Schrödinger Bølge ligning: Afledning & Forklaring

Electrical4u

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

Hvad er Schrödingers ligning?

Schrödingers ligning (også kendt som Schrödingers bølgeligning) er en partielle differentialligning, der beskriver dynamikken af kvantemekaniske systemer via bølgefunktionen. Trajektorien, positioneringen og energien for disse systemer kan findes ved at løse Schrödingers ligning.

Alt information om et subatompartikel er kodet ind i en bølgefunktion. Bølgefunktionen vil opfylde og kan løses ved hjælp af Schrödingers ligning. Schrödingers ligning er en af de fundamentale aksiomer, der introduceres i grunduddannelsen i fysik. Det er også stadig mere almindeligt at finde Schrödingers ligning introduceret i elektronikkens pensum på universiteter, da den anvendes til hallediere.

Uheldigvis er den kun udtalt som et postulat i begge tilfælde og aldrig afledt på nogen meningsfuld måde. Dette er ret utilfredsstillende, da næsten alt andet, der undervises i grunduddannelsen i kvantefysik, bygger på denne grund. I denne artikel vil vi aflede ligningen fra bunden, og jeg gør mit bedste for at vise hvert trin taget.

Interessant nok er argumenterne, vi vil bruge, de samme som de, Schrödinger selv tog, så du kan se tankegange, en stor mand havde i sin tid. Som påmindelse her er tidsafhængige Schrödingers ligning i 3 dimensioner (for et ikke-relativistisk partikel) i al sin skønhed:

Kvantefysik og bølger

Alle kritiserer klassisk fysik – men den tjente os godt i lang tid (tænk Newtons mekanik, Maxwells ligninger og specialrelativitet).

Men som vist i vores tidligere artikler, var eksperimentelle resultater ved årtusindskiftet ikke særligt imponerende i forhold til den kendte fysik på det tidspunkt. Vores artikler om dobbeltslitseksperimentet og i nogen grad fotoelektriske effekt er eksperimentelle resultater, der ikke passede godt med den kendte forståelse på det tidspunkt.

Men hvorfor? For at sige det enkelt, findes der i klassisk fysik to enheder, partikler og bølger. Egenskaberne for begge disse enheder kan beskrives som følger:

Partikler: lokaliserede pakker af energi og impuls med masse $m$ .

Bølger: forstyrrelser, der spredes over rummet og rejser sig over tid. De kan beskrives med en bølgefunktion $\psi(\vec{r}, t)$ der beskriver bølgen over rum og tid.

Dette fører os til de overraskende resultater, vi fandt i vores Fotoelektriske Emission artikel. Vi fandt, at elektronet viser begge af disse egenskaber. Dette strider fuldstændigt mod den kendte forståelse på det tidspunkt, da de to enheder blev betragtet som udelukkende.

Forbløffende, ikke? Omkring denne tid begyndte nogle virkelig indflydelsesrige figurer i fysikken at indse, at der var et hul i viden, og en stor gennembrud kom, da Louis de Broglie knyttede en impuls (for en partikel) til en bølgelængde (for bølger) givet ved

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Og fra Photoelectric Emission ved vi, at energiabsorption og -emission af fotoner (stadig usikre på, om det er partikler eller bølger) har en energi givet ved

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Hvor $\hbar = h/2\pi$ og $\omega=2\pi f$ . Vi befinder os nu præcis i den samme fase, som Schrödinger var i, før han udledte sin berømte ligning. Men hvor begynder vi? Vel, vi ved, at elektroner og fotoner viser bølgeagtigt og partikelagtigt opførsel. Der ville ikke være noget galt med at starte med en universel ligning, som alle bølger skulle følge, og derefter introducere partikelfysik ovenpå for at se, om der kommer et resultat.

Hvordan udlede Bølgeligningen

Størrelsen $\psi(\vec{r}, t)$ overholder bølgeligningen. Husk, at elektronet viser bølgeagtigt opførsel og har en elektromagnetisk ladning. Derfor, lad os for nu kun se på elektromagnetiske felter. I dette scenarie gælder Maxwells ligninger, og her er de i al deres pragt:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Hvor $c$ er lysets hastighed i vakuum, $\vec{E}$ er det elektriske felt, og $\vec{B}$ er det magnetiske felt. Den første ligning ovenfor er grundlaget for elektriske generatore, induktorer og transformatorer og er en konkretisering af Faradays lov.

Derudover er en af konsekvenserne af $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ , at der ikke findes magnetiske monopoler. At forstå udledningen af disse ligninger og den fysiske betydning bag dem gør en ingeniør velafbalanceret. Lad os nu udlede den ligning, som enhver elektromagnetisk bølge skal opfylde ved at anvende en rotation på Ligning 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nu kan vi benytte en meget kendt (og let beviselig) vektoridentitet: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ hvor $T$ er en pladsholdervektor. Ved at anvende dette på vores lille ligning:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Det resultat, vi har her, er den elektromagnetiske bølge ligning i 3 dimensioner. Denne ligning viser sig ikke kun i en elektromagnetisk bølge – men er også optrådt inden for akustik, seismiske bølger, lydbølger, vandbølger og fluiddynamik.

Sådan Deriveres Schrödinger-Ligningen

Planbølge Løsninger til Bølgeligningen

Vi starter med bølgeligningen for 1 dimension (det er virkelig nemt at generalisere til 3 dimensioner efterfølgende, da logikken vil gælde i alle $x, y$ , og $z$ dimensioner.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Dette er i virkeligheden en andenordens partiell differentialligning, der er tilfredsstillet med planbølge løsninger:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kontroller dette selv!). } \end{equation*}$

Hvor vi ved fra normal bølgemekanik, at $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ og $\omega = 2 \pi f$ . Lad os nu bruge arbejdet fra Einstein og Compton og erstatte det med, at energien af et foton er givet ved $\mathsf{E} = \hbar \omega$ og fra de-Broglie, at $p = h / \lambda = \hbar k$ . Vi kan yderligere bearbejde vores planbølgeløsning til:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Dette er den planbølgeligning, der beskriver et foton. Lad os erstatte denne ligning i vores bølgeligning og se, hvad vi finder!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Med andre ord, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ hvilket er fantastisk, fordi vi ved fra specialrelativiteten, at den totale energi for et relativistisk partikel med masse $m$ er:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Og indtil videre har vi kun beskæftiget os med fotonen, som ikke har nogen masse $(m=0)$ ! Lad os derfor udvide vores forståelse og anvende den totale relativistiske energi for et partikel med masse (som elektronet for eksempel) og ændre navnet på vores ligning til $\Psi$ fordi vi er ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Denne ligning kom direkte fra at erstatte planbølge-ligningen for et foton i bølge-ligningen. Da vi nu dog ønsker, at energien skal løse den totale relativistiske energi for et partikel med masse, skal vi ændre bølge-ligningen en smule. Dette skyldes, at bølge-ligningen ikke fuldt ud kan anvendes på vores nye $\Psi$ , der beskriver partikler og bølger. Vi kan nu bakkesolve for en operator for at få ovenstående ligning, og den er givet ved:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Løsning for partikler med masse i bølge ligningen

Vi vil nu gøre nogle approksimationer på den fulde energi, vi netop beskrev ved $\mathsf{E}$ for et partikel med impuls og masse. Lad os bare omarrangere formelen lidt, så vi kan bruge nogle approksimationer.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Helt afgørende med denne manipulation er at få ligningen i formen $\sqrt{1 + x}$ fordi hvis vi tager en Taylorudvikling af denne ligning, får vi:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Når $x$ er lille, er den eneste del, der forbliver i Taylorudviklingen, $O(1)$ -termen. I vores energiformel, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Vi kan udnytte, at $p = mv \ll mc$ for noget, der ikke bevæger sig med lysets hastighed (find mig, hvis du finder noget, der ikke opfylder dette)! Så denne term reduceres faktisk til:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

hvor

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

er den normale kinetiske energi, vi ser fra gymnasiefysik. Nu tilbage til bølgefunktionen fra før, lad os nu indtaste denne nye information og se, hvad vi ender med:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Årsagen til, at vi nu har opdelt de to termer, er, at den første term $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (igen baseret på lysets hastighed) vil være betydeligt mere oscillerende end den anden term og nødvendigvis ikke beskriver partikel-bølge enheden, vi leder efter. Så for at fastslå denne forskel, lad os nu etablere, at:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Hvor vi nu har defineret:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Lad os nu tage den første og anden partielle afledte af $\Psi(\vec{r},t)$ og se, hvad vi ender med. Den første:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

og den anden:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Vi skal huske, at den sidste led med den anden partielle afledede er ret lille, fordi der ikke findes noget $c^2$ led, der har størrelsesorden, og derfor kan den faktiske anden afledede tilnærmelsesvis givet ved:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Den skjulte grund til, at vi tog disse to partielles afledede, var, så vi kunne indføre dem i denne ligning, der beskriver bølgefunktionen tidligere:

Men før vi kan gøre det, lad os omarrangere denne formel, og vi ender med en ligning, der kaldes Klein-Gordon-ligningen:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nu kan vi let generalisere dette til 3 dimensioner ved at omdanne denne ligning til en vektorligning (alle de skridt, vi tog for at udlede denne formel, vil gælde for alle $x,y$ , og $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Denne ligning er kendt som Klein-Gordon-ligningen for et frit partikel. Denne ligning er relativistisk, da dets energiterm ikke gør de antagelser, vi gjorde med den lille $\sqrt{1+x}$ Taylor-udvidelse.

Lad os nu forenkle Klein-Gordon-ligningen (ved at gå tilbage ned til 1-D og anvende vores nye energiformel), og vi kommer frem til den længe ventede Schrödinger-ligning:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Lad os sætte vores nye bølgens funktion givet ved $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ hvor vi kender, hvad de første og anden afledte med hensyn til tid ser ud som:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nu skal vi bare gøre en simpel omskrivning for at få Schrödinger-ligningen i tre dimensioner (bemærk, at $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Her kan argumentet fremsættes ved at bemærke ligheden med den klassiske Hamiltonian, at termen på højre side af ligningen beskriver den totale energi i bølgefunktionen.

I vores udledning antog vi, at $V(\vec{r},t)$ er 0 og at kun kinetisk energi blev taget i betragtning. Vi ved, at potentialet er rent additivt med hensyn til dets rumlige variationer, og derfor er den fulde Schrödinger-ligning i tre dimensioner med potentiale givet ved:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Det var det! Her har vi den fulde Schrödinger-ligning for et ikke-relativistisk partikel i tre dimensioner. Hvis du har liket dette indlæg og vil se flere som dette, bedes du sende os en e-mail for at give os besked.

Citationer

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantefysik. 2. udgave. Canada: Hamilton Printing, sider 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantefysik. 3. udgave. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. og Volkmer, S. (2019). Hvordan Derive Schrödingers Ligning. [online] arXiv.org. Tilgængelig på: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Hentet den 29. maj 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1. udgave. New York: Springer Science, sider 1-40.

Erklæring: Respektér det originale, godt artikel værd at dele, hvis der sker krænkelse bedes kontakt slet.

Giv en gave og opmuntre forfatteren

Emner:

Fysikartikler

Kvanteteori

Om eksperter

Electrical4u

China