative ng kanyang governing differential equation. Ang mga unang-order na sistema ay ang pinakamadaling dynamic na sistema na analisin.

Upang maintindihan ang konsepto ng steady-state gain o DC gain, isipin ang isang pangkalahatang unang-order na transfer function.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ maaari ring isulat bilang

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Dito,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ ay tinatawag na time constant. Ang K ay tinatawag na DC gain o steady-state gain

Kung Paano Hanapin ang DC Gain ng isang Transfer Function

Ang DC gain ay ang ratio ng steady-state output ng isang sistema sa kanyang constant input, i.e., steady-state ng unit step response.

Upang hanapin ang DC gain ng isang transfer function, isang pag-aaral natin ang parehong continuous at discrete Linear Transform Inverse (LTI) systems.

Ang continuous LTI system ay ibinibigay bilang

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Ang discrete LTI system ay ibinibigay bilang

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Gumamit ng final value theorem upang kompyutin ang steady-state ng unit step response.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ ayon at ang lahat ng mga pole ay nasa kaliwang bahagi

Kaya,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Ang formula ng final value theorem na ginagamit para sa continuous LTI system ay

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Ang formula ng final value theorem na ginagamit para sa discrete LTI system ay

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

Sa parehong kaso, kung ang sistema ay may integrasyon, ang resulta ay $\infty$ .

Ang DC gain ay ang ratio sa pagitan ng steady-state input at ang steady-state derivative ng output na maaaring makamit sa pamamagitan ng differentiation ng nakuha na output. Ito ay halos pareho para sa parehong continuous at discrete system.

Differentiation sa Continuous Domain

Sa continuous system o 's' domain, ang equation (1) ay dinifferentiate sa pamamagitan ng pagmultiply ng equation sa 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

kung saan $\dot{Y(s)}$ ang Laplace transform ng $\dot{y(t)}$

Differentiation sa Discrete Domain

Ang derivative sa discrete domain ay maaaring makamit sa pamamagitan ng first difference.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Kaya upang mag-differentiate sa discrete domain, kailangan nating imultiply ang $\frac{z-1}{T_{z}}$

Mga Halimbawa ng Numerikal Upang Makuha ang DC Gain

Halimbawa 1

Isaalang-alang ang continuous transfer function,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Upang makuha ang DC gain (steady-state gain) ng itong transfer function, i-apply ang final value theorem

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Ngayon, ang DC gain ay inilalarawan bilang ratio ng steady state value sa applied unit step input.

DC Gain = $\frac{2}{1}=2$

Kaya mahalagang tandaan na ang konsepto ng DC Gain ay applicable lamang sa mga sistema na stable sa nature.

Halimbawa 2

Tuklasin ang DC gain para sa equation

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Ang tugon sa hakbang ng itinakdang ekwasyon ng paglilipat ay

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Ngayon, i-apply ang teorya ng huling halaga upang makahanap ng DC gain.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Pahayag: Respetuhin ang orihinal, mabubuting mga artikulo na karapat-dapat ibahagi, kung mayroong pagsasamantalang ipinapahayag mangyaring makipag-ugnayan upang alisin.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607