Schrödingerova valna jednadžba: Izvod i objašnjenje

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što je Schrödingerova jednadžba?

Schrödingerova jednadžba (poznata i kao valna jednadžba Schrödingera) je parcijalna diferencijalna jednadžba koja opisuje dinamiku kvantnih mehaničkih sustava putem valne funkcije. Trajektorija, položaj i energija tih sustava mogu se dobiti rješavanjem Schrödingerove jednadžbe.

Sve informacije o subatomskom česticama su kodirane unutar valne funkcije. Valna funkcija ispunjava i može se riješiti koristeći Schrödingerovu jednadžbu. Schrödingerova jednadžba je jedan od temeljnih aksioma koji se uvode u studiju fizike na fakultetu. S vremenom postaje sve češće upotrebljavati Schrödingerovu jednadžbu u programima električnog inženjerstva na sveučilištima, jer se primjenjuje na poluprovodnike.

Nažalost, u oba slučaja se navodi samo kao postulat i nikada se značajno ne izvodi. To je prilično nezadovoljavajuće, jer gotovo sve ostalo što se predaje u kvantnoj fizici na fakultetu temelji se na ovom osnovu. U ovom članku izvedit ćemo jednadžbu od nule i najbolje što mogu pokušat ću pokazati svaki korak koji je napravljen.

Zanimljivo, argumenti koje ćemo navesti isti su oni koji su bili korišteni od strane samog Schrödingera, tako da možete vidjeti linije razmišljanja koje je titan izradivao u svoje vrijeme. Kao podsjetnik, evo vremenski ovisne Schrödingerove jednadžbe u tri dimenzije (za nerelativističku česticu) u svom cijenjenju:

Kvantna fizika i valovi

Svi vole kritizirati klasičnu fiziku – ali dobro nam je poslužila dosta dugo (misli se na Newtonove zakone, Maxwellove jednadžbe i specijalnu teoriju relativnosti).

Međutim, kao što je pokazano u našim prethodnim člancima, eksperimentalni rezultati na prijelazu stoljeća nisu bili previše impresivni u usporedbi s poznatom fizikom tada. Naši članci o eksperimentu s dvostrukim šlitom i do neke mjere fotoelektričnom efektu su eksperimentalni rezultati koji nisu dobro odgovarali poznatom razumijevanju tada.

A zašto? Da bih to jednostavno objasnio, u klasičnoj fizici postoje dvije entitete, čestice i valovi. Svojstva ova dva entiteta mogu se opisati sljedeće:

Čestice: lokalizirane sveze energije i količine gibanja s masom $m$ .

Valovi: perturbacije rasprostranjene po prostoru i vremenu. Mogu se opisati valnom funkcijom $\psi(\vec{r}, t)$ koja opisuje valove u prostoru i vremenu.

Ovo nas dovodi do iznenađujućih rezultata pronađenih u našem članku o fotoelektričnoj emisiji. Ustanovili smo da elektron pokazuje obje ove svojstva. To potpuno suprotstavlja se poznatom razumijevanju tada, jer su se ova dva entiteta smatrala međusobno isključivima.

Ludo, zar ne? Ovdje su neki vrlo utjecajni ljudi u fizici shvatili da postoji propust u znanju, a veliki skok nastupio je kada je Louis de Broglie povezao količinu gibanja (za česticu) s valnom duljinom (za valove) danom formulom

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Također, iz Photoelectric Emission znamo da apsorpcija i emitovanje fotonima (još uvek nismo sigurni da li su čestice ili valovi) ima energiju datu sa

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

gdje je $\hbar = h/2\pi$ i $\omega=2\pi f$ . Sada smo na istoj točki na kojoj se nalazio Schrödinger prije nego što je izveo svoju slavnitu jednadžbu. Ali gdje počinjemo? Znamo da elektroni i fotoni pokazuju ponašanje poput valova i čestica. Nema ničega lošega u početku s univerzalnom jednadžbom koju bi sve valovi trebali prati, a zatim uvesti fiziku čestica kako bismo vidjeli ima li rezultata.

Kako izvesti valnu jednadžbu

Pomicanje $\psi(\vec{r}, t)$ podliježe valnoj jednadžbi. Zapamtite, elektron pokazuje ponašanje poput valova i ima elektromagnetski naboj. Stoga, za sada, pogledajmo samo elektromagnetska polja. U ovom scenariju primjenjuju se Maxwellove jednadžbe, evo ih u svom cijenjenju:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Gdje je $c$ brzina svjetlosti u vakuumu, $\vec{E}$ električno polje, a $\vec{B}$ magnetsko polje. Prva jednadžba iznad je temelj električnih generatora, induktora i transformatora i inkarnacija Faradayevog zakona.

Također, jedna od implikacija iz $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ je da ne postoje magnetski monopoli. Razumijevanje izvođenja ovih jednadžbi i fizičkog značenja iza njih čini kompletnog inženjera. Sada, izvedimo jednadžbu koju mora poštovati bilo koji elektromagnetski val primjenom rotacije na jednadžbu 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Sada možemo iskoristiti vrlo poznatu (i lako dokazanu) vektorsku identitet: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ gdje je $T$ neki zamjenski vektor. Primjenjujući ga na našu malu jednadžbu sada:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Rezultat koji imamo ovdje je jednadžba elektromagnetskih valova u tri dimenzije. Ova jednadžba se manifestira ne samo u elektromagnetskim valovima – već se također pojavljuje u akustici, seizmičkim valovima, zvučnim valovima, valovima na vodi i fluidnoj dinamici.

Kako izvesti Schrödingerovu jednadžbu

Ravninski valovi kao rješenja valne jednadžbe

Počevši od valne jednadžbe za jednu dimenziju (vrlo je lako generalizirati na tri dimenzije, jer će logika vrijediti u svim $x, y$ , i $z$ dimenzijama.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ovo je zapravo parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda i zadovoljava se ravninskim valovima:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (provjerite to sami!). } \end{equation*}$

Gdje znamo iz obične valne mehanike da je $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ i $\omega = 2 \pi f$ . Sada, koristimo rad Einsteina i Comptona i zamjenjujemo činjenicu da je energija fotona dana s $\mathsf{E} = \hbar \omega$ i od de-Brogliea da je $p = h / \lambda = \hbar k$ . Možemo dalje prilagoditi našu rješenje ravnom valu:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ovo je jednadžba ravnom vala koja opisuje foton. Zamijenimo ovu jednadžbu u našu valnu jednadžbu i vidimo što otkrijemo!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Drugim riječima, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ što je odlično jer znamo iz specijalne relativnosti da je ukupna energija za relativističku česticu s masom $m$ sljedeća:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Dakle, do sada smo se bavili samo fotonom koji nema masu $(m=0)$ ! Neka proširimo naše razumijevanje i primijenimo ukupnu relativističku energiju za česticu s masom (poput elektrona, na primjer) i promijenimo naziv naše jednadžbe u $\Psi$ jer smo mi kool.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ova jednadžba potječe direktno iz zamjene ravne valne jednadžbe za foton u valnu jednadžbu. Međutim, budući sada želimo da energija riješi ukupnu relativističku energiju za česticu s masom, moramo malo promijeniti valnu jednadžbu. To je zbog toga što valna jednadžba ne bi trebala u potpunosti vrijediti za našu novu $\Psi$ koja opisuje čestice i valove. Sada možemo riješiti operator kako bismo dobili gornju jednadžbu, i on je dan sa:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Rješavanje za čestice s masom u valnoj jednadžbi

Sada želimo napraviti nekoliko aproksimacija na cijelu energiju koju smo upravo opisali sa $\mathsf{E}$ za česticu s količinom gibanja i masom. Slijedi da malo preuredimo formulu kako bismo mogli koristiti neke aproksimacije.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Cilj ove manipulacije je dobiti jednadžbu u obliku $\sqrt{1 + x}$ jer ako izvedemo Taylorov razvoj ove jednadžbe, dobivamo:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kada je $x$ mali, jedini dio koji ostaje u Taylorovom razvoju je $O(1)$ term. U našoj formuli za energiju, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Možemo iskoristiti činjenicu da je $p = mv \ll mc$ za sve što ne putuje brzinom svjetlosti (molim vas da me pronađete ako pronađete nešto što to ne zadovoljava)! Dakle, ovaj izraz se zapravo svede na:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

gdje

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

jest normalna kinetička energija koju vidimo iz fizičkog obrazovanja u srednjoj školi. Vratimo se sada na valnu funkciju iz prijašnjeg, unesimo ove nove informacije i vidimo što dobivamo:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Razlog zašto smo sada razdvojili ova dva pojma jest taj što će prvi pojam $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (opet temeljen na brzini svjetlosti) biti značajno oscilatorniji od drugog pojma i ne nužno opisuje čestico-valnu entitet kojeg tražimo. Da bismo utvrdili tu razliku, sada postavljamo da je:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Gdje smo sada definirali:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Sada ćemo uzeti prvu i drugu parcijalnu derivaciju od $\Psi(\vec{r},t)$ i vidjeti što dobivamo. Prva:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

i druga:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Trebali bismo imati na umu da je posljednji član s drugim parcijalnim derivacijama vrlo mali zbog činjenice da ne postoji $c^2$ član s redom veličine, i stoga, približno, zapravo druga derivacija dana je sa:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Skriveni razlog zašto smo uzeli ove dvije parcijalne derivacije bio je da bismo ih mogli uvrstiti u ovu jednadžbu koja opisuje valnu funkciju:

No prije nego to učinimo, preuredimo ovu formulu i dobivamo jednadžbu poznatu kao Klein-Gordonova jednadžba:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Sada možemo lako generalizirati ovo na tri dimenzije pretvarajući ovu jednadžbu u vektorsku jednadžbu (sve korake koje smo poduzeli da izvedemo ovu formulu možemo primijeniti za sve $x,y$ i $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ova jednadžba poznata je kao Klein-Gordonova jednadžba za slobodnu česticu. Ova jednadžba je relativistička jer njen energetski termin ne donosi pretpostavke koje smo napravili s malim $\sqrt{1+x}$ Taylorovom ekspanzijom.

Sada pojednostavimo Klein-Gordonovu jednadžbu (vraceći se na 1-D i primjenjujući novu formulу za energiju) i dođimo do dugotrajno očekivane Schrödingerove jednadžbe:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Umetnimo našu novu valnu funkciju datu sa $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ gdje znamo kako izgledaju prvi i drugi derivati s obzirom na vrijeme:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Sada sve što trebamo učiniti jest jednostavno preurediti kako bismo dobili Schrödingerovu jednadžbu u tri dimenzije (napomena: $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Argument može se postaviti primjećujući sličnost klasičnog Hamiltonijana da term na desnoj strani jednadžbe opisuje ukupnu energiju valne funkcije.

U našem izvođenju, pretpostavili smo da je $V(\vec{r},t)$ 0 i uzeli smo u obzir samo kinetičku energiju. Znamo da je potencijal čisto aditivan s obzirom na njegove prostorne varijacije, stoga, cijela Schrödingerova jednadžba u tri dimenzije s potencijalom dana je sa:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

To je to! Evo ga, ova objava je izvela cijelu Schrödingerovu jednadžbu za nerezultativnu česticu u tri dimenzije. Ako vam se sviđa ovaj post i želite vidjeti više sličnih, molimo vas da nas kontaktirate putem e-pošte kako bismo to znali.

Navedbe

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantna fizika. 2. izd. Kanada: Hamilton Printing, str. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantna fizika. 3. izd. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. i Volkmer, S. (2019). Kako izvesti Schrödingerovu jednadžbu. [online] arXiv.org. Dostupno na: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Pristupljeno 29. svibnja 2019.].
Shankar, R. (1980).Principi kvantne mehanike. 1. izd. New York: Springer Science, str. 1-40.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijede podijeliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molim o obris.

Daj nagradu i ohrabri autora

Teme:

Članci o fizici

Kvantna teorija

O stručnjacima

Electrical4u

China