전달 함수의 DC 이득 찾기 (예제 포함)

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필드: 기본 전기학

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전달 함수란 무엇인가

전달 함수란 무엇인가?

전달 함수는 제어 시스템의 출력 신호와 입력 신호 사이의 관계를 설명합니다. 블록 다이어그램은 전달 함수를 나타내는 블록과 다양한 입력 및 출력 신호를 나타내는 화살표를 사용하여 제어 시스템을 시각화한 것입니다.

전달 함수는 선형 시간 불변 동적 시스템을 편리하게 표현하는 방법입니다. 수학적으로 전달 함수는 복소 변수의 함수입니다.

어떤 제어 시스템에서도 참조 입력으로 알려진 자극 또는 원인이 전달 함수를 통해 작용하여 제어된 출력 또는 응답을 생성합니다.

따라서 출력과 입력 사이의 원인과 결과의 관계는 전달 함수를 통해 서로 연결됩니다. 라플라스 변환에서 입력이 $R(s)$ 로 표시되고 출력이 $C(s)$ 로 표시됩니다.

제어 시스템의 전달 함수는 모든 초기 조건이 0이라고 가정할 때 출력 변수의 라플라스 변환과 입력 변수의 라플라스 변환의 비율로 정의됩니다.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

DC 이득이란?

전달 함수는 많은 유용한 물리적 해석을 가지고 있습니다. 시스템의 정상 상태 이득은 단순히 정상 상태에서 출력과 입력의 비율로 나타내어지는 실수입니다.

안정적인 제어 시스템에 계단 입력이 주어지면 응답이 정상 상태에서 일정한 수준에 도달합니다.

DC 이득이라는 용어는 정상 상태 응답의 진폭과 계단 입력의 진폭 사이의 비율로 설명됩니다.

DC 이득은 정상 상태 계단 응답의 크기와 계단 입력의 크기 사이의 비율입니다. 최종 값 정리는 안정적인 전달 함수에서 DC 이득이 0에서 평가된 전달 함수의 값임을 보여줍니다.

1차 시스템의 시간 응답

다이나믹 시스템의 차수는 그를 지배하는 미분방정식의 최고 차수입니다. 일차 시스템은 분석하기 가장 간단한 동적 시스템입니다.

정상 상태 이득 또는 DC 이득의 개념을 이해하려면 일반적인 일차 전달 함수를 고려해보세요.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ 는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

여기서,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ 는 시간 상수라고 합니다. K는 DC 게인 또는 정상 상태 게인이라고 합니다.

전달 함수의 DC 게인 찾기

DC 게인은 시스템의 정상 상태 출력과 일정한 입력, 즉 단위 계단 응답의 정상 상태의 비율입니다.

전달 함수의 DC 게인을 찾기 위해 연속 및 이산 선형 변환 역(LTI) 시스템을 고려해 보겠습니다.

연속 LTI 시스템은 다음과 같습니다

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

이산 LTI 시스템은 다음과 같습니다

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

최종값 정리를 사용하여 단위 계단 응답의 정상 상태를 계산합니다.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ 은 안정적이며 모든 극이 왼쪽에 위치함

따라서,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

연속 LTI 시스템에 사용되는 최종값 정리의 공식은 다음과 같습니다

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

이산 LTI 시스템에 사용되는 최종값 정리의 공식은 다음과 같습니다

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

두 경우 모두 시스템이 통합되어 있다면 결과는 $\infty$ 입니다.

DC 이득은 정상 상태 입력과 출력의 정상 상태 도함수 사이의 비율이며, 얻어진 출력의 미분을 통해 얻을 수 있습니다. 이는 연속 시스템과 이산 시스템에서 거의 동일합니다.

연속 영역에서의 미분

연속 시스템 또는 's' 영역에서, 방정식 (1)은 's'를 곱하여 미분됩니다.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

여기서 $\dot{Y(s)}$ 는 $\dot{y(t)}$

이산 영역에서의 미분

이산 영역에서의 도함수는 첫 번째 차분으로 얻을 수 있습니다.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

따라서 이산 영역에서 미분하려면 $\frac{z-1}{T_{z}}$

DC 이득을 찾기 위한 수치 예제

예제 1

연속 전달 함수를 고려해보겠습니다.

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

위 전달 함수의 DC 이득(정상 상태 이득)을 찾기 위해 최종값 정리를 적용합니다.

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

이제 DC 이득은 정상 상태 값과 적용된 단위 계단 입력의 비율로 정의됩니다.

DC 이득 = $\frac{2}{1}=2$

따라서 DC 이득의 개념은 안정적인 시스템에만 적용된다는 점을 주의해야 합니다.

예제 2

다음 방정식의 DC 이득을 결정하십시오

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

위 전달 함수의 스텝 응답은 다음과 같습니다

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

이제 최종값 정리를 적용하여 DC 이득을 찾습니다.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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