Como Encontrar o Ganho DC de uma Função de Transferência (Exemplos Incluídos)

Campo: Eletricidade Básica

China

O que é uma Função de Transferência

Uma função de transferência descreve a relação entre o sinal de saída de um sistema de controle e o sinal de entrada. Um diagrama de blocos é uma visualização do sistema de controle que usa blocos para representar a função de transferência e setas para representar os diferentes sinais de entrada e saída.

A função de transferência é uma representação conveniente de um sistema dinâmico linear e invariante no tempo. Matematicamente, a função de transferência é uma função de variáveis complexas

Para qualquer sistema de controle, existe uma entrada de referência conhecida como excitação ou causa que opera através de uma função de transferência para produzir um efeito resultando em uma saída controlada ou resposta.

Assim, a relação de causa e efeito entre a saída e a entrada está ligada uma à outra através de uma função de transferência. Na Transformada de Laplace, se a entrada for representada por $R(s)$ e a saída for representada por $C(s)$ .

A função de transferência do sistema de controle é definida como a razão da transformada de Laplace da variável de saída para a transformada de Laplace da variável de entrada, assumindo que todas as condições iniciais são zero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

O que é Ganho CC?

A função de transferência possui muitas interpretações físicas úteis. O ganho em regime permanente de um sistema é simplesmente a razão entre a saída e a entrada em regime permanente, representada por um número real entre menos infinito e mais infinito.

Quando um sistema de controle estável é estimulado com uma entrada em degrau, a resposta em regime permanente atinge um nível constante.

O termo ganho CC é descrito como a razão entre a amplitude da resposta em regime permanente e a entrada em degrau.

O ganho CC é a razão entre a magnitude da resposta ao degrau em regime permanente e a magnitude da entrada em degrau. O teorema do valor final demonstra que o ganho CC é o valor da função de transferência avaliada em zero para funções de transferência estáveis.

Resposta Temporal de Sistemas de Primeira Ordem

A ordem de um sistema dinâmico é a ordem da derivada mais alta de sua equação diferencial governante. Os sistemas de primeira ordem são os sistemas dinâmicos mais simples para analisar.

Para entender o conceito de ganho em estado estacionário ou ganho DC, considere uma função de transferência geral de primeira ordem.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ também pode ser escrito como

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Aqui,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ é chamado de constante de tempo. K é chamado de ganho DC ou ganho em estado estacionário

Como Encontrar o Ganho DC de uma Função de Transferência

O ganho DC é a razão entre a saída em estado estacionário de um sistema e sua entrada constante, ou seja, o estado estacionário da resposta ao degrau unitário.

Para encontrar o ganho DC de uma função de transferência, vamos considerar tanto sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) contínuos quanto discretos.

O sistema LTI contínuo é dado por

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

O sistema LTI discreto é dado por

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Use o teorema do valor final para calcular o estado estacionário da resposta ao degrau unitário.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ é estável e todos os polos estão no lado esquerdo

Portanto,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

A fórmula do teorema do valor final usada para um sistema LTI contínuo é

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

A fórmula do teorema do valor final usada para um sistema LTI discreto é

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

Em ambos os casos, se o sistema tiver uma integração, o resultado será $\infty$ .

O ganho DC é a razão entre a entrada em estado estacionário e a derivada em estado estacionário da saída, que pode ser obtida através da diferenciação da saída obtida. É praticamente o mesmo para sistemas contínuos e discretos.

Diferenciação no Domínio Contínuo

No sistema contínuo ou domínio 's', a equação (1) é diferenciada multiplicando a equação por 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

onde $\dot{Y(s)}$ é a transformada de Laplace de $\dot{y(t)}$

Diferenciação no Domínio Discreto

A derivada no domínio discreto pode ser obtida através de uma primeira diferença.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Portanto, para diferenciar no domínio discreto, precisamos multiplicar $\frac{z-1}{T_{z}}$

Exemplos Numéricos Para Encontrar o Ganho DC

Exemplo 1

Considere a função de transferência contínua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Para encontrar o ganho DC (ganho em estado estacionário) da função de transferência acima, aplique o teorema do valor final

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Agora, o ganho DC é definido como a razão entre o valor em estado estacionário e a entrada degrau unitário aplicada.

Ganho DC = $\frac{2}{1}=2$

Portanto, é importante observar que o conceito de Ganho DC é aplicável apenas a sistemas que são estáveis por natureza.

Exemplo 2

Determine o ganho DC para a equação

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

A resposta ao degrau da equação de transferência acima é

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Agora, aplique o teorema do valor final para encontrar o ganho DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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