ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ: ਨਿਕਾਸ & ਪ੍ਰਸ਼ਨੂਤਤਾ

Electrical4u

ਫੀਲਡ: ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਿਜਲੀ

China

ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਕੀ ਹੈ?

ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ (ਜਿਸਨੂੰ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦਾ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਣ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਆਂਸ਼ਿਕ ਅੰਤਰਗਤਿਕ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ਜੋ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕਾਨਿਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਗਤੀਵਿਧੀ ਨੂੰ ਵਰਣਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਟਰੈਕਟੋਰੀ, ਪੋਜੀਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਊਰਜਾ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਸਬਾਟੋਮਿਕ ਪਾਰਟੀਕਲ ਲਈ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੋਡ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਤੇਮਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਉਗਰਾਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮੁੱਢਲੇ ਅਕਸੀਓਮਾਂ ਵਿਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀਆਂ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕਲ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦੇ ਸਿਲੈਬਸ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦੇਖਣਾ ਆਮ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸੈਮੀਕਾਂਡਕਟਰਾਂ ਤੱਕ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਦੁਖੀਅਤ ਨੂੰ, ਇਹ ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪੋਸਟੀਲੇਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮਿਲਣ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਅਸੰਤੋਸ਼ਜਨਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਗਰਾਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਸਿਖਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹਰ ਕੁਝ ਇਸ ਫਾਉਂਡੇਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸਕ੍ਰੈਚ ਤੋਂ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਮੈਂ ਆਪਣੀ ਸਾਰੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਾਂਗਾ ਕਿ ਹਰ ਸਟੈਪ ਨੂੰ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾਵੇ।

ਦਿਲਚਸਪ ਨੂੰ, ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਯੂਕਟ ਉਹੀ ਹਨ ਜੋ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਖੁਦ ਲਿਆ ਸਨ, ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੋਚਦਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ ਉਹ ਆਪਣੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਕਰ ਰਹੇ ਸਨ। ਯਾਦਦਾਸ਼ਤ ਲਈ, ਇਹ ਸਮੇਂ-ਨਿਰਪੇਖ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ 3-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ (ਅਨਰੈਲੈਟੀਵਿਸਟਿਕ ਪਾਰਟੀਕਲ ਲਈ) ਇਸ ਸੁੰਦਰਤਾ ਵਿੱਚ:

ਕੁਆਂਟਮ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਤਰੰਗਾਂ

ਹਰ ਕੋਈ ਕਲਾਸਿਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਬੈਗ ਆਉਟ ਕਰਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦਾ ਹੈ - ਪਰ ਇਹ ਸਾਡੇ ਲਈ ਬਹੁਤ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਬਹੁਤ ਅਚ੍ਛਾ ਸੇਵਾ ਕੀਤਾ (ਨਿਊਟਨੀਅਨ ਮੈਕਾਨਿਕਸ, ਮੈਕਸਵੈਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਣ, ਅਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਸੋਚੋ)।

ਪਰੰਤੂ, ਸਾਡੀਆਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਲੇਖਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਦੀ ਦੇ ਅੰਤ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਿਕ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਜਾਣੀ-ਭਾਣੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਬਹੁਤ ਚਮਕਦਾਰ ਨਹੀਂ ਲਗਦਾ। ਸਾਡੇ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਦੋ ਫ਼ਾਟਕਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਅਤੇ ਕਈ ਮਾਤਰਾ ਤੱਕ ਫ਼ੋਟੋਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਿਕ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਜਾਣੀ-ਭਾਣੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਾਲ ਠੀਕ ਮਿਲਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਪਰ ਕਿਉਂ? ਸਧਾਰਣ ਭਾਵ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਸਿਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਾਰਟੀਕਲਾਂ ਅਤੇ ਲਹਿਰਾਂ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਵਾਂ ਰੂਪਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਪਾਰਟੀਕਲ: ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਸਥਾਨਿਕ ਗੱਲਾਂ ਨਾਲ ਮੱਸਾਂ $m$ ।

ਲਹਿਰਾਂ: ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿੱਚ ਫੈਲੀ ਹੋਈ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲਹਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ $\psi(\vec{r}, t)$ ਜੋ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਲਹਿਰ ਨੂੰ ਵਰਣਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਸਾਡੇ ਫੋਟੋਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਇਮਿਸ਼ਨ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਹੈਲਕਟ੍ਰਾਨ ਦੇ ਆਸਚਰਜਿਹਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਜਾਣੀ-ਭਾਣੀ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਰੋਧੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵਾਂ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਮਿਲਦੇ-ਜੁਲਦੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਥਾ।

ਅਹੂਤ ਸਹੀ? ਇਸ ਸਮੇਂ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕਈ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਇਹ ਸਮਝਿਆ ਕਿ ਜਾਣਕਾਰੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੱਲੀ ਜਗਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਬੜਾ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਹੋਇਆ ਜਦੋਂ ਲੂਇਸ ਦੇ ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਨੇ ਇੱਕ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਹਿਰ ਦੇ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

ਇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੋ ਫੋਟੋਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਇਮੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੋਟੋਨਾਂ ਦੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਸ਼ੋਸ਼ ਅਤੇ ਉਗਾਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਇਹ ਅਭੀ ਵੀ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਕਿ ਇਹ ਕਿੱਥੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਜਾਂ ਵੇਵ ਹੈ) ਜਿਸ ਦੀ ਊਰਜਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

ਜਿੱਥੇ $\hbar = h/2\pi$ ਅਤੇ $\omega=2\pi f$ । ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਸੀ ਮੁਹਾਵੇ ਉੱਤੇ ਹਨ ਜਿਹੜਾ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਆਪਣੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਬਾਅਦ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ? ਠੀਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਅਤੇ ਫੋਟੋਨ ਵੇਵ-ਜਿਹੜੀ ਅਤੇ ਪਾਰਟੀਕਲ-ਜਿਹੜੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਗਲਤੀ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਯੱਦ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵੇਵਾਂ ਦੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਸਮੀਕਰਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਾਰਟੀਕਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਉਤੇ ਲਾਉਣ ਲਈ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਕੋਈ ਪਰਿਣਾਮ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।

ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ

ਦੋਲਣ $\psi(\vec{r}, t)$ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਮੰਨਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਵੇਵ-ਜਿਹੜੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਚਾਰਜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਕ਷ੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿਚ, ਮੈਕਸਵੈਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਾਰੀ ਗਲੋਰੀ ਵਿਚ ਹਨ:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

ਜਿੱਥੇ $c$ ਖਾਲੀ ਵਿਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ, $\vec{E}$ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਹੈ ਅਤੇ $\vec{B}$ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਉਪਰੋਂ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਣ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਜੈਨਰੇਟਰਾਂ, ਇੰਡਕਟਰਾਂ, ਅਤੇ ਟਰਨਸਫਾਰਮਰਾਂ ਦੀ ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ ਫਾਰੈਡੇ ਦੇ ਕਾਨੂਨ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਭਾਸ਼ਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਮੋਨੋਪੋਲ ਨਹੀਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੀ ਵਿਵਰਤਾ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਅਰਥ ਦੀ ਸਮਝ ਇੱਕ ਅਚ੍ਛੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ, ਸਮੀਕਰਣ 4 ਉੱਤੇ ਕਰਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਭੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਲਹਿਰ ਦੀ ਪਾਲਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵਿਵਰਿਆ ਜਾਵੇਗਾ:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਪਰਿਚਿਤ (ਅਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਿੱਧ) ਵੈਕਟਰ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ਜਿੱਥੇ $T$ ਕੋਈ ਪਲੇਸਹੋਲਡਰ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਛੋਟੀ ਸਮੀਕਰਣ ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

ਅੱਠ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਪਰਿਣਾਮ ਇੱਕ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਲਹਿਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਿਰਫ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਲਹਿਰ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਲਕਿ ਧਵਨੀ ਵਿਗਿਆਨ, ਭੂਖੰਡੀ ਲਹਿਰਾਂ, ਧਵਨੀ ਲਹਿਰਾਂ, ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਲਹਿਰਾਂ, ਅਤੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਗਤੀ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ

ਲਹਿਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਲੇਨ ਲਹਿਰ ਦੇ ਹੱਲ

ਇੱਕ ਆਯਾਮ ਦੇ ਲਹਿਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ (ਇਹ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਹਿਜ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਯਹ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਲੋਗਿਕ ਹਰ ਆਯਾਮ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਹੋਵੇਗੀ $x, y$ , ਅਤੇ $z$ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

ਇਹ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਮੁਹਾਂਗੀ ਆਂਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਨੂੰ ਪਲੇਨ ਲਹਿਰ ਦੇ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਧਾਰਨ ਲਹਿਰ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ਅਤੇ $\omega = 2 \pi f$ । ਹੁਣ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਐਨਸਟਾਈਨ ਅਤੇ ਕੰਪਟਨ ਦੇ ਕੰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਇਸ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਥਾ ਕਰੀਏ ਕਿ ਫੋਟਾਨ ਦੀ ਊਰਜਾ $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ਅਤੇ ਦੇ-ਬ੍ਰੋਗਲੀ ਤੋਂ ਕਿ $p = h / \lambda = \hbar k$ । ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸੈਟ ਲਹਿਰ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

ਇਹ ਫੋਟਾਨ ਨੂੰ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸੈਟ ਲਹਿਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ। ਚਲੋ ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸਾਡੀ ਲਹਿਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਸਹਿਯੋਗ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

ਹੋਰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ਜੋ ਬਹੁਤ ਅਚ੍ਛਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਿਰਤਾ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੱਸ ਵਾਲੇ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਪਾਰਟੀਕਲ ਲਈ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਹੈ $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੋਟਾਨ ਦਾ ਮੱਸ 0 ਹੈ $(m=0)$ ! ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸਮਝ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੱਸ ਵਾਲੇ ਪਾਰਟੀਕਲ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਲੈਕਟਰਾਨ) ਲਈ ਕੁੱਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਊਰਜਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਨਾਮ ਬਦਲ ਕੇ ਇਸ ਰੂਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $\Psi$ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਬਾਲਰ ਹਾਂ।

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਫੋਟਾਨ ਦੀ ਪਲੇਨ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕਰਕੇ ਆਇਆ ਹੈ। ਪਰ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਮੱਸ ਵਾਲੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਲਈ ਕੁੱਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਸਟਿਕ ਊਰਜਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਥੋੜਾ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿ ਵੇਵ ਸਮੀਕਰਣ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ $\Psi$ ਲਈ ਪੂਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਪਾਰਟੀਕਲ ਅਤੇ ਵੇਵ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਓਪਰੇਟਰ ਲਈ ਪਿਛੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿਚ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨਾਲ ਸਹਿਤ ਕਣਾਂ ਦਾ ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਊਰਜਾ ਦੇ ਕੁਝ ਅਨੁਮਾਨਿਕ ਲਗਭਗ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨਾਲ ਸਹਿਤ ਕਣ ਲਈ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ $\mathsf{E}$ । ਚਲੋ ਫ਼ਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਥੋੜਾ ਬਦਲ ਲਾਈਏ ਤਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਅਨੁਮਾਨਿਕ ਲਗਭਗ ਕਰ ਸਕੀਏ।

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਯਕੀਨੀ ਉਦੇਸ਼ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ $\sqrt{1 + x}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਲਿਆਉਣਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਟੈਲਰ ਸੀਰੀਜ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

ਜਦੋਂ $x$ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਟੇਲਰ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇਹ ਭਾਗ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ $O(1)$ ਪਦ। ਸਾਡੀ ਊਰਜਾ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ । ਅਸੀਂ ਇਹ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $p = mv \ll mc$ ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ (ਕ੍ਰਿਪਾ ਕਰਕੇ ਮੈਨੂੰ ਖੋਜੋ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਨਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਜੋ ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ)! ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਦ ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ ਨੂੰ:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

ਜਿੱਥੇ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

ਹੈ ਸਾਡੀ ਉੱਚ ਸਕੂਲ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਸਾਡੀ ਸਧਾਰਣ ਕਿਨੈਟਿਕ ਊਰਜਾ। ਹੁਣ ਵਾਂਗ ਵੈਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵੇਂ, ਚਲੋ ਇਹ ਨਵਾਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਵੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਹਾਸਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

ਅਸੀਂ ਦੋ ਪਦਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੁਣ ਵਿੱਛੇਦ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (ਫਿਰ ਵੀ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ) ਦੂਜੇ ਪਦ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਉਡਦਾ-ਝੰਡਦਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਪਾਸੇ ਕਿਰਨ-ਕਣ ਦੇ ਮੋਲਦਾਵੇ ਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰ ਨਹੀਂ ਵਿਓਂਤ। ਇਸ ਫਰਕ ਨੂੰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੁਣ ਸਾਡੀ ਸਥਾਪਨਾ ਹੈ ਕਿ:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਥਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

ਹੁਣ $\Psi(\vec{r},t)$ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਆਂਸ਼ਿਕ ਵਿਭਾਜਕਾਂ ਨੂੰ ਲਏ ਅਤੇ ਦੇਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਨਾਲ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾ:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ਅਤੇ ਦੂਜਾ:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੁਜੀ ਆਂਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਬਦ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਗੱਲ ਦੇ ਕਾਰਨ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ $c^2$ ਸ਼ਬਦ ਜੋ ਮਾਗਨਿਟਿਊਡ ਦੀ ਕਾਲਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲ, ਅਸਲੀ ਦੁਜੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

ਇਹ ਦੋ ਆਂਸ਼ਿਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣ ਦਾ ਚਲਾਕ ਕਾਰਨ ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਦਾਨਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੀ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀ ਲਹਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਣਨਾ ਕਰਦਾ ਸੀ:

ਪਰ ਇਸ ਨੂੰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇਹ ਸੂਤਰ ਦੁਬਾਰਾ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਣ ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੋਵੇਗੇ ਜਿਸਨੂੰ ਕਲੈਨ-ਗੋਰਡਨ ਸਮੀਕਰਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸੰਬੰਧ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਵਕ ਸਮੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ (ਇਸ ਫ਼ਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਨਿਕਾਲਣ ਲਈ ਲਿਆਏ ਗਏ ਸਾਰੇ ਪੜਾਅ ਸਾਰੇ $x,y$ , ਅਤੇ $z$ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੋਣਗੇ.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਇੱਕ ਮੁਕਤ ਕਣ ਲਈ ਕਲੀਨ-ਗੋਰਡਨ ਸਮੀਕਰਣ ਜਾਂਚੀ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਣ ਆਪਣੀ ਊਰਜਾ ਪਦ ਵਿੱਚ ਉਹ ਯੋਗਦਾਨ ਨਹੀਂ ਦੇਂਦਾ ਜੋ ਅਸੀਂ ਛੋਟੇ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ $\sqrt{1+x}$ ਟੇਲਰ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਕਲੀਨ-ਗੋਰਡਨ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਬਣਾਂਦੇ ਹਾਂ (ਇੱਕ-ਆਯਾਮ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਊਰਜਾ ਫ਼ਾਰਮੂਲਾ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ) ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲੰਬੀ ਪ੍ਰਤੀਕਸ਼ਿਤ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜ਼ਰ ਸਮੀਕਰਣ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਾਂਗੇ:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ਹੁਣ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਲਹਿਰ ਫ਼ੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਜੋ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅਭਿਨਨਾ ਕਿਵੇਂ ਦਿਖਦੇ ਹਨ:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੰਵਰਟ ਕਰਨ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿਚ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕੀਏ (ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਕਿ $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

ਜਿੱਥੇ ਸਾਡੀ ਯੂਨਾਨੀ ਹੈਮਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਸਹਾਇਕ ਪਾਸੇ ਦਾ ਪਦ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਵਿਹਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿਚ ਮਨੇ ਕਿ $V(\vec{r},t)$ 0 ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਗਤੀਜ ਊਰਜਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਬਿਲਕੁਲ ਐਡਿਟਿਵ ਹੈ ਉਸ ਦੇ ਸਪੇਸੀਅਲ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿਚ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿਚ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਪੂਰਾ ਸਵਾਲ ਸ਼ਕਤੀ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

ਇਹ ਹੈ! ਇਸ ਲੇਖ ਨੇ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿਚ ਗਤੀਜ ਕਣ ਲਈ ਪੂਰਾ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵਿਖੋਲਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਪੋਸਟ ਨੂੰ ਪਸੰਦ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਗੈਰਾ ਹੋਰ ਵੀ ਦੇਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕਦਰ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਨੂੰ ਈਮੇਲ ਕਰੋ ਤਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣ ਸਕੀਏ।

ਹਵਾਲੇ

Gasiorowicz, S. (2019). ਕਵੈਂਟਮ ਫਿਜ਼ਿਕਸ. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). ਕਵੈਂਟਮ ਫਿਜ਼ਿਕਸ. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). ਕਿਵੇਂ ਸਕ੍ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).ਕਵੈਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

ਅਖੜਾ: ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਹੱਇਤਾ ਕਰੋ, ਚੰਗੇ ਲੇਖ ਸਹਿਯੋਗ ਲਾਏ ਜਾਣ ਯੋਗ ਹਨ, ਜੇ ਕੋਈ ਉਲਾਂਘਣ ਹੈ ਤਾਂ ਕੰਟੈਕਟ ਕਰਕੇ ਮਿਟਾਓ।

ਟਿਪ ਦਿਓ ਅਤੇ ਲੇਖਕ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕਰੋ!

ਟੋਪਿਕਸ:

ਫ਼ਿਜ਼ਿਕਸ ਲੇਖਾਂ

ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ

ਗੁਰੂ ਬਾਰੇ

Electrical4u

China