Schrödingera viļņa vienādojums: Izsplūstīšana un paskaidrojums

Electrical4u

Lauks: Pamata elektrotehnika

China

Kas ir Šrēdingera vienādojums?

Šrēdingera vienādojums (arī pazīstams kā Šrēdingera viļņa vienādojums) ir parciālais diferenciālvienādojums, kas apraksta kvantu mehānisko sistēmu dinamiku ar viļņu funkciju. Trajektorija, pozicionēšana un šo sistēmu enerģija var tikt iegūta, atrisinot Šrēdingera vienādojumu.

Visa informācija par subatomāro daudzumu ir kodēta viļņa funkcijā. Viļņa funkcija apmierinās un to var atrisināt, izmantojot Šrēdingera vienādojumu. Šrēdingera vienādojums ir viens no fundamentālajiem aksiomiem, kas ieviesti bakalaura studiju fiziķos. Tas arvien biežāk tiek ieviests arī elektrotehnikas mācību plānos universitātēs, jo tas attiecas uz poluprovadāmājiem.

Dienvidrakstībā gan abi gadījumi tikai deklarēti kā postulāts un nekad nav atvasināti jebkādā nozīmīgā veidā. Tas ir ļoti neskaidrs, jo gandrīz viss cits, ko māca bakalaura kvantu fizikā, balstīts uz šo pamatu. Šajā rakstā mēs atvasināsim vienādojumu no nulles un es darīšu visu iespējamo, lai rādītu katru veikto soli.

Interesanti, ka argumenti, ko mēs izmantosim, ir tādi paši kā tiem, ko Šrēdingers izmantoja savā laikā, tāpēc jūs varēsiet redzēt lielāka domātāja rindas domāšanu. Kā atgādinājums, šeit ir laika atkarīgais Šrēdingera vienādojums trīs dimensijās (nekustīgam daļiņam) ar visu savu skaistumu:

Kvantu Fizika un Viļņi

Ikviens patīk kritizēt klāsisko fiziku – bet tā mums labi pasludināja diezgan ilgu laiku (domājiet par Newtona mehāniku, Maksvela vienādojumiem un speciālo relatīvitātes teoriju).

Tomēr, kā mūsu iepriekšējos rakstos parādīts, eksperimentālie rezultāti gadsimta beigās nebija pārsteidzoši salīdzinājumā ar tajā laikā zināmo fiziku. Mūsu raksti par divslīdnēm eksperimentiem un līdzīgi fotoelektriskā efekta eksperimenti bija eksperimentālie rezultāti, kas nesaskaņoja ar tajā laikā zināmo sapratni.

Bet kāpēc? Lielākoties, klāsiskajā fizikā eksistē divas entītijas, daļiņas un vārti. Abu šo entītiju īpašības var aprakstīt šādi:

Daļiņas: lokālizētas enerģijas un impulsu dāvājošas masas balvas $m$ .

Vārti: novirzījumi, kas izplatīti caur telpu un laiku. Tos var aprakstīt ar vārta funkciju $\psi(\vec{r}, t)$ ko apraksta caur telpu un laiku.

Šis nosaka nezināmus rezultātus, ko mēs atradām mūsu Fotoelektriskais emisijas rakstā. Mēs atradām, ka elektrons parāda abas šīs īpašības. Tas pilnībā pretojas tajā laikā zināmajai sapratnei, jo abas entītijas tika uzskatītas par savstarpēji izslēdzošām.

Neprotami, vai ne? Šajā laikā, daži no lielākajiem fizikas ievērojamajiem cilvēkiem sāka saprast, ka zināšanās ir trūkumi, un liela caurums notika, kad Louis de Broglie saistīja impulsu (daļiņai) ar viļņa garumu (vārtiem), kas dota ar

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Arī no Fotoelektriskā emisija zinām, ka fotona (vēl joprojām neskaidrs, vai tas ir daudzums vai viļņš) enerģijas apsūkšana un izstarošana tiek dota ar

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kur $\hbar = h/2\pi$ un $\omega=2\pi f$ . Mēs tagad esam tajā pašā stadijā, kā Schrödinger pirms savas slavenās vienādojuma izcelsmes. Bet kur sākam? Zinām, ka elektronu un fotonus parāda viļņveida un daudzumu veida uzvedību. Ne būtu neko nepareizu, ja sāktu ar universālo vienādojumu, ko visi viļņi ievēro, un tad ieviestu daudzumu fiziku, lai redzētu, vai ir rezultāts.

Kā izvest Viļņa vienādojumu

Sakārtojums $\psi(\vec{r}, t)$ ievēro viļņa vienādojumu. Atcerieties, ka elektrons parāda viļņveida uzvedību un ir elektromagnētisks lādiņš. Tāpēc, lai sāktu, aplūkosim elektromagnētiskos laukus. Šajā situācijā piemērojami Maksvella vienādojumi, un šeit tie ir visā savā lepotā:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kur $c$ ir gaismas ātrums vakuumā, $\vec{E}$ ir elektromagnētiskais lauks un $\vec{B}$ ir magnētiskais lauks. Pirmā vienādojuma pamatā ir elektroģeneratori, induktoru un transformatoru darbība, un tas atspoguļo Faradeja likumu.

Tāpat no vienādojuma $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ seko, ka neeksistē magnētiskie monopoli. Šo vienādojumu izcelsmes un fizikālās nozīmes izpratne padara inženieri pilnīgākiem. Tagad mēs izvestīsim vienādojumu, ko jāievēro jebkurai elektromagnētiskai viļņu, pielietojot rotāciju četrām vienādojumiem:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Tagad mēs varam izmantot ļoti pazīstamu (un viegli pierādāmu) vektoru identitāti: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kur $T$ ir kāds aizstājnieka vektors. Pielietojot to mūsu vienādojumam:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Mēs šeit ieguvām elektromagnētiskās viļņa vienādojumu trīs dimensijās. Šis vienādojums parādās ne tikai elektromagnētiskajos viļņos, bet arī akustikā, seismiskajos viļņos, skaņas viļņos, ūdens viļņos un plūsmu dinamikā.

Kā izvesti Šrōdingera vienādojumu

Plakāna viļņu atrisinājumi viļņa vienādojumam

Sākot ar viļņa vienādojumu vienā dimensijā (tas ir ļoti viegli vispārināt uz trim dimensijām, kā rezultātā logika tiks pielietota visās $x, y$ , un $z$ dimensijās.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Šis, patiesībā, ir otrās kārtas daļveida diferenciālvienādojums, un tam atbilst plakāna viļņu atrisinājumi:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (pārbaudiet to paši!). } \end{equation*}$

Zinām no parastajiem viļņu mehānismiem, ka $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ un $\omega = 2 \pi f$ . Tagad izmantojam Einsteina un Komptona darbu un aizstājam to ar faktu, ka fotona enerģija ir dota ar $\mathsf{E} = \hbar \omega$ un pēc de-Broglie, ka $p = h / \lambda = \hbar k$ . Mēs varam turpināt transformēt mūsu plakas viļņa risinājumu šādi:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Šis ir plakas viļņa vienādojums, kas apraksta fotoni. Ievietosim šo vienādojumu mūsu viļņa vienādojumā un redzēsim, ko atrodam!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Citiemāk sakot, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ kas ir lieliski, jo mēs zinām no speciālajām relatīvitātes teorijām, ka kopējā enerģija relativistiskam daudzumam ar masu $m$ ir:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Līdz šim mēs esam strādājuši tikai ar fotonu, kuram nav masas $(m=0)$ ! Tātad, paplašināsim mūsu sapratni un piemērosim kopējo relativistisko enerģiju daudzumam ar masu (piemēram, elektronam) un mainīsim mūsu vienādojuma nosaukumu uz $\Psi$ , jo mēs esam spēlētāji.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Šis vienādojums nāk tieši no plaknas viļņa vienādojuma fotonam ievietošanas viļņa vienādojumā. Tomēr, jo tagad mēs vēlamies, lai enerģija risinātu kopējo relativistisko enerģiju daudzumam ar masu, mums jāmaina viļņa vienādojums nedaudz. Tas ir tāpēc, ka viļņa vienādojums nevis pilnībā attiecas uz mūsu jauno $\Psi$ , kas apraksta daudzumus un viļņus. Mēs tagad varam atgriezties operatoram, lai iegūtu augstāk minēto vienādojumu, un tas ir dotts:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Viļņa vienādojuma atrisināšana masīvajiem daudzumiem

Tagad vēlamies veikt dažas aproksimācijas uz visu enerģiju, ko tikko aprakstījām ar $\mathsf{E}$ momentu un masu. Pārrakstīsim formulu nedaudz, lai varētu izmantot dažas aproksimācijas.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Šīs manipulācijas mērķis ir iegūt vienādojumu formā $\sqrt{1 + x}$ , jo ja ņemam šīs vienādojuma Teylora rindas izvirzījumu, iegūstam:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kad $x$ ir mazs, Tējlora izvīkšanā paliek tikai $O(1)$ daļa. Mūsu enerģijas formulā, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Mēs varam izmantot to, ka $p = mv \ll mc$ jebkurai lietai, kas neceļ ar gaismas ātrumu (lūdzu, pastāstiet man, ja atradāt kaut ko, kas nesader ar šo)! Tātad šis termins faktiski samazinās līdz:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

kur

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

ir parastā kinētiskā enerģija, kuru redzam vidusskolas fizikā. Tagad atgriežos pie iepriekšējās viļņa funkcijas, ieviesīsim šo jauno informāciju un redzēsim, ar ko beidzot nonākam:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Iemesls esam atdalījuši abus terminus tāpēc, ka pirmajam terminam $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (vēlreiz balstoties uz gaismas ātrumu) būs nozīmīgāk oscilatoriska kā otram terminam un tas neapšaubāmi nedrīkst aprakstīt meklēto daudzpartīgo entīti. Lai uzsverētu šo atšķirību, pieņemsim, ka:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kur mēs tagad esam definējuši:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Tagad ņemsim pirmo un otro parciālo atvasinājumu no $\Psi(\vec{r},t)$ un redzēsim, ar ko beidzam. Pirmais:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

un otrais:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Varams, ka pēdējais termins ar otro parciālo atvasinājumu ir ļoti mazs, tāpēc, ka nav $c^2$ termina, kas nes kārtas lielumu, un tāpēc, aptuveni, faktiskais otrās kārtas atvasinājums ir šāds:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Iemesls, kāpēc mēs ņēmām šos divus parciālos atvasinājumus, bija tāds, lai tos ievietotu šajā vienādojumā, kas apraksta viļņa funkciju iepriekš:

Taču pirms to dara, pārveidojam šo formulu, un beigās iegūsim vienādojumu, ko sauc par Klain-Gordona vienādojumu:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Tagad mēs viegli varam vispārināt šo trīs dimensijās, pārveidojot šo vienādojumu vektoru vienādojumā (visi soļi, ko mēs izdarījām, lai izvestu šo formulu, tiks piemēroti visiem $x,y$ , un $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Šis vienādojums ir zināms kā Klein-Gordona vienādojums brīvam daļiņai. Šis vienādojums ir relatīvistisks, jo tā enerģijas termins nedarbojas ar tām apjomprātībām, kas tika veiktas ar mazāko $\sqrt{1+x}$ Taylora izvērstā.

Tagad, vienkāršojiet Klein-Gordona vienādojumu (atskaitoties no 1-D un piemērojot mūsu jauno enerģijas formulu) un mēs nonāksim pie ilgi gaidītā Schrödingera vienādojuma:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ievadiet mūsu jauno viļņa funkciju, kas dota ar $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , kur mēs zinām, kā izskatās pirmā un otrā atvasinājuma attiecība pret laiku:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Tagad mums jāveic vienkārša pārkārtošana, lai iegūtu Šredingera vienādojumu trīs dimensijās (atcerieties, ka $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Var izvirzīt argumentu, atceroties klasisko Hamiltona funkciju, ka vienādojuma labā daļā aprakstīts viļņa funkcijas pilnais enerģijas apjoms.

Mūsu izvēlē mēs pieņēmām, ka $V(\vec{r},t)$ ir 0 un ka ņemta vērā tikai kinētiskā enerģija. Zinām, ka potenciālis ir tīri aditīvs attiecībā uz tā telpiskajām izmaiņām, tāpēc pilns Šredingera vienādojums trīs dimensijās ar potenciālu ir šāds:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Tas ir vispārīgais Šredingera vienādojums nelīdzsvarotam čudā trīs dimensijās. Ja jums patika šis raksts un jūs vēlaties redzēt vairāk līdzīgu, lūdzu, sazinieties ar mums, lai to zinātu.

Citas

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantā fizika. 2. izd. Kanāda: Hamilton Printing, lpp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantā fizika. 3. izd. Universitātes Izdevniecība, Kembridža: Kembridžas Universitātes Izdevniecība.
Ward, D. un Volkmer, S. (2019). Kā izvest Šrōdingera vienādojumu. [tiešsaiste] arXiv.org. Pieejams: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Piekts 29. maijs 2019].
Shankar, R. (1980).Kvantu mehānikas pamati. 1. izd. Jaunā Jorka: Springer Science, lpp.1-40.

Declarācija: Cienīt oriģinālu, labi raksti vērts dalīties, ja ir pārkāpums, lūdzu, sazinieties dzēšanai.

Dodot padomu un iedrošināt autoru

Tēmas:

Fizikas raksti

Kvantu teorija

Par ekspertiem

Electrical4u

China