Ecuación de onda de Schrödinger: Derivación e explicación

Electrical4u

Campo: Electrónica Básica

China

Que é a ecuación de Schrödinger?

A ecuación de Schrödinger (tamén coñecida como ecuación de onda de Schrödinger) é unha ecuación diferencial parcial que describe a dinámica dos sistemas mecánicos cuánticos mediante a función de onda. A trayectoria, a posición e a enerxía destes sistemas poden obterse resolvendo a ecuación de Schrödinger.

Toda a información dunha partícula subatómica está codificada nunha función de onda. A función de onda satisfará e pode resolverse utilizando a ecuación de Schrödinger. A ecuación de Schrödinger é un dos axiomas fundamentais que se introducen na física de grao. Tamén é cada vez máis común atopar a ecuación de Schrödinger no programa de enxeñaría eléctrica nas universidades xa que se aplica a semiconductores.

Desafortunadamente, só se afirma como un postulado en ambos os casos e nunca se deriva de forma significativa. Isto é bastante insatisfactorio xa que case todo o resto ensinado na física cuántica de grao está construído sobre esta base. Neste artigo, derivaremos a ecuación desde cero e faré o mellor para mostrar cada paso dado.

Interesantemente, os argumentos que faremos son os mesmos que os tomados por Schrödinger mesmo, así que podes ver as liñas de pensamento que un xigante estaba facendo no seu tempo. Como lembranza, aquí está a ecuación de Schrödinger dependente do tempo en 3 dimensións (para unha partícula non relativista) na súa beleza:

Física Cuántica e Ondas

A todos nos gusta criticar a física clásica – pero servíuno ben durante bastante tempo (pensa na mecánica newtoniana, nas ecuacións de Maxwell e na relatividade especial).

No entanto, como se mostra nos nosos artigos anteriores, os resultados experimentais ao comezo do século non eran demasiado espectaculares cando se comparan coa física coñecida naquel momento. Os nosos artigos sobre o experimento da dúas fendas e, en certa medida, o efecto fotoeléctrico son resultados experimentais que non coincidían ben coa comprensión coñecida naquel momento.

Pero por que? Para simplificar, na física clásica existen dúas entidades, partículas e ondas. As características de ambas as entidades poden describirse do seguinte xeito:

Partículas: paquetes localizados de enerxía e momento con masa $m$ .

Ondas: perturbacións distribuídas no espazo que viaxan a través do tempo. Poden describirse cunha función de onda $\psi(\vec{r}, t)$ que describe a onda no espazo e no tempo.

Isto nos leva aos resultados sorprendentes atopados no noso artigo sobre a Emisión Fotoeléctrica. Descubrimos que o electrón mostra ambas propiedades. Isto contradiz completamente a comprensión coñecida naquel momento, xa que as dúas entidades considerábanse mutuamente excluíntes.

Incríble, ¿verdade? Nese momento, algunhas figuras moi influentes na física comezaron a darse conta de que había unha lacuna no coñecemento, e un gran avance produciuse cando Louis de Broglie asociou un momento (para unha partícula) a unha lonxitude de onda (para ondas) dada por

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ademais, dende Emisión fotoeléctrica sabemos que a absorción e emisión de fotóns (aínda non se sabe se son partículas ou ondas) teñen unha enerxía dada por

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Onde $\hbar = h/2\pi$ e $\omega=2\pi f$ . Estamos agora no mesmo punto en que Schrödinger estaba antes de derivar a súa famosa ecuación. Pero, ¿por onde comezamos? Ben, sabemos que os electróns e os fotóns están mostrando un comportamento ondulatorio e de partícula. Non haxa nada de malo en comezar cunha ecuación universal que todas as ondas deben cumprir e despois introducir a física de partículas para ver se hai algún resultado.

Como derivar a ecuación de onda

A perturbación $\psi(\vec{r}, t)$ obedece a ecuación de onda. Lembremos que o electrón presenta un comportamento ondulatorio e ten unha carga electromagnética. Polo tanto, por agora, vamos limitarnos a observar os campos electromagnéticos. Neste escenario, aplican as ecuacións de Maxwell e aquí están na súa totalidade:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo, $\vec{E}$ é o campo eléctrico e $\vec{B}$ é o campo magnético. A primeira ecuación arriba é a base dos xeradores eléctricos, inductores e transformadores e é a encarnación da Lei de Faraday.

Ademais, unha das implicacións de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ é que non existen monopólos magnéticos. Comprender a derivación destas ecuacións e o significado físico detrás delas fai dun enxeñeiro completo. Agora, vamos derivar a ecuación que calquera onda electromagnética debe cumprir aplicando un rotacional á Ecuación 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Agora podemos aproveitar unha identidade vectorial moi familiar (e facilmente probada): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ onde $T$ é algún vector substituto. Aplicando a nosa pequena ecuación agora:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

O resultado que temos aquí é a ecuación de onda electromagnética en tres dimensións. Esta ecuación non só se manifiesta nunha onda electromagnética, senón que tamén aparece en acústica, ondas sísmicas, ondas sonoras, ondas de auga e dinámica de fluídos.

Como derivar a ecuación de Schrödinger

Solucións de onda plana á ecuación de onda

Comezando coa ecuación de onda para unha dimensión (é moi doado xeneralizar a tres dimensións despois, xa que a lóxica aplicarase en todas as $x, y$ , e $z$ dimensións.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Esta é, na realidade, unha ecuación diferencial parcial de segundo orde e satisfácese con solucións de onda plana:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (comproba isto por ti mesmo!). } \end{equation*}$

Sabemos da mecánica de ondas que $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ e $\omega = 2 \pi f$ . Agora, vamos usar o traballo de Einstein e Compton e substituír o feito de que a enerxía dun fotón dáse por $\mathsf{E} = \hbar \omega$ e de Broglie que $p = h / \lambda = \hbar k$ . Podemos manipular ademais a nosa solución de onda plana para:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Esta é a ecuación de onda plana que describe un fotón. Vamos substituír esta ecuación na nosa ecuación de onda e ver que atopamos!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

En outras palabras, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ o que é ótimo porque sabemos da relatividade especial que a enerxía total para unha partícula relativista con masa $m$ é:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

E só nos ocupamos do fóton ata agora, que non ten masa $(m=0)$ ! Polo tanto, expandamos a nosa comprensión e apliquemos a enerxía relativista total para unha partícula con masa (como o electrón, por exemplo) e cambiemos o nome da ecuación a $\Psi$ porque somos xogadores.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Esta ecuación veu directamente de substituír a ecuación de onda para un fóton na ecuación de onda. No entanto, xa que agora queremos resolver a enerxía total relativista para unha partícula con masa, necesitamos cambiar lixeiramente a ecuación de onda. Isto é debido a que a ecuación de onda non debería aplicarse totalmente á nosa nova $\Psi$ que describe partículas e ondas. Agora podemos resolvelo para un operador para obter a ecuación de arriba, e dáse por:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Resolución de partículas con masa na ecuación de onda

Agora queremos facer algúns aproximados noha energia total que acabamos de describir por $\mathsf{E}$ para unha partícula con momento e masa. Rearanxemos a fórmula ligeramente para poder usar algúns aproximados.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

O obxectivo desta manipulación é obter a ecuación na forma $\sqrt{1 + x}$ porque se tomamos unha expansión en serie de Taylor desta ecuación obtemos:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Cando $x$ é pequeno, a única parte que permanece na expansión de Taylor é o termo $O(1)$ . Na nosa fórmula de enerxía, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Podemos aproveitar o feito de que $p = mv \ll mc$ para calquera cousa que non viaxe á velocidade da luz (por favor, avísame se atopas algo que non cumpra isto)! Así, este termo en realidade reducírase a:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Onde

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

É a enerxía cinética normal que vemos na física do instituto. Agora, volvendo á función de onda de antes, introduzcamos esta nova información e veamos no que resulta:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

A razón de que agora dividimos os dous termos é que o primeiro termo $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (novamente baseado na velocidade da luz) será significativamente máis oscilatorio que o do segundo termo e non necesariamente describe a entidade partícula-onda que buscamos. Polo tanto, para consolidar esta diferenza, estabelezcámos agora que:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Onde agora definimos:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Vamos agora tomar as primeiras e segundas derivadas parciais de $\Psi(\vec{r},t)$ e ver con que acabamos. A primeira:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

e a segunda:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Deberíamos ter en conta que o último termo coa segunda derivada parcial é moi pequeno debido ao feito de que non hai un termo $c^2$ que leva a orde de magnitude, e polo tanto, por aproximación, a segunda derivada real está dada por:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

A razón escondida por la que tomamos estas dúas derivadas parciais foi para poder imputalas nesta ecuación que describe a función de onda previamente:

Pero antes de facer iso, vamos reordenar esta fórmula e acabaremos cunha ecuación chamada ecuación de Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Agora podemos xeneralizar isto facilmente a 3 dimensións convirtendo esta ecuación nunha ecuación vectorial (todos os pasos que demos para derivar esta fórmula aplicarán para todos $x,y$ , e $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Esta ecuación coñécese como a ecuación de Klein-Gordon para unha partícula libre. Esta ecuación é relativista xa que o seu termo de enerxía non fai as suposicións que fixemos co pequeno $\sqrt{1+x}$ desenvolvemento de Taylor.

Agora, simplifiquemos a ecuación de Klein-Gordon (volvendo a 1-D e aplicando a nosa nova fórmula de enerxía) e chegaremos á longamente agardada ecuación de Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Introduzcamos a nosa nova función de onda dada por $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ onde sabemos como son as primeiras e segundas derivadas respecto ao tempo:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Agora, só temos que reordenar de forma simple para obter a ecuación de Schrödinger en tres dimensións (ten en conta que $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Pódese argumentar observando a semellanza co hamiltoniano clásico que o termo do lado dereito da ecuación describe a enerxía total da función de onda.

Na nosa derivación, asumimos que $V(\vec{r},t)$ é 0 e que só se teñen en conta a enerxía cinética. Sabemos que o potencial é puramente aditivo respecto ás súas variacións espaciais e, polo tanto, a ecuación de Schrödinger completa en tres dimensións con potencial é dada por:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

E iso é todo! Aquí está, este artigo derivou a ecuación completa de Schrödinger para unha partícula non relativística en tres dimensións. Se gustou este post e quere ver máis como este, por favor envíenos un correo electrónico para deixarnos saber.

Citas

Gasiorowicz, S. (2019). Física cuántica. 2ª ed. Canadá: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Física cuántica. 3ª ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. e Volkmer, S. (2019). Como derivar a ecuación de Schrödinger. [en liña] arXiv.org. Dispoñible en: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Consultado o 29 de maio de 2019].
Shankar, R. (1980).Principios da mecánica cuántica. 1ª ed. Nova York: Springer Science, pp.1-40.

Declaración: Respete o original, artigos bons mérito ser compartidos, se hai infracción por favor contacte para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Artigos de Física

Teoría cuántica

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607