كيفية إيجاد مكاسب التيار المستمر لدالة التحويل (شاملة أمثلة)

حقل: الكهرباء الأساسية

China

ما هي دالة التحويل

تقوم دالة التحويل بوصف العلاقة بين إشارة الإخراج لنظام التحكم وإشارة الإدخال. يتم استخدام مخطط الكتل لتصور نظام التحكم حيث تمثل الكتل دالة التحويل وتمثل الأسهم الإشارات المختلفة للإدخال والإخراج.

تعتبر دالة التحويل تمثيلاً مريحاً لنظام ديناميكي خطي ثابت زمنياً. رياضياً، فإن دالة التحويل هي دالة لمتغيرات معقدة.

لأي نظام تحكم، هناك إدخال مرجعي يُعرف باسم الإثارة أو السبب الذي يعمل عبر دالة التحويل لإنتاج تأثير يؤدي إلى إخراج محكوم أو استجابة.

وبالتالي، فإن العلاقة بين السبب والنتيجة بين الإخراج والإدخال مرتبطة ببعضها البعض عبر دالة التحويل. في تحويل لابلاس، إذا تم تمثيل الإدخال بواسطة R(s) والإخراج بواسطة C(s).

يتم تعريف دالة التحويل لنظام التحكم كنسبة تحويل لابلاس للمتغير الخرج إلى تحويل لابلاس للمتغير الدخل، بافتراض أن جميع الظروف الأولية تساوي الصفر.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

ما هو المكسب الثابت؟

لدى دالة التحويل العديد من التفسيرات الفيزيائية المفيدة. المكسب الثابت للنظام هو ببساطة نسبة الإخراج إلى الإدخال في حالة الاستقرار، ويتم تمثيله برقم حقيقي يتراوح بين سالب اللانهاية وإيجابي اللانهاية.

عند تحفيز نظام تحكم مستقر بمدخل خطوة، يصل الاستجابة عند حالة الاستقرار إلى مستوى ثابت.

يُوصف مصطلح المكسب الثابت بأنه نسبة السعة بين استجابة حالة الاستقرار والمدخل الخطوة.

المكسب الثابت هو نسبة السعة بين استجابة حالة الاستقرار والمدخل الخطوة. يوضح نظرية القيمة النهائية أن المكسب الثابت هو قيمة دالة التحويل عند الصفر بالنسبة لدوال التحويل المستقرة.

استجابة الأنظمة من الدرجة الأولى الزمنية

ترتيب النظام الديناميكي هو رتبة أعلى مشتق لمعادلة التفاضلية التي تحكمه. أنظمة الرتبة الأولى هي الأنظمة الديناميكية الأكثر بساطة للتحليل.

لفهم مفهوم المكسب الثابت أو المكسب المستقر، ضع في اعتبارك دالة التحويل من الرتبة الأولى العامة.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ يمكن كتابتها أيضًا كـ

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

هنا،

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ يسمى الثابت الزمني. K يسمى المكاسب المستقرة أو المكاسب الثابتة

كيفية إيجاد المكاسب الثابتة لدالة التحويل

المكاسب الثابتة هي نسبة الإخراج المستقر لنظام إلى مدخله الثابت، أي الاستجابة المستقرة للخطوة الوحدوية.

لإيجاد المكاسب الثابتة لدالة التحويل، دعنا نعتبر أنظمة التحويل الخطية العكسية (LTI) المستمرة والمتقطعة.

نظام LTI المستمر يتم تعريفه كالتالي

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

نظام LTI المتقطع يتم تعريفه كالتالي

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

استخدم نظرية القيمة النهائية لحساب الاستجابة المستقرة للخطوة الوحدوية.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ مستقر وجميع الأقطاب تقع على الجانب الأيسر

وبالتالي،

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

صيغة نظرية القيمة النهائية المستخدمة لنظام LTI مستمر هي

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

صيغة نظرية القيمة النهائية المستخدمة لنظام LTI متقطع هي

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

في كلا الحالتين، إذا كان النظام مدمجاً سيكون النتيجة $\infty$ .

يُمكن الحصول على المكاسب الثابتة كنسبة بين الإدخال الثابت والمشتق الثابت للإخراج عبر التفاضل للإخراج المحصل عليه. وهي تكاد تكون متطابقة في كلا النظامين المستمر والمتقطع.