சுரோடிங்கர் அலைச் சமன்பாடு: வகையீடு மற்றும் விளக்கம்

Electrical4u

புலம்: அடிப்படை விளக்கல்

China

ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாடு என்ன?

ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாடு (வெளியே வைக்கப்படும் ஷ்ரோடிஙர் அலைச் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும், இது வெற்றிலை நிலையியல் அமைப்புகளின் தன்மையை அலைச் சார்பின் மூலம் விளக்குகிறது. இந்த அமைப்புகளின் பாதை, இடமாற்றம், மற்றும் ஆற்றலை ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாட்டைத் தீர்வு காணுவதன் மூலம் பெறலாம்.

உட்பொருள் அணுக்களின் அனைத்து தகவல்களும் ஒரு அலைச் சார்பில் குறிக்கப்படுகின்றன. அலைச் சார்பு ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்து தீர்வு காண முடியும். ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாடு பெறுமான போதிரங்களில் போட்டியியலில் அறிமுகப்படுத்தப்படும் அடிப்படை அடிக்கோள்களில் ஒன்றாகும். இது பெறுமான போட்டியியல் படிப்புத் திட்டத்தில் பெருமளவில் போட்டியியல் அமைப்புகளுக்கு பொருந்துமாறு பெறுமான போட்டியியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.உலகின்.

தேவையான இரு வகைகளிலும், இது ஒரு போஸ்டுலேட் என்று மட்டும் அறிக்கையிடப்படுகிறது, மற்றும் எந்த பொருளும் இல்லாமல் வரையறுக்கப்படவில்லை. இது மிகவும் தீர்க்க முடியாததாக உள்ளது, ஏனெனில் பெறுமான போட்டியியலில் படிக்கப்படும் அனைத்து மற்ற விஷயங்களும் இந்த அடிப்படையில் கட்டப்பட்டுள்ளன. இந்த கட்டுரையில், நாம் சமன்பாட்டை தொடர்புடைய அனைத்து படிகளையும் காட்டும் வகையில் பெறுமான போட்டியியலில் பெறுவோம்.

இதில் நாம் அமைத்துக் கொள்ளும் வாதங்கள் ஷ்ரோடிஙர் தன்னார் அமைத்தவற்றுக்கு சமமானவை, எனவே நீங்கள் அவரது காலத்தில் ஒரு பெருமையானவர் எவ்வாறு யோசித்தோ அதை காணலாம். நினைவு செய்ய உள்ளது, இது நேர சார்ந்த ஷ்ரோடிஙர் சமன்பாடு 3-விமானங்களில் (ஒரு போர்டிவில் இல்லாத பொருளுக்கு) அனைத்து அழகிய அமைப்புகளிலும்:

பெறுமான போட்டியியலும் அலைகளும்

அனைவரும் பெறுமான போட்டியியலை அல்லது கிளாசிகல் போட்டியியலை குறிப்பிடுவதை விரும்புகிறார்கள் - ஆனால் இது நம்மை நீண்ட காலத்திற்கு வேறு செய்து வந்தது (நியூட்டனிய இயங்கிகள், மாக்ச்வெல்லின் சமன்பாடுகள், மற்றும் சிறப்பு இல்லமைவு என்பதை நினைவு கொள்ளுங்கள்).

ஆனால், நமது முந்தைய கட்டுரைகளில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு, இரண்டாம் ஆண்டின் துவக்கத்தில் சோதனை விளைவுகள் அப்போதைய அறியப்பட்ட இயற்பியலுடன் ஒப்பிடும்போது போர்த்தொடராக இல்லாமல் விளங்கியது. நமது இரு உள்ளீடு சோதனை மற்றும் ஒரு அளவு விளக்கத்துக்கு சோதனை விளைவுகள் அப்போதைய அறியப்பட்ட புரிதலுடன் ஒப்பிடும்போது ஒத்திருக்கவில்லை.

ஆனால், ஏன்? எளிதாகச் சொல்லுவதாக, தூய இயற்பியலில் இரு அமைப்புகள் உள்ளன, பொருளாடிகள் மற்றும் ஒலி. இவற்றின் செயல்பாடுகள் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளன:

பொருளாடிகள்: ஒரு இடத்தில் சேர்ந்த ஊக்கம் மற்றும் ஆற்றல் தொகுதிகள் மற்றும் நிறை $m$ .

ஒலி: தொடர்புடைய விதிகள் இடத்தில் பரவி, நேரத்தில் பயணம் செய்யும். அவை ஒலி சார்பு $\psi(\vec{r}, t)$ அது இடத்தில் மற்றும் நேரத்தில் ஒலியை விளக்குகிறது.

இது நமது போடோஎலெக்ட்ரிக் விளைவு கட்டுரையில் கண்ட ஆச்சரியக் காட்சிகளை விளைவுகள். நாம் கண்டது, எலெக்ட்ரான் இவற்றில் இரு பண்புகளையும் கொண்டிருக்கிறது. இது அப்போதைய அறியப்பட்ட புரிதலுடன் முறையாக எதிர்க்கும், ஏனெனில் இரு அமைப்புகள் ஒரே நேரத்தில் இருக்க முடியாதவை என கருதப்பட்டன.

ஆச்சரியமாக இருக்கிறது என்றால்? இந்த நேரத்தில், இயற்பியலில் சில மிகவும் தாக்கமான தலைமுறைகள் அறிவியலில் ஒரு அறிவு உள்ளது என்பதை உணர்ந்தன, மற்றும் லூயிஸ் டி பிரோக்லியான் ஒரு பொருளாடிக்கு ஊக்கத்தை (particle) ஒலியின் அலைநீளத்துக்கு (waves) இணைத்து ஒரு பெரிய முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது, இது

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

மேலும், Photoelectric Emission இலிருந்து நாம் அறிவது என்னவென்றால், ஒளி கणங்களின் (இது பொருளாகவோ அல்லது அலையாகவோ இருக்கும் என்பது இன்னும் உறுதியாக இல்லை) ஊக்கு நிகழ்த்தலும், தூக்கு நிகழ்த்தலும் கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படும் ஆற்றலைக் கொண்டுள்ளன

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

இங்கு $\hbar = h/2\pi$ மற்றும் $\omega=2\pi f$ . நாம் இப்போது ஸ்குரோடிங்கரின் பிரபலமான சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்துவதற்கு முன்னர் அவர் அந்த அளவில் இருந்த அதே அளவில் உள்ளோம். ஆனால், நாம் எங்கிருந்து தொடங்குவது? நாம் தெரிந்து கொண்டிருப்பது என்னவென்றால், எலக்ட்ரான்கள் மற்றும் ஒளி கணங்கள் அலை மற்றும் பொருள் பண்புகளை காட்டுகின்றன. அனைத்து அலைகளும் பொருளாக விளங்கும் ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டுடன் தொடங்கி, பிறகு பொருள் இயற்பியலை அதில் சேர்த்து ஒரு முடிவைப் பெறுவதில் எந்த தவறும் இல்லை.

அலைச் சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்துவது எப்படி

தொலைவு $\psi(\vec{r}, t)$ அலைச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள், எலக்ட்ரான் அலை பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது மற்றும் இது ஒரு விளையாட்டு மின்னிய மதிப்பை கொண்டுள்ளது. இந்த அமைப்பில், மாக்ச்வெலின் சமன்பாடுகள் பொருந்துகின்றன:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

இங்கு $c$ என்பது வெளியில் ஒளி திசைவேகம், $\vec{E}$ என்பது மின்களவு மற்றும் $\vec{B}$ என்பது அஞ்சல்களவு ஆகும். மேலே உள்ள முதல் சமன்பாடு IEE-Business மின் ஜெனரேட்டர்கள், இணைப்புகள், மற்றும் மாற்றிகளின் அடிப்படையாக அமைந்துள்ளது மற்றும் பாரதேசனின் விதியின் அமைப்பு ஆகும்.

மேலும், $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ இதிலிருந்து ஒரு பொருள் என்னவென்றால், ஒரு அஞ்சல்களவு ஒற்றை போல் இருக்காது. இந்த சமன்பாடுகளின் தோற்றம் மற்றும் அவற்றின் பொருள் ஒரு சுற்று இயந்திரவியலாளருக்கு அறிந்திருக்க வேண்டியதாகும். இப்போது, சமன்பாடு 4-க்கு ஒரு கர்ல் பயன்படுத்தி எந்த மின்காந்த அலையும் பொருள்படுத்த வேண்டிய சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்துவோம்:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

இப்போது நாம் ஒரு மிகவும் பரவலான (மற்றும் எளிதாக நிறுவப்படும்) வெக்டர் ஐடென்டிட்டியை பயன்படுத்தலாம்: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ இங்கு $T$ என்பது ஒரு பிரதிநிதித்துவ வெக்டர். இதை நமது சமன்பாட்டிற்கு பயன்படுத்தலாம்:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

நம்மிடம் இருக்கும் இந்த முடிவு 3-வெளியில் விளையாடும் விளையாட்டு அலைச் சமன்பாடாகும். இந்த சமன்பாடு விளையாடும் அலைகளில் மட்டுமல்லாமல், ஒலியியல், பூகம்ப அலைகள், ஒலி அலைகள், தண்ணீர் அலைகள், மற்றும் திரவ அலைகளிலும் காணப்படுகிறது.

ஸ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை எப்படி உருவாக்குவது

அலைச் சமன்பாட்டின் தள அலை தீர்வுகள்

1-வெளியிலுள்ள அலைச் சமன்பாட்டில் (இதனை 3-வெளிக்கு பொதுமைப்படுத்துவது மிகவும் எளிதாகும், ஏனெனில் தர்க்கம் அனைத்து வெளிகளிலும் பொருந்தும்) $x, y$ , மற்றும் $z$ வெளிகளில்):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

இது உண்மையில் ஒரு இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும் மற்றும் தள அலை தீர்வுகளால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

நாம் வழக்கமான அலை இயற்கணிதத்திலிருந்து k= \frac{2\pi}{\lambda} மற்றும் \omega = 2 \pi f என்பதை அறியும். இப்போது, ஐன்ஸ்டீன் மற்றும் காம்ட்டனின் பணி மூலம் ஒளியுடன் உள்ள ஒரு உரிமையின் ஆற்றல் \mathsf{E} = \hbar \omega என்பதை மற்றும் டி-பிரோக்லியின் p = h / \lambda = \hbar k என்பதை பயன்படுத்துவோம். நாம் இதனை மேலும் மாற்றி செய்து எங்கள் தள அலை தீர்வை:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

இது ஒளியை விளக்கும் தள அலைச் சமன்பாடு. இந்த சமன்பாட்டை நமது அலைச் சமன்பாட்டில் பதிலிடுவோம் மற்றும் நாம் எதை கண்டுபிடிக்கிறோம்!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

மறுபடியும் சொல்லுவதாகவும் $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ என்பது நல்லது, ஏனெனில் விஶேഷ அரைவேக தொடர்பு முக்கியமாக ஒரு உள்ளிட்ட பொருள் கொண்ட கणத்தின் மொத்த ஆற்றல் $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

நாம் இதுவரை மட்டும் போடோனை பற்றி பேசியுள்ளோம், அது எஞ்சம் இல்லாதது $(m=0)$ ! எனவே நமது புரிதலை விரிவுபடுத்துவோம் மற்றும் எஞ்சம் கொண்ட கணத்திற்கு (என்பதாக எலெக்ட்ரான்) மொத்த அரைவேக ஆற்றலை பயன்படுத்துவோம் மற்றும் நமது சமன்பாட்டின் பெயரை $\Psi$ என மாற்றுவோம், ஏனெனில் நாம் பாலர்ஸ்.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

இந்த சமன்பாடு நேரடியாக ஒரு போடோனின் தள அலைச் சமன்பாட்டை அலைச் சமன்பாட்டில் பிரதியிடுவதிலிருந்து வந்தது. ஆனால், நாம் இப்போது எஞ்சம் கொண்ட கணத்திற்கு மொத்த அரைவேக ஆற்றலை தீர்க்க விரும்புகிறோம், எனவே அலைச் சமன்பாட்டை சிறிது மாற்ற வேண்டும். இது ஏனெனில் அலைச் சமன்பாடு முழுமையாக நமது புதிய $\Psi$ க்கு பொருந்தாது, அது கணங்கள் மற்றும் அலைகளை விளக்குகிறது. நாம் இப்போது மேலே உள்ள சமன்பாட்டிற்கு ஒரு செயல்பாட்டை முன்னேற்று தீர்க்க முடியும், அது கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

நிகழ்வு சமன்பாட்டில் போக்குவரத்து மற்றும் நிறை உள்ள கणங்களுக்கான தீர்வுகள்

நாம் இப்போது போக்குவரத்து மற்றும் நிறை உள்ள கணத்திற்கான $\mathsf{E}$ என்பதை ஒரு சில தோராயங்களுக்கு ஏற்றுகிறோம். சூத்திரத்தை கீழே உள்ள வகையில் மாற்றி சில தோராயங்களை பயன்படுத்த வைத்துக்கொள்வோம்.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

இந்த மாற்றத்தின் அனைத்து புள்ளியும் $\sqrt{1 + x}$ என்ற வடிவத்தில் சமன்பாட்டைப் பெறுவது ஆகும், ஏனெனில் நாம் இந்தச் சமன்பாட்டின் டெய்லர் தொடரை எடுத்தால்:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

ஒரு சிறிய அளவில் இருக்கும்போது, டெய்லர் விரிவுப்படி மட்டுமே தொடர்புடைய பகுதி மீதமிருக்கும். $x$ என்பது டெய்லர் விரிவில் மட்டுமே தொடர்புடைய பகுதி மீதமிருக்கும். எங்கள் எரிசக்தி சூத்திரத்தில், $O(1)$ உறுப்பு. எங்கள் எரிசக்தி சூத்திரத்தில், $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . நாம் $p = mv \ll mc$ என்பதை பயன்படுத்தலாம், இது ஒருவன் ஒளியின் வேகத்தில் செல்லும் விஷயங்களுக்கு மட்டுமே உண்மை (இது உண்மையாக இல்லாத விஷயங்களை நீங்கள் கண்டால் என்னை கண்டு போகவும்)! எனவே இந்த உறுப்பு உண்மையில் பின்வருமாறு சுருக்கப்படுகிறது:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

இங்கு

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

இது உச்சிப்பள்ளிப் பௌதிகவியலில் பார்க்கும் சாதாரண இயங்கிச் சக்தி. இப்போது முன்பு உள்ள அலைச் சார்பில், இந்த புதிய தகவலை உள்ளடக்கி நாம் என்ன பெறுவதை பார்க்கலாம்:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

நாம் இரு உறுப்புகளை இப்போது பிரித்து கொண்ட காரணம், முதல் உறுப்பு $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (இது ஒரு மீதி ஒளியின் வேகத்தில் அடிப்படையில்) இரண்டாவது உறுப்பை விட பெரிய அளவில் செயல்படும் மற்றும் நாம் தேடும் துகள்-அலை அமைப்பை அவசரமாக விளக்காது. எனவே, இந்த வேறுபாட்டை நிலைநாட்ட வேண்டும்:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

இப்போது நாம் கூறியது:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

இப்போது, $\Psi(\vec{r},t)$ இன் முதல் மற்றும் இரண்டாம் பகுதிச் சார்ந்த வகைக்கெழுக்களை எடுத்து கொள்வோம். முதல் வகைக்கெழு:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

மற்றும் இரண்டாம் வகைக்கெழு:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

நாம் கவனிக்க வேண்டும் என்னவென்றால், இரண்டாம் பகுதி வகைக்கெழு உள்ள அடியார் உறுப்பு மிகச் சிறியதாக இருக்கும், ஏனெனில் $c^2$ அளவு கொண்ட உறுப்பு இல்லை, எனவே தோராயமாக, உண்மையான இரண்டாம் வகைக்கெழு கீழ்க்கண்டவாறு கொடுக்கப்படுகிறது:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

இந்த இரு பகுதி வகைக்கெழுக்களை எடுத்து வந்த சுலுவனான காரணம், இது முன்னர் விவரித்த அலை சார்பின் சமன்பாட்டில் அவற்றை பொருத்த வேண்டும்:

ஆனால் அதற்கு முன், இந்த சூத்திரத்தை மாற்றி வரிசைப்படுத்துவோம், அதன் பின் நாம் கிளைன்-கார்டன் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

இப்போது நாம் இந்த சமன்பாட்டை 3-விமாணத்திற்கு எளிதாக பொதுமைப்படுத்தலாம், இந்த சமன்பாட்டை ஒரு வெக்டர் சமன்பாடாக மாற்றுவதன் மூலம் (இந்த சூத்திரத்தை வெகுவதற்கு நாம் எடுத்த அனைத்து படிகளும் $x,y$ , மற்றும் $z$ அனைத்திற்கும் பொருந்தும்.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

இந்த சமன்பாடு ஒரு சுதந்திர பொருளுக்கான க்லைன்-கார்டன் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சமன்பாடு போர்டெய்வியல் போக்குடையது, ஏனெனில் அதன் ஆற்றல் உறுப்பு நாம் சிறிய $\sqrt{1+x}$ டெய்லர் விரிவுடன் செய்த அனுமானங்களை செய்யவில்லை.

இப்போது, க்லைன்-கார்டன் சமன்பாட்டை சுருக்குவோம் (1-விமாணத்திற்கு திரும்பி வரும் மற்றும் நமது புதிய ஆற்றல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்) மற்றும் நாம் போர்டெய்வியல் ச்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டிற்கு வந்தடையும்:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

நமது புதிய அலைச் சார்பை $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ என்று வைத்து, நாம் நேரத்தை பொறுத்து முதல் மற்றும் இரண்டாம் வகைகள் எவ்வாறு இருக்கின்றன என்பதை அறிந்து கொள்வோம்:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

இப்போது நாம் செய்ய வேண்டியது என்னவென்றால், மூன்று திசைகளில் (ஒரு குறிப்பிட்ட கருத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள் $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

சமன்பாட்டின் வலது பகுதியில் உள்ள உறுப்பு அலை சார்பின் மொத்த ஆற்றலை விளக்குகிறது என்பதை கூறலாம்.

நமது விளைவுக்கு நாம் $V(\vec{r},t)$ என்பது 0 என்று முன்னோக்கியது மற்றும் மட்டுமே இயக்க ஆற்றல் கருதப்பட்டது. நாம் தெரிந்து கொள்கிறோம் என்பது தொடர்புடைய இடத்தில் முழுமையாக கூட்டுதலாக இருக்கிறது, எனவே, மூன்று திசைகளில் முழுமையான ஸ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு என்பது:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

இதுவே! இங்கே நாம் மூன்று திசைகளில் ஒரு இல்லமைவிய கणத்திற்கான முழுமையான ஸ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்தியுள்ளோம். உங்களுக்கு இந்த பதிவு பிடித்திருந்தால் மற்றும் இதைப் போன்ற பதிவுகளை காண விரும்பினால், உங்கள் மின்னஞ்சல் மூலம் அறிக்கையிடுங்கள்.

உத்தரவுகள்

Gasiorowicz, S. (2019). குவாண்டம் இயற்பியல். 2வது வெளிப்பாடு. கனடா: ஹாமில்டன் பிரிண்டிங், பக்கங்கள்.1-50.
Griffiths, D. (2019). குவாண்டம் இயற்பியல். 3வது வெளிப்பாடு. அனிவர்சிடி பிரிண்டிங் ஹவஸ், கேம்பிரிஜ்: கேம்பிரிஜ் பல்கலைகழக பதிப்பகம்.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). எப்படி ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாட்டை வெளிப்படுத்துவது. [ஆன்லைன்] arXiv.org. கிடைக்கும் இணைப்பு: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [செல்லுந்து பார்க்கப்பட்டது 29 மே 2019].
Shankar, R. (1980).குவாண்டம் இயற்பியலின் தத்துவங்கள். 1வது வெளிப்பாடு. நியூயார்க்: ஸ்பிரிங்கர் சைன்ஸ், பக்கங்கள்.1-40.

அறிக்கை: உரிமையான தொகுப்புகளை வரவேற்க வேண்டும், பகிர்வதற்கு தரவிற்கு உரிய விளைவுகளை வழங்குக. விலைக்கு உரிமை விலக்கப்பட்டால் தொடர்புகொள்க விலக்கும்.

ஒரு கொடை அளித்து ஆசிரியரை ஊக்குவி!

வருகைகள்:

விஞ்ஞான கட்டுரைகள்

குவாண்டம் தத்துவம்

நிபுணர்கள் பற்றி

Electrical4u

China