Cómo encontrar la ganancia en CC de una función de transferencia (con ejemplos incluidos)

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué es una Función de Transferencia?

Una función de transferencia describe la relación entre la señal de salida de un sistema de control y la señal de entrada. Un diagrama de bloques es una visualización del sistema de control que utiliza bloques para representar la función de transferencia y flechas para representar las diferentes señales de entrada y salida.

La función de transferencia es una representación conveniente de un sistema dinámico lineal e invariante en el tiempo. Matemáticamente, la función de transferencia es una función de variables complejas.

Para cualquier sistema de control, existe una entrada de referencia conocida como excitación o causa que opera a través de una función de transferencia para producir un efecto resultante en una salida controlada o respuesta.

Así, la relación de causa y efecto entre la salida y la entrada está vinculada a través de una función de transferencia. En una Transformada de Laplace, si la entrada se representa por $R(s)$ y la salida se representa por $C(s)$ .

La función de transferencia del sistema de control se define como la razón de la transformada de Laplace de la variable de salida a la transformada de Laplace de la variable de entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

¿Qué es la ganancia DC?

La función de transferencia tiene muchas interpretaciones físicas útiles. La ganancia en estado estacionario de un sistema es simplemente la relación entre la salida y la entrada en estado estacionario, representada por un número real entre menos infinito y más infinito.

Cuando un sistema de control estable se estimula con una entrada escalón, la respuesta en estado estacionario alcanza un nivel constante.

El término ganancia DC se describe como la relación entre la amplitud de la respuesta en estado estacionario y la entrada escalón.

La ganancia DC es la relación entre la magnitud de la respuesta al escalón en estado estacionario y la magnitud de la entrada escalón. El teorema del valor final demuestra que la ganancia DC es el valor de la función de transferencia evaluado en 0 para funciones de transferencia estables.

Respuesta temporal de sistemas de primer orden

El orden de un sistema dinámico es el orden de la derivada más alta de su ecuación diferencial gobernante. Los sistemas de primer orden son los sistemas dinámicos más sencillos de analizar.

Para entender el concepto de ganancia en estado estable o ganancia DC, considere una función de transferencia de primer orden general.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ también se puede escribir como

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Aquí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ se llama constante de tiempo. K se llama ganancia en estado estacionario o ganancia DC

Cómo encontrar la ganancia DC de una función de transferencia

La ganancia DC es la relación entre la salida en estado estacionario de un sistema y su entrada constante, es decir, el estado estacionario de la respuesta al escalón unitario.

Para encontrar la ganancia DC de una función de transferencia, consideremos tanto sistemas LTI (Lineal Invariante en el Tiempo) continuos como discretos.

El sistema LTI continuo se da como

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

El sistema LTI discreto se da como

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Utilice el teorema del valor final para calcular el estado estacionario de la respuesta al escalón unitario.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ es estable y todos los polos se encuentran en el lado izquierdo

Por lo tanto,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilizada para un sistema LTI continuo es

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

La fórmula del teorema del valor final utilizada para un sistema LTI discreto es

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

En ambos casos, si el sistema tiene una integración, el resultado será $\infty$ .

La ganancia en corriente continua es la relación entre la entrada en estado estacionario y la derivada en estado estacionario de la salida, que se puede obtener mediante la diferenciación de la salida obtenida. Es prácticamente la misma tanto para sistemas continuos como discretos.

Diferenciación en el dominio continuo

En el sistema continuo o dominio 's', la ecuación (1) se diferencia multiplicando la ecuación por 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

donde $\dot{Y(s)}$ es la transformada de Laplace de $\dot{y(t)}$

Diferenciación en el dominio discreto

La derivada en el dominio discreto se puede obtener mediante una primera diferencia.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Por lo tanto, para diferenciar en el dominio discreto, necesitamos multiplicar $\frac{z-1}{T_{z}}$

Ejemplos Numéricos para Encontrar la Ganancia DC

Ejemplo 1

Considere la función de transferencia continua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Para encontrar la ganancia DC (ganancia en estado estacionario) de la función de transferencia anterior, aplique el teorema del valor final

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Ahora, la ganancia en corriente continua se define como la relación entre el valor en estado estacionario y la entrada de paso unitario aplicada.

Ganancia en CC = $\frac{2}{1}=2$

Por lo tanto, es importante tener en cuenta que el concepto de ganancia en corriente continua es aplicable solo a aquellos sistemas que son inherentemente estables.

Ejemplo 2

Determine la ganancia en corriente continua para la ecuación

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

La respuesta al escalón de la ecuación de transferencia anterior es

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Ahora, aplique el teorema del valor final para encontrar la ganancia DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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