Schrödinger Wellengleichung: Herleitung & Erklärung

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Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist die Schrödinger-Gleichung?

Die Schrödinger-Gleichung (auch bekannt als Wellengleichung von Schrödinger) ist eine partielle Differentialgleichung, die die Dynamik quantenmechanischer Systeme über die Wellenfunktion beschreibt. Die Trajektorie, die Positionierung und die Energie dieser Systeme können durch Lösen der Schrödinger-Gleichung ermittelt werden.

Alle Informationen für ein subatomares Teilchen sind in einer Wellenfunktion kodiert. Die Wellenfunktion erfüllt und kann durch die Schrödinger-Gleichung gelöst werden. Die Schrödinger-Gleichung ist eines der grundlegenden Axiome, die im Physik-Grundstudium eingeführt werden. Es wird zunehmend üblich, die Schrödinger-Gleichung auch im Elektrotechnik-Studium an Universitäten zu finden, da sie auf Halbleiter angewendet wird.

Leider wird sie in beiden Fällen nur als Postulat formuliert und nie in sinnvoller Weise hergeleitet. Dies ist ziemlich unbefriedigend, da fast alles andere, was im Grundstudium der Quantenphysik gelehrt wird, auf diesem Fundament aufgebaut ist. In diesem Artikel werden wir die Gleichung von Grund auf herleiten, und ich werde mein Bestes geben, um jeden Schritt zu zeigen.

Interessanterweise sind die Argumente, die wir führen, dieselben, die Schrödinger selbst verwendet hat, sodass man den Gedankengang eines Riesen seiner Zeit sehen kann. Als Erinnerung, hier ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in 3-Dimensionen (für ein nicht-relativistisches Teilchen) in all ihrer Schönheit:

Quantenphysik und Wellen

Jeder mag es, die klassische Physik zu kritisieren – aber sie hat uns ziemlich lange gut gedient (denken Sie an die Newtonsche Mechanik, die Maxwellschen Gleichungen und die spezielle Relativitätstheorie).

Wie in unseren vorherigen Artikeln gezeigt wurde, waren die experimentellen Ergebnisse zu Beginn des Jahrhunderts im Vergleich zur damals bekannten Physik nicht besonders beeindruckend. Unsere Artikel zum Doppelspaltexperiment und in gewissem Maße zum Photoeffekt sind experimentelle Ergebnisse, die nicht gut mit dem damals bekannten Verständnis übereinstimmten.

Aber warum? Um es einfach auszudrücken, in der klassischen Physik existieren zwei Entitäten, Teilchen und Wellen. Die Eigenschaften beider dieser Entitäten können wie folgt beschrieben werden:

Teilchen: lokalisierte Bündel von Energie und Impuls mit Masse $m$ .

Wellen: Störungen, die sich über den Raum ausbreiten und über die Zeit reisen. Sie können durch eine Wellenfunktion $\psi(\vec{r}, t)$ beschrieben werden, die die Welle über Raum und Zeit beschreibt.

Dies bringt uns zu den überraschenden Ergebnissen, die wir in unserem Artikel zum Photoeffekt gefunden haben. Wir fanden heraus, dass das Elektron beide Eigenschaften zeigt. Dies widerspricht völlig dem damals bekannten Verständnis, da die beiden Entitäten als gegenseitig ausschließend betrachtet wurden.

Irrsinnig, oder? Zu dieser Zeit begannen einige wirklich einflussreiche Figuren in der Physik zu erkennen, dass es einen Wissenslücke gab, und ein großer Durchbruch kam, als Louis de Broglie einem Impuls (für ein Teilchen) eine Wellenlänge (für Wellen) zuordnete, gegeben durch

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Auch wissen wir aus dem Photoeffekt, dass die Energieabsorption und -emission von Photonen (noch unklar, ob Teilchen oder Welle) durch die Formel gegeben ist

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

wobei $\hbar = h/2\pi$ und $\omega=2\pi f$ . Wir befinden uns nun auf der gleichen Stufe, an der Schrödinger war, bevor er seine berühmte Gleichung ableitete. Aber wo beginnen wir? Nun, wir wissen, dass Elektronen und Photonen sowohl wellenartiges als auch teilchenartiges Verhalten zeigen. Es wäre nicht falsch, mit einer universellen Gleichung zu beginnen, die alle Wellen erfüllen sollten, und dann die Teilchenphysik hinzuzufügen, um zu sehen, ob es ein Ergebnis gibt.

Wie man die Wellengleichung ableitet

Die Störung $\psi(\vec{r}, t)$ genügt der Wellengleichung. Denken Sie daran, das Elektron zeigt wellenartiges Verhalten und hat eine elektromagnetische Ladung. Lassen Sie uns daher zunächst nur die elektromagnetischen Felder betrachten. In diesem Szenario gelten die Maxwellschen Gleichungen, und hier sind sie in ihrer ganzen Pracht:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Wo $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, $\vec{E}$ das elektrische Feld und $\vec{B}$ das magnetische Feld ist. Die obere Gleichung bildet die Grundlage für elektrische Generatoren, Induktoren und Transformatoren und ist die Verkörperung des Faradayschen Gesetzes.

Auch eine der Implikationen von $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ist, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das Verständnis der Herleitung dieser Gleichungen und ihrer physikalischen Bedeutung macht einen umfassend gebildeten Ingenieur aus. Nun leiten wir die Gleichung ab, der jede elektromagnetische Welle gehorchen muss, indem wir den Rotationsoperator auf Gleichung 4 anwenden:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nun können wir eine sehr vertraute (und leicht zu beweisende) Vektoridentität nutzen: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ wobei $T$ ein Platzhaltervektor ist. Angewendet auf unsere Gleichung ergibt sich:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Das Ergebnis, das wir hier haben, ist die elektromagnetische Wellengleichung in drei Dimensionen. Diese Gleichung zeigt sich nicht nur in elektromagnetischen Wellen, sondern auch in Akustik, seismischen Wellen, Schallwellen, Wasserwellen und Strömungsmechanik.

Wie man die Schrödingergleichung herleitet

Ebenenwellenlösungen der Wellengleichung

Beginnen wir mit der Wellengleichung für eine Dimension (es ist sehr einfach, sie auf drei Dimensionen zu verallgemeinern, da die Logik in allen $x, y$ - und $z$ -Dimensionen gilt):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Dies ist in Wirklichkeit eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und wird durch Ebenenwellenlösungen erfüllt:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (überprüfen Sie dies selbst!). } \end{equation*}$

Wir wissen aus der normalen Wellenmechanik, dass $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ und $\omega = 2 \pi f$ . Nun nutzen wir die Arbeiten von Einstein und Compton und ersetzen die Tatsache, dass die Energie eines Photons durch $\mathsf{E} = \hbar \omega$ gegeben ist und von de-Broglie, dass $p = h / \lambda = \hbar k$ . Wir können unsere ebenen Wellenlösung weiter umformen zu:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Dies ist die ebenen Wellengleichung, die ein Photon beschreibt. Lassen Sie uns diese Gleichung in unsere Wellengleichung einsetzen und sehen, was wir finden!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Mit anderen Worten, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ was großartig ist, da wir aus der speziellen Relativitätstheorie wissen, dass die Gesamtenergie für ein relativistisches Teilchen mit Masse $m$ lautet:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Bisher haben wir es nur mit dem Photon zu tun gehabt, das keine Masse hat $(m=0)$ ! Lassen Sie uns unser Verständnis erweitern und die Gesamtrelativistische Energie für ein Teilchen mit Masse (wie zum Beispiel das Elektron) anwenden und den Namen unserer Gleichung in $\Psi$ ändern, weil wir coole Leute sind.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Diese Gleichung stammt direkt von der Substitution der ebenen Wellengleichung für ein Photon in die Wellengleichung. Da wir jedoch nun die Energie benötigen, um die Gesamtrelativistische Energie für ein Teilchen mit Masse zu berechnen, müssen wir die Wellengleichung leicht verändern. Dies liegt daran, dass die Wellengleichung nicht vollständig auf unser neues $\Psi$ anwendbar ist, das Teilchen und Wellen beschreibt. Wir können nun einen Operator zurückrechnen, um die obige Gleichung zu erhalten, und dieser wird durch folgende Gleichung gegeben:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Lösung für Teilchen mit Masse in der Wellengleichung

Wir möchten nun einige Annäherungen an die vollständige Energie vornehmen, die wir gerade durch $\mathsf{E}$ für ein Teilchen mit Impuls und Masse beschrieben haben. Lassen Sie uns die Formel leicht umstellen, damit wir einige Annäherungen verwenden können.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Das Ziel dieser Manipulation ist es, die Gleichung in die Form $\sqrt{1 + x}$ zu bringen, da eine Taylor-Reihe-Entwicklung dieser Gleichung ergibt:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Wenn $x$ klein ist, bleibt im Taylor-Entwicklung nur der $O(1)$ -Term übrig. In unserer Energieformel gilt $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Wir können die Tatsache nutzen, dass $p = mv \ll mc$ für alles, was nicht mit Lichtgeschwindigkeit reist (finden Sie mich, wenn Sie etwas finden, das dies nicht erfüllt)! Daher reduziert sich dieser Term tatsächlich zu:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Wobei

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

die normale kinetische Energie, die wir aus der Schulphysik kennen. Kommen wir nun zur Wellenfunktion von vorhin, fügen wir diese neuen Informationen ein und sehen, was wir erhalten:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Der Grund, warum wir die beiden Terme jetzt getrennt haben, ist, dass der erste Term $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (wieder basierend auf der Lichtgeschwindigkeit) weitaus oszillatorischer sein wird als der zweite Term und nicht unbedingt die Teilchen-Wellen-Einheit beschreibt, die wir suchen. Um diesen Unterschied zu verdeutlichen, legen wir nun fest:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Wobei wir nun definiert haben:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Betrachten wir nun die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von $\Psi(\vec{r},t)$ und sehen, was wir erhalten. Die erste:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

und die zweite:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Wir sollten im Hinterkopf behalten, dass der letzte Term mit der zweiten partiellen Ableitung ziemlich klein ist, da es keinen $c^2$ Term gibt, der die Größenordnung trägt, und daher beträgt die tatsächliche zweite Ableitung nach Näherung:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Der heimliche Grund, warum wir diese beiden partiellen Ableitungen berechnet haben, war, dass wir sie in diese Gleichung einsetzen konnten, die die Wellenfunktion früher beschreibt:

Aber bevor wir das tun, lassen Sie uns diese Formel umstellen, und wir erhalten eine Gleichung, die als Klein-Gordon-Gleichung bekannt ist:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nun können wir dies leicht auf drei Dimensionen verallgemeinern, indem wir diese Gleichung in eine Vektorgleichung umwandeln (alle Schritte, die wir zur Herleitung dieser Formel unternommen haben, gelten für alle $x,y$ und $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Diese Gleichung ist als Klein-Gordon-Gleichung für ein freies Teilchen bekannt. Diese Gleichung ist relativistisch, da ihr Energiebegriff nicht die Annahmen macht, die wir mit der kleinen $\sqrt{1+x}$ Taylor-Entwicklung gemacht haben.

Lassen Sie uns nun die Klein-Gordon-Gleichung vereinfachen (wieder zurück zu 1-D und Anwendung unserer neuen Energieformel) und wir erhalten die lange erwartete Schrödinger-Gleichung:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Setzen wir unsere neue Wellenfunktion gegeben durch $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , wobei wir wissen, wie die ersten und zweiten Ableitungen nach der Zeit aussehen:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Jetzt müssen wir nur noch eine einfache Umstellung durchführen, um die Schrödingergleichung in drei Dimensionen zu erhalten (beachten Sie, dass $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Dabei kann man argumentieren, indem man die Ähnlichkeit mit dem klassischen Hamiltonian beachtet, dass der Term auf der rechten Seite der Gleichung die Gesamtenergie der Wellenfunktion beschreibt.

In unserer Herleitung haben wir angenommen, dass $V(\vec{r},t)$ 0 ist und dass nur die kinetische Energie berücksichtigt wurde. Wir wissen, dass das Potential rein additiv bezüglich seiner räumlichen Variationen ist, und daher lautet die vollständige Schrödingergleichung in drei Dimensionen mit Potential:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Das war's! Wir haben die vollständige Schrödingergleichung für ein nichtrelativistisches Teilchen in drei Dimensionen hergeleitet. Wenn Ihnen dieser Beitrag gefallen hat und Sie mehr solcher Beiträge sehen möchten, senden Sie uns bitte eine E-Mail, um uns dies mitzuteilen.

Zitate

Gasiorowicz, S. (2019). Quantenphysik. 2. Auflage. Kanada: Hamilton Printing, S.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantenphysik. 3. Auflage. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. und Volkmer, S. (2019). Wie man die Schrödingergleichung herleitet. [online] arXiv.org. Verfügbar unter: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Zugriff am 29. Mai 2019].
Shankar, R. (1980).Prinzipien der Quantenmechanik. 1. Auflage. New York: Springer Science, S.1-40.

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