Schrödinger Wave Equation: Derivation & Explanation Ekwasyon sa Bala ni Schrödinger: Deribasyon & Pagsulti

Electrical4u

Larangan: Basic Electrical Basikong Elektikal

China

Unsa ang Schrodinger Equation?

Ang Schrödinger equation (o mas nailhan isip Schrödinger’s wave equation) mao ang usa ka partial differential equation nga mosangpot sa dinamika sa mga sistema sa quantum mechanics pinaagi sa wave function. Ang trayektoriya, posisyon, ug energia sa mga sistema kini makakita sa pag-solve sa Schrödinger equation.

Tanang impormasyon para sa subatomic particle gisulod sa usa ka wave function. Ang wave function mokasabot ug mahimo molutas gamit ang Schrodinger equation. Ang Schrodinger equation mao ang usa sa fundamental nga axioms nga gipakilala sa undergraduate physics. Adunay kasagaran nga gi-introduce usab ang Schrödinger equation sa electrical engineering syllabus sa mga unibersidad tungod kay makapareha kini sa semiconductors.

Dugay na mao lang nagsulti kini isip postulate sa duha nga kasong wala ma-derive sa meaningful way. Kini nagpadayon og dissatisfying tungod kay tanan nga gisulti sa undergraduate quantum physics gisulod sa foundation niining. Sa sulod niining artikulo, mi-derive kami sa equation gikan sa scratch ug ipakita nako ang tanang step.

Mga argumento nga atong gibuhat mao ang parehas sa iyang gibuhat ni Schrödinger mismo, mao nga makita ninyo ang lines of thinking sa usa ka giant sa iyang panahon. Isip reminder, hini ang time-dependent Schrödinger equation sa 3-dimensions (para sa non-relativistic particle) sa tanang kaanyagan:

Quantum Physics and Waves

Gustuhon nimo bagyahan ang classical physics – pero maayo ni siya mihimong serbisyo alang kanato bahin-bahin (think Newtonian mechanics, Maxwell’s equations, ug special relativity).

Pero, isip sa atong mga naunang artikulo, ang mga resulta sa eksperimento sa pagpan-anak sa siglo wala mao ang flashy kon ikompara sa nailhan nga pisika sa panahon. Ang aming mga artikulo sa double slit experiment ug sa ilang bahin ang photoelectric effect mao ang mga resulta sa eksperimento nga wala magmatch sa nailhan nga pagkabana sa panahon.

Pero asa? Para madali mogawas, sa classical physics adunay duha ka entidad, particles ug waves. Ang features sa duha ka entidad mahimong ipahibalo kini:

Particles: localized bundles of energy and momentum with mass $m$ .

Waves: disturbances spread over space-traveling over time. They can be described with a wave function $\psi(\vec{r}, t)$ that describes the wave over space and time.

Kini nagdala kanamo sa surprising results nahanap sa aming Photoelectric Emission article. Nakita nato nga ang electron shows both of these properties. Kini completely contradicts the known understanding of the time as the two entities were considered mutually exclusive.

Insane right? About this time, some really influential figures in physics started realizing that there was a gap in knowledge, and a large breakthrough came about when Louis de Broglie associated a momentum (for a particle) to a wavelength (for waves) given by

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ania, gikan sa Photoelectric Emission natudlo kita nga ang pag-absorb ug pag-emit sa photons (wala pa mabati kung partikulo o wave) adunay enerhiya nga gihatag pinaagi niini

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Diin $\hbar = h/2\pi$ ug $\omega=2\pi f$ . Karon sama ra ta sa yugto diin nagsugyot si Schrödinger sa iyang famoso nga ekwasyon. Asa kita mogiis? Mahimong wala'y sayop kon mag-start kita sa universal nga ekwasyon nga dapat isipan ang tanang waves ug pag-introduce og particle physics aron masayran ang resulta.

Paano Derive ang Wave Equation

Ang disturbance $\psi(\vec{r}, t)$ sumusunod sa wave equation. Tandaan, ang electron nagpakita og wave-like behavior ug adunay electromagnetic charge. Dili mao ang panahon, tingnan lang nato ang electromagnetic fields. Sa kasagaran, ang Maxwell’s equations applicable ug diri sila sa ilang glory:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kung diin ang $c$ ang bilis sa liwanag sa vacuum, $\vec{E}$ ang elektrikong field ug $\vec{B}$ ang magnetic field. Ang unang ekuwasyon sa itaas mao ang pundokan sa electric generators, inductors, ug transformers ug ang pagpakita sa Faraday’s Law.

Usab, usa ka implikasyon gikan sa $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ mao nga walay magnetic monopoles. Ang pagkamahimo sa kini nga mga ekuwasyon ug ang pisikal nga kahulugan nianhi mahimong maghatag og maayo nga hinungdan sa usa ka engineer. Karon, atong ipailubon ang ekuwasyon nga dapat sumala sa tanang electromagnetic wave pinaagi sa pag-aplikar og curl sa Equation 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Karon, atong gamiton ang usa ka familiar (ug easy na mapatunayan) nga vector identity: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ diin ang $T$ usa ka placeholder vector. Pag-aplikar kini sa among equation karon:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ang resulta nga nami diri mao ang electromagnetic wave equation sa 3-dimensions. Kini nga ekwasyon adunay manifestasyon dili lang sa electromagnetic wave apan usab sa acoustics, seismic waves, sound waves, water waves, ug fluid dynamics.

Paano I-Derive ang Schrödinger Equation

Plane Wave Solutions to the Wave Equation

Magsugod gikan sa wave equation para sa 1-dimension (gamay ra kaayo ang pag-generalize sa 3 dimensions pagkatapos tungod kay ang logic sama sa tanang $x, y$ , ug $z$ dimensions.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Kini, sa realidad, usa ka second-order partial differential equation ug kini na-satisfy sa plane wave solutions:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

Kung sa normal nga wave mechanics natun-an nato nga $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ug $\omega = 2 \pi f$ . Karon, gamiton nato ang trabaho ni Einstein ug Compton ug isulod nato ang katuyuan nga ang energia sa photon gitumong pinaagi sa $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ug gikan ni de-Broglie nga $p = h / \lambda = \hbar k$ . Mahimo nato pang masobrahan ang atong plane wave solution ngadto sa:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ini ang plane wave equation nga nagdeskripsyon sa photon. Isulod nato kini nga equation sa atong wave equation ug tingnan nato unsa ang makita nato!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Sa uban pa, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ kini maayo kay alam nato gikan sa special relativity nga ang total nga energy para sa relativistic particle nga may masa $m$ mao kini:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Og tungod ra nato ang photon sa pagkakaron nga walay masa $(m=0)$ ! Busa, palihug expand-on kita ang atong pagkat-on ug i-apply ang total relativistic energy para sa partikulo nga may masa ( sama sa electron nga e.g.) ug baguhon ang ngalan sa atong equation isip $\Psi$ tungod kay ballers mi.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Kini nga equation mao ang nag-uli gikan sa substituting sa plane wave equation para sa photon sa wave equation. Tungod kay gusto nato ang energy aron masolbos ang total relativistic energy para sa partikulo nga may masa, kinahanglan nato baguhon ang wave equation kaunti. Tungod kay dili na ang wave equation mag-apply sa amoa nga bag-o nga $\Psi$ nga describes particles ug waves. Kini mahimo nato backsolve aron makit-an ang operator aron makapaghatag og equation sa itaas, ug gi-give kini isip:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Paghunahon sa mga Partikulo nga may Katungod sa Wave Equation

Karon, gusto nato moguhit og daghang mga hulagway sa kompleto nga energy nga gi-describe nato pinaagi $\mathsf{E}$ para sa usa ka partikulo nga may momentum ug katungod. Pag-uli lang nato ang formula aron makapangita ta og daghang mga hulagway.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Ang tanang butang niining pagbag-o mao ang pagkuha sa equation sa form $\sqrt{1 + x}$ tungod kay kon mag-ila ta og Taylor Series expansion sa kini nga equation, makakita kita:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kung $x$ gamay, ang bahin nga magbalantay sa Taylor expansion mao ang $O(1)$ term. Sa among formula sa energy, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Mahimong paggamiton nato ang kasinatian nga $p = mv \ll mc$ para sa tanang bag-ong dili naglakip sa speed sa light (pagpadayon nimo kung makita nimo ang usa ka butang nga dili mosatisfy niini)! Busa, ang termino mao ang gipadako sa:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kung diin

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ang normal nga kinetic energy nga gikita nato sa high school physics. Tumanan na ang wave function gikan sa dili pa, atubangon nato karon ang bag-ong impormasyon ug tingdan nato unsa ang matagamtam nato:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ang rason asa mi na giseparar ang duha ka termino mao kini nga ang unang termino $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (basahan lang sa bilis sa liwanag) mas dako ang pag-oscillate kay sa ikaduhang termino ug dili kasagaran nagdescribe sa particle-wave entity nga gigutom namon. Busa aron mapasiguro kini nga kalainan, ipahibalo nato nga:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Asa mi na gidefine:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Himo nato ang unang ug ikaduhang partial derivatives sa $\Psi(\vec{r},t)$ ug tingnan nato unsa ang makakita. Ang unang:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ug ang ikaduhang:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Mas importante nga atonang gipangandanan nga ang katapusang termino sa ikaduhang parsiyal na derivative adunay gamay nga sukat tungod sa kahimtang nga walay $c^2$ nga termino nga nagdala sa order of magnitude, ug dili lang ninyo, pinaagi sa approximation, ang tun-aw nga ikaduhang derivative mao ang:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Ang siguro nga rason nga among giangkon niini nga duha ka parsiyal nga derivative mao ang pagbutang nito sa ekwasyon nga nagdeskripsyon sa wave function sa maong panahon:

Apan bago kita mahimo kini, hagdanon nato kini nga formula ug matapos nato ang usa ka ekwasyon nga gitawag og Klein-Gordon equation:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ngayon, mahimo natin ang pag-generalize niini sa 3-dimensiyon pinaagi sa pag-convert niini ngadto sa vector equation (tanan ang mga hakbang nga gibuhat nato aron makuha kini nga formula mag-aplikar para sa tanang $x,y$ , ug $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ang ekwasyon niini gitawag og Klein-Gordon equation alang sa free particle. Relativistic ang ekwasyon niini tungod kay ang iyang termino sa energy wala mag-set uban sa mga assumptions nga gibuhat nato sa kauban ang gamay nga $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Ngayon, palihug simplipikaon nato ang Klein-Gordon equation (balik sa 1-D ug ipasabot ang aming bag-o nga energy formula) ug matangi nato ang long-awaited Schrödinger Equation:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Pagsulayi nato ang aming bag-o nga wave function nga gihatag pinaagi sa $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ diin kita kasabot unsa ang first ug second derivatives sa oras:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ngayon, ang kinahanglan namon mohimo mao ang simple nga pag-arrange aron makakuha kita sa Schrödinger Equation sa tulo ka dimensyon (note nga $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Asa usab ang argumento mahimo pinaagi sa pagbutang og atensyon sa similarity sa classical Hamiltonian nga ang termino sa right-hand side sa equation nagdeskripsyon sa total nga energia sa wave function.

Sa among derivation, gipasabot nato nga $V(\vec{r},t)$ usa ka zero ug ang tulo ka kinetic energy ra ang gisulay. Kasagaran, ang potential purely additive bahin sa iyang spatial variations kung diin ang full Schrödinger Equation sa tulo ka dimensyon kasama ang potential adunay formula nga:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Usa na! Nahuman na ang amoa, ang maong article nagderive sa full Schrodinger equation alang sa non-relativistic particle sa tulo ka dimensyon. Kon gusto nimong makita og mas daghan pa niini, palihog mag-email namo aron maintindahan nato.

Pagtutunghay

Gasiorowicz, S. (2019). Quantum Physics. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantum Physics. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). How to Derive the Schrodinger Equation. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Pahayag: Pagrespeto sa orihinal, magandang mga artikulo ang karapat-dapat ibahagi, kung mayroong paglabag sa copyright pakiusap lumapit para mabura.

Maghatag og tip ug pagsalig sa author

Mga Paksa:

Mga Artikulo sa Physics

Teoría cuántica

Mahitungod sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan nga Eskperto

Basic Electrical

Artikulo nga Profesyonale

607