シュレーディンガー波動方程式：導出と説明

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シュレーディンガー方程式とは何ですか？

シュレーディンガー方程式（またはシュレーディンガーの波動方程式とも呼ばれる）は、波動関数を通じて量子力学的システムのダイナミクスを記述する偏微分方程式です。これらのシステムの軌道、位置、エネルギーは、シュレーディンガー方程式を解くことで得られます。

亜原子粒子に関するすべての情報は波動関数にエンコードされています。波動関数はシュレーディンガー方程式を満たし、その方程式を使って解くことができます。シュレーディンガー方程式は大学での物理学の基礎的な公理の一つであり、半導体に適用されるため、電気工学のカリキュラムにも導入されることが増えています。半導体。

残念ながら、両方の場合でもこの方程式は単なる仮定として述べられ、実質的に導出されることはありません。これは非常に不満足なことです。なぜなら、大学で教える量子物理学のほとんどがこの基礎の上に築かれているからです。この記事では、私たちはこの方程式を一から導出して、可能な限り各ステップを示します。

興味深いことに、私たちが採用する議論は、シュレーディンガー自身が採用した議論と同じです。つまり、彼がその時代に行っていた思考の流れを見ることができます。リマインダーとして、以下に3次元（非相対論的粒子）における時間依存性シュレーディンガー方程式の美しい形を示します：

量子物理学と波動

誰もが古典物理学を批判しますが、それはかなり長い間私たちに役立ってきました（ニュートンの力学、マクスウェルの方程式、特殊相対性理論などを考えると）。

しかし、我々の以前の記事で示したように、世紀の変わり目における実験結果は、当時の既知の物理学と比較して特に目立つものではありませんでした。我々の二重スリット実験および光電効果に関する記事は、当時の理解とはよく一致しなかった実験結果です。

なぜでしょうか？簡単に言えば、古典物理学では2つの実体、すなわち粒子と波があります。これらの実体の特徴は以下の通りです：

粒子：エネルギーと運動量の局所化された束であり、質量を持つ $m$ 。

波：空間に広がり時間とともに伝播する摂動。波関数 $\psi(\vec{r}, t)$ によって空間と時間における波を記述することができます。

これは私たちの光電子放出記事で見つけた驚くべき結果につながります。私たちは電子がこれら両方の性質を持つことを発見しました。これは当時の知識と完全に矛盾しており、この2つの実体は互いに排他的と考えられていました。

信じられないですよね？この頃、物理学の非常に影響力のある人物たちが知識のギャップに気づき始め、ルイ・ド・ブロイが粒子の運動量に対して波長を関連付けることで大きな突破がありました。

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

また、光電子放出から、光子（まだ粒子か波かは不明）のエネルギー吸収と放出が次の式で与えられることを知っています。

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

ここで $\hbar = h/2\pi$ および $\omega=2\pi f$ です。私たちは今、シュレーディンガーが彼の有名な方程式を導き出す前の段階にいます。しかし、どこから始めればよいでしょうか？電子と光子が波のような振る舞いと粒子のような振る舞いを示していることを知っています。すべての波が従うべき普遍的な方程式から始めて、その上に粒子物理学を導入し、結果を見ることは間違っていないでしょう。

波動方程式の導出方法

摂動 $\psi(\vec{r}, t)$ は波動方程式に従います。電子は波のような振る舞いを示し、電磁荷を持っています。したがって、現在は電磁場だけを見てみましょう。このシナリオでは、マクスウェルの方程式が適用され、以下がそれらの全てです：

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

ここで $c$ は真空における光の速度、 $\vec{E}$ は電界、 $\vec{B}$ は磁界です。上記の最初の方程式は発電機、インダクタ、トランスフォーマーの基礎であり、ファラデーの法則を体現しています。

また、 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ から得られる一つの結論は、磁気モノポールが存在しないことです。これらの式の導出とそれらの物理的な意味を理解することは、幅広い知識を持つエンジニアにとって重要です。次に、方程式4にcurlを適用して、任意の電磁波が従うべき方程式を導出します。

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ここで、非常に馴染みのある（そして簡単に証明できる）ベクトル恒等式を利用します： $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ここで $T$ はいくつかのプレースホルダーベクトルです。これを我々の小さな方程式に適用すると：

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

ここで得られた結果は、3次元の電磁波方程式です。この方程式は電磁波だけでなく、音響学、地震波、音波、水波、流体力学でも現れます。

シュレーディンガー方程式の導出方法

波動方程式の平面波解

1次元の波動方程式から始めます（その後、3次元に一般化するのは非常に簡単で、すべての方向に対して同じ論理が適用されます）： $x, y$ および $z$ 方向です。）：

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

これは実際には2階の偏微分方程式であり、平面波解によって満たされます：

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (ご自身で確認してください！). } \end{equation*}$

通常の波動力学から $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ および $\omega = 2 \pi f$ であることがわかります。ここでは、アインシュタインとコンプトンの研究を用いて、光子のエネルギーが $\mathsf{E} = \hbar \omega$ であり、デ・ブロイにより $p = h / \lambda = \hbar k$ であることを代入します。さらに、平面波解を次のように変形することができます：

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

これは光子を記述する平面波方程式です。この方程式を波動方程式に代入してみましょう。

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

言い換えると $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ であり、これは特殊相対性理論から質量を持つ相対論的粒子の全エネルギーが $m$ であることを知っているので良いです。

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

これまで扱ってきたのは質量を持たない光子だけでした $(m=0)$ ！そこで、質量を持つ粒子（電子など）の全相対論的エネルギーを適用して理解を広げ、方程式の名前を $\Psi$ に変更しましょう。なぜなら我々は格好良いからです。

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

この方程式は光子の平面波方程式を波動方程式に代入することで直接得られます。しかし、今度は質量を持つ粒子の全相対論的エネルギーを求めたいので、波動方程式を少し変更する必要があります。これは新しい $\Psi$ が粒子と波を記述しているためです。上記の方程式を得るために逆算で作用素を求めることができます。その作用素は以下の通りです。

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

波動方程式における質量を持つ粒子の解法

ここで、運動量と質量を持つ粒子について、先に述べたエネルギー $\mathsf{E}$ に対していくつかの近似を行います。式を少し変形して近似を使えるようにします。

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

この操作の目的は、式を $\sqrt{1 + x}$ の形式にするためです。なぜなら、この式をテイラー級数展開すると次のようになるからです。

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

xが小さいとき、テイラー展開に残るのは $x$ のみである。 $O(1)$ 項だけである。エネルギー式においては $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ である。 $p = mv \ll mc$ 光速で移動していないもの（もし見つけたら教えてください！）に対してこの項は次のように簡略化される：

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

ここで

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

これは高校物理で見かける通常の運動エネルギーである。前回の波動関数に戻って、新しい情報を入れてみよう：

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

これらの2つの項を分ける理由は、最初の項 $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ （再び光速に基づく）が、第二項よりも大幅に振動的であり、我々が目指す粒子波の実体を必ずしも説明していないためです。この違いを明確にするために、以下のように定義しましょう：

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

ここで、以下の定義を行いました：

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

次に、 $\Psi(\vec{r},t)$ の1階および2階の偏導関数を計算してみましょう。まず1階：

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

そして2階：

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

最後の項、つまり2階微分が非常に小さいことに注意する必要があります。これは、 $c^2$ という項が存在しないためであり、したがって近似により、実際の2階微分は以下のようになります：

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

これらの2つの偏導関数を取った本当の理由は、それらを以前に述べた波動関数の式に代入するためでした：

しかし、それを行う前に、この式を再配置し、最終的にはクレイン・ゴードン方程式と呼ばれる式を得ます：

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

これにより、この方程式をベクトル方程式にすることで、簡単に3次元に一般化することができます（この公式を導出するために行ったすべてのステップは、すべての $x,y$ 、および $z$ に対して適用されます。)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

この方程式は自由粒子に対するクライン・ゴードン方程式として知られています。この方程式は相対論的であり、そのエネルギー項は小さな $\sqrt{1+x}$ テイラー展開で行った仮定をしていません。

では、クライン・ゴードン方程式を簡略化し（1次元に戻り、新しいエネルギー式を適用して）、待ち望まれたシュレーディンガー方程式に到達しましょう：

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

次の新しい波動関数を代入します： $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ここで、時間に関する1階微分と2階微分がどのように見えるかを知っています：

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ここで必要なのは、単純な並べ替えだけで、三次元のシュレーディンガー方程式を得ることができます（注意： $\frac{1}{i} = -i$ ）:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

右辺の項は古典的なハミルトニアンとの類似性から、波動関数の全エネルギーを表すと主張できます。

導出では、 $V(\vec{r},t)$ が0であり、運動エネルギーのみが考慮されていると仮定しました。ポテンシャルは空間変化に対して純粋に加算的であるため、ポテンシャルを含む三次元の完全なシュレーディンガー方程式は以下のようになります：

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

以上です！この記事では、非相対論的な粒子の三次元における完全なシュレーディンガー方程式を導出しました。この投稿がお気に召し、もっとこのような内容を見たい場合は、メールでお知らせください。

引用

Gasiorowicz, S. (2019). 量子物理学. 2版. カナダ: ハミルトン印刷, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). 量子物理学. 3版. ケンブリッジ大学出版部, ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). シュレディンガー方程式の導出方法. [オンライン] arXiv.org. 参照可能: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [参照日: 2019年5月29日].
Shankar, R. (1980).量子力学の原理. 初版. ニューヨーク: スプリンガー科学, pp.1-40.

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