Schrödinger Golfwening: Afleiding & Verduideliking

Electrical4u

Veld: Basiese Elektriese

China

Wat is die Schrödinger-vergelyking?

Die Schrödinger-vergelyking (ook bekend as Schrödinger se golfvergelyking) is 'n parsiële differensiaalvergelyking wat die dinamika van kwantummechaniese stelsels deur middel van die golf funksie beskryf. Die trajek, posisie en energie van hierdie stelsels kan deur die oplossing van die Schrödinger-vergelyking bepaal word.

Al die inligting vir 'n subatomiese deeltjie is gekodeer binne 'n golf funksie. Die golf funksie sal voldoen en kan opgelos word deur die gebruik van die Schrödinger-vergelyking. Die Schrödinger-vergelyking is een van die fundamentele aksiomas wat in onderwyslike fisika bekendgestel word. Dit word ook steeds meer algemeen om die Schrödinger-vergelyking in die elektriese ingenieurswese kurrikulum by universiteite te vind, aangesien dit toepasbaar is op halfgeleiers.

Ongelukkig word dit slegs as 'n postulaat in albei gevalle gestel en nooit op 'n betekenisvolle manier afgelei nie. Dit is baie onbevredigend aangesien nagenoeg alles anders wat in onderwyslike kwantumfisika onderwees word, op hierdie grondslag gebou word. In hierdie artikel gaan ons die vergelyking van die begin af aflei en ek sal my best doen om elke stap wat geneem is, te wys.

Interessant genoeg is die argumente wat ons gaan maak dieselfde as dié wat deur Schrödinger self geneem is, sodat jy die denkwyse van 'n reus in sy tyd kan sien. As 'n herinnering, hier is die tydafhanklike Schrödinger-vergelyking in 3-dimensies (vir 'n nie-relativistiese deeltjie) in al sy skoonheid:

Kwantumfisika en Golwe

Mense hou daarvan om klassieke fisika te kritiseer – maar dit het ons baie goed gedien vir 'n hele tyd (dink aan Newton-se meganika, Maxwell se vergelykings en spesiale relativiteit).

Dit is egter, soos in ons vorige artikels getoon is, die eksperimentele resultate aan die begin van die eeu nie so flitsend as die bekende fisika van daardie tyd was nie. Ons artikels oor die dubbel-spleet-eksperiment en tot 'n mate die foto-elektriese effek is eksperimentele resultate wat nie goed met die bekende begrippe van die tyd ooreenstem het nie.

Maar hoekom? Om dit eenvoudig te sê, in klassieke fisika bestaan daar twee entiteite, deeltjies en golwe. Die kenmerke van albei hierdie entiteite kan as volg beskryf word:

Deeltjies: gelokaliseerde bundels energie en impuls met massa $m$ .

Golwe: verstoringe versprei oor ruimte wat oor tyd reis. Hulle kan beskryf word met 'n golf funksie $\psi(\vec{r}, t)$ wat die golf oor ruimte en tyd beskryf.

Dit bring ons na die verbluffende resultate gevind in ons Foto-elektriese Emissie artikel. Ons het ontdek dat die elektron beide van hierdie eienskappe wys. Dit strijd volkome teen die bekende begrippe van die tyd, want die twee entiteite is as wederkerig uitsluitend beskou.

Ongehoord reg? Ongeveer op hierdie tydstip het sommige invloedryke figure in fisika begin besef dat daar 'n gat in kennis was, en 'n groot deurbraak het plaasgevind toe Louis de Broglie 'n impuls (vir 'n deeltjie) geassosieer het met 'n golflengte (vir golwe) gegee deur

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ook, vanaf Foto-elektriese emissie weet ons dat die energie-absorpsie en -emissie van fotonne (nog steeds onseker of dit deeltjies of golwe is) deur die volgende formule gegee word:

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Waar $\hbar = h/2\pi$ en $\omega=2\pi f$ . Ons is nou op dieselfde stadium as Schrödinger voor hy sy beroemde vergelyking afgelei het. Maar waar begin ons? Wel, ons weet dat elektrone en fotonne golfagtige en deeltjieagtige gedrag vertoon. Daar sou niks verkeerd wees om met 'n universele vergelyking te begin wat alle golwe moet gehoorsaam en dan deeltjie-fisika daarop toe te voeg om te sien of daar 'n resultaat is.

Hoe om die Golfvergelyking af te lei

Die storing $\psi(\vec{r}, t)$ gehoorsaam die golfvergelyking. Onthou, die elektron vertoon golfagtig gedrag en het 'n elektromagnetiese laai. Dus, vir nou, kyk ons net na elektromagnetiese velds. In hierdie scenario pas Maxwell se vergelykings toe en hier is hulle in al hul glorie:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Waar $c$ die spoed van lig in 'n vakuum is, $\vec{E}$ die elektriese veld is en $\vec{B}$ die magnetiese veld is. Die eerste vergelyking hier bo is die basis van elektriese opwekkers, induksiemolle en transformateurs en is die belichaming van Faraday se Wet.

Ook, een van die gevolge van $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ is dat daar geen magnetiese monopole bestaan nie. Begrip van die afleiding van hierdie vergelykings en die fisiese betekenis daaragter maak 'n alomvattende ingenieur. Laat ons nou die vergelyking aflei wat enige elektromagnetiese golf moet gehoorsaam deur 'n curl toe te pas op Vergelyking 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ons kan nou 'n baie vertroude (en maklik bewysbare) vektoreidentiteit gebruik: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ waar $T$ 'n plaasvervangende vektor is. Toegepas op ons vergelyking:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Die resultaat wat ons hier het, is die elektromagnetiese golfvergelyking in 3-dimensies. Hierdie vergelyking word nie slegs in 'n elektromagnetiese golf vertoon nie, maar ook in akoustiek, seismiese golwe, klankgolwe, watergolwe en vloeistofdinamika.

Hoe om die Schrödinger-vergelyking af te lei

Vlakgolfoplossings vir die golfvergelyking

Begin met die golfvergelyking vir 1-dimensie (dit is werklik maklik om dit na 3 dimensies te veralgemeen, want die logika sal in al $x, y$ , en $z$ dimensies van toepassing wees):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Dit is in werklikheid 'n tweede-orde parsiële differensiaalvergelyking en word bevredig deur vlakgolfoplossings:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kontroleer dit self!). } \end{equation*}$

Waar ons weet dat uit normale golfmechanika $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ en $\omega = 2 \pi f$ . Laat ons nou gebruik maak van die werk van Einstein en Compton en vervang in die feit dat die energie van 'n foton gegee word deur $\mathsf{E} = \hbar \omega$ en van de-Broglie dat $p = h / \lambda = \hbar k$ . Ons kan ons vlakgolfoplossing verder aanpas tot:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Dit is die vlakgolfgelyking wat 'n foton beskryf. Laat ons hierdie vergelyking in ons golfvergelyking vervang en kyk wat ons vind!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Met ander woorde, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ wat wonderlik is omdat ons weet vanuit spesiale relativiteit dat die totale energie vir 'n relativistiese deeltjie met massa $m$ as volg is:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

En ons het slegs met die foton gewerk wat geen massa het nie $(m=0)$ ! Laat ons nou ons begrip uitbrei en die totale relativistiese energie vir 'n deeltjie met massa (soos die elektron byvoorbeeld) toepas en die naam van ons vergelyking verander na $\Psi$ omdat ons ballers is.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Hierdie vergelyking kom regstreeks voort uit die substitusie van die vlakgolfvergelyking vir 'n foton in die golfvergelyking. Echter, aangesien ons nou die energie wil oplos vir die totale relativistiese energie vir 'n deeltjie met massa, moet ons die golfvergelyking liggies verander. Dit is omdat die golfvergelyking nie volledig op ons nuwe $\Psi$ moet pas wat deeltjies en golwe beskryf. Ons kan nou terugrekeneer vir 'n operator om die bo-gegee vergelyking te kry, en dit word gegee deur:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Oplossing vir Deeltjies met Masse in die Golfvergelyking

Ons wil nou 'n paar benaderings maak op die volledige energie wat ons net beskryf het deur $\mathsf{E}$ vir 'n deeltjie met impuls en massa. Laat ons net die formule liggies herordineer sodat ons 'n paar benaderings kan gebruik.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Die hele doel van hierdie manipulasie is om die vergelyking in die vorm $\sqrt{1 + x}$ te kry, omdat as ons 'n Taylor-reeks-uitbreiding van hierdie vergelyking neem, kry ons:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Wanneer $x$ klein is, bly slegs die $O(1)$ term oor in die Taylor-uitbreiding. In ons energieformule, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Ons kan gebruik maak van die feit dat $p = mv \ll mc$ vir enigiets wat nie met ligspoed beweeg nie (as jy iets vind wat hierdie voorwaarde nie voldoen nie, moet jy my laat weet)! So vermindert hierdie term eintlik tot:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Waar

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

is die normale kinetiese energie wat ons van skoolfisika ken. Kom ons kyk nou na die golf funksie van voorheen, en bring hierdie nuwe inligting in om te sien wat ons uiteindelik kry:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Die rede dat ons nou die twee terme geskei het, is dat die eerste term $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (net op grond van die spoed van lig weer) baie meer osilleer as die tweede term en beskryf nie noodwendig die deeltjie-golf entiteit wat ons soek nie. So om hierdie verskil te versterk, stel ons nou vas dat:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Waar ons nou gedefinieer het:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Laat ons nou die eerste en tweede parsiële afgeleides van $\Psi(\vec{r},t)$ neem en sien waarmee ons eindig. Die eerste:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

en die tweede:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Ons moet in gedagte hou dat die laaste term met die tweede parsiële afgeleide baie klein is, omdat daar geen $c^2$ term is wat die orde van grootte dra, en dus deur benadering, word die werklike tweede afgeleide gegee deur:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Die slimme rede waarom ons hierdie twee parsiële afgeleides geneem het, was sodat ons dit kon invoer in hierdie vergelyking wat die golf funksie vroegertyd beskryf het:

Maar voordat ons dit kan doen, laat ons hierdie formule herskik en ons sal eindig met 'n vergelyking genaamd die Klein-Gordon vergelyking:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ons kan dit nou maklik na drie dimensies veralgemeen deur hierdie vergelyking in 'n vektorevergelyking om te skryf (al die stappe wat ons geneem het om hierdie formule af te lei, sal van toepassing wees vir alle $x,y$ , en $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Hierdie vergelyking is bekend as die Klein-Gordon-vergelyking vir 'n vrye deeltjie. Hierdie vergelyking is relativisties, want sy energieterm maak nie die aannames wat ons met die klein $\sqrt{1+x}$ Taylor-uitbreiding gedoen het nie.

Laat ons nou die Klein-Gordon-vergelyking vereenvoudig (teruggaan na 1-D en ons nuwe energieformule toepas) en ons sal by die langgewagte Schrödinger-vergelyking uitkom:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Laat ons ons nuwe golf funksie gegee deur $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ invoer, waar ons weet hoe die eerste en tweede afgeleides met betrekking tot tyd lyk:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Al wat ons nou moet doen, is 'n eenvoudige herskikking om die Schrödinger-vergelyking in drie dimensies te verkry (let op dat $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Waar die argument kan gemaak word deur op te merk dat die term aan die regterkant van die vergelyking die totale energie van die golf funksie beskryf, soos dit ooreenkom met die klassieke Hamiltoniaan.

In ons afleiding het ons aangenome dat $V(\vec{r},t)$ 0 is en dat slegs die kinetiese energie in ag geneem is. Ons weet dat die potensiaal puur additief is ten opsigte van sy spasiale variasies en daarom is die volledige Schrödinger-vergelyking in drie dimensies met potensiaal gegee deur:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Dit is alles! Hier het ons die volledige Schrödinger-vergelyking vir 'n nie-relativistiese deeltjie in drie dimensies afgelei. As jy hierdie pos geniet het en meer soortgelyke inhoud wil sien, stuur asseblief 'n e-pos na ons om dit te laat weet.

Bronnys

Gasiorowicz, S. (2019). Kwantumfisika. 2de druk. Kanada: Hamilton Printing, bls.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kwantumfisika. 3de druk. Universiteitdrukkerij, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. en Volkmer, S. (2019). Hoe om die Schrodinger-vergelyking af te lei. [online] arXiv.org. Beskikbaar by: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Geraadpleeg op 29 Mei 2019].
Shankar, R. (1980).Principes van Kwantummechanika. 1ste druk. New York: Springer Science, bls.1-40.

Verklaring: Respekteer die oorspronklike, goeie artikels wat waard is om gedeel te word, as daar inbreuk is maak asb. kontak vir verwydering.

Gee 'n fooitjie en moedig die outeur aan!

Onderwerpe:

Fisika Artikels

Kwantumteorie

Oor deskundiges

Electrical4u

China

Kundigheidsgebied

Basic Electrical

Professionele artikel

607