Équation d'onde de Schrödinger : Dérivation et Explication

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Champ: Électricité de base

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Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger?

L'équation de Schrödinger (également connue sous le nom d'équation d'onde de Schrödinger) est une équation différentielle partielle qui décrit la dynamique des systèmes quantiques par le biais de la fonction d'onde. La trajectoire, la position et l'énergie de ces systèmes peuvent être déterminées en résolvant l'équation de Schrödinger.

Toutes les informations concernant une particule subatomique sont codées dans une fonction d'onde. Cette fonction d'onde satisfait et peut être résolue en utilisant l'équation de Schrödinger. L'équation de Schrödinger est l'un des axiomes fondamentaux introduits en physique au niveau du premier cycle universitaire. Il devient également de plus en plus courant de trouver l'équation de Schrödinger introduite dans le programme d'ingénierie électrique à l'université, car elle s'applique aux semi-conducteurs.

Malheureusement, elle n'est généralement présentée qu'en tant que postulat dans les deux cas, et n'est jamais dérivée de manière significative. Cela est assez frustrant, car presque tout le reste enseigné en physique quantique au niveau du premier cycle est construit sur cette base. Dans cet article, nous allons dériver l'équation de zéro et je ferai de mon mieux pour montrer chaque étape entreprise.

Il est intéressant de noter que les arguments que nous allons utiliser sont les mêmes que ceux utilisés par Schrödinger lui-même, vous pouvez donc voir les lignes de pensée d'un géant de son époque. Pour rappel, voici l'équation de Schrödinger dépendante du temps en 3 dimensions (pour une particule non relativiste) dans toute sa beauté :

La physique quantique et les ondes

Tout le monde aime critiquer la physique classique – mais elle nous a bien servis pendant un certain temps (pensez à la mécanique newtonienne, aux équations de Maxwell et à la relativité restreinte).

Cependant, comme le montrent nos articles précédents, les résultats expérimentaux au tournant du siècle n'étaient pas très impressionnants comparés à la physique connue de l'époque. Nos articles sur l'expérience des deux fentes et, dans une certaine mesure, l'effet photoélectrique sont des résultats expérimentaux qui ne correspondaient pas bien à la compréhension connue de l'époque.

Mais pourquoi? Pour simplifier, en physique classique, il existe deux entités, les particules et les ondes. Les caractéristiques de ces deux entités peuvent être décrites comme suit:

Particules : paquets localisés d'énergie et de quantité de mouvement avec masse $m$ .

Ondes : perturbations réparties dans l'espace et se propageant dans le temps. Elles peuvent être décrites par une fonction d'onde $\psi(\vec{r}, t)$ qui décrit l'onde dans l'espace et le temps.

Cela nous amène aux résultats surprenants trouvés dans notre article sur l'Émission photoélectrique. Nous avons constaté que l'électron présente à la fois ces propriétés. Cela contredit complètement la compréhension connue de l'époque, car ces deux entités étaient considérées comme mutuellement exclusives.

Incroyable, non ? À cette époque, certaines figures influentes en physique ont commencé à réaliser qu'il y avait un manque de connaissances, et une grande avancée est venue lorsque Louis de Broglie a associé une quantité de mouvement (pour une particule) à une longueur d'onde (pour les ondes) donnée par

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

De plus, à partir de Photoémission, nous savons que l'absorption et l'émission d'énergie des photons (toujours incertain si particule ou onde) sont données par

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Où $\hbar = h/2\pi$ et $\omega=2\pi f$ . Nous sommes maintenant au même stade que Schrödinger avant de dériver son équation célèbre. Mais par où commencer ? Eh bien, nous savons que les électrons et les photons montrent un comportement ondulatoire et corpusculaire. Il n'y aurait rien de mal à commencer avec une équation universelle que toutes les ondes devraient respecter, puis à introduire la physique des particules pour voir s'il y a un résultat.

Comment dériver l'équation d'onde

La perturbation $\psi(\vec{r}, t)$ obéit à l'équation d'onde. Rappelez-vous, l'électron montre un comportement ondulatoire et possède une charge électromagnétique. Par conséquent, pour l'instant, examinons simplement les champs électromagnétiques. Dans ce scénario, les équations de Maxwell s'appliquent et voici leur splendeur :

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, $\vec{E}$ est le champ électrique et $\vec{B}$ est le champ magnétique. La première équation ci-dessus est la base des générateurs électriques, des inducteurs et des transformateurs et est l'incarnation de la loi de Faraday.

De plus, l'une des implications de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ est qu'il n'existe pas de monopôles magnétiques. Comprendre la dérivation de ces équations et leur signification physique fait un ingénieur bien formé. Maintenant, dérivons l'équation que toute onde électromagnétique doit respecter en appliquant un rotationnel à l'équation 4 :

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Maintenant, nous pouvons utiliser une identité vectorielle très familière (et facilement prouvable) : $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ où $T$ est un vecteur de substitution. En l'appliquant à notre petite équation :

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Le résultat que nous avons ici est l'équation d'onde électromagnétique en trois dimensions. Cette équation n'est pas seulement manifeste dans une onde électromagnétique, mais a également été observée en acoustique, dans les ondes sismiques, les ondes sonores, les ondes d'eau et la dynamique des fluides.

Comment dériver l'équation de Schrödinger

Solutions d'ondes planes à l'équation d'onde

Commençons par l'équation d'onde en une dimension (il est vraiment facile de généraliser à trois dimensions ensuite, car la logique s'appliquera dans toutes les directions $x, y$ , et $z$ ):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Il s'agit, en réalité, d'une équation aux dérivées partielles du second ordre et est satisfaite avec des solutions d'ondes planes :

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (vérifiez-le vous-même!). } \end{equation*}$

Nous savons de la mécanique ondulatoire classique que $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ et $\omega = 2 \pi f$ . Maintenant, utilisons le travail d'Einstein et Compton et substituons le fait que l'énergie d'un photon est donnée par $\mathsf{E} = \hbar \omega$ et de De-Broglie que $p = h / \lambda = \hbar k$ . Nous pouvons encore manipuler notre solution d'onde plane pour obtenir :

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ceci est l'équation d'onde plane décrivant un photon. Substituons cette équation dans notre équation d'onde et voyons ce que nous trouvons !

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

En d'autres termes, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ce qui est formidable car nous savons de la relativité restreinte que l'énergie totale pour une particule relativiste avec une masse $m$ est :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Et jusqu'à présent, nous n'avons traité que le photon qui n'a pas de masse $(m=0)$ ! Élargissons donc notre compréhension et appliquons l'énergie relativiste totale à une particule avec une masse (comme l'électron par exemple) et changeons le nom de notre équation en $\Psi$ parce que nous sommes des joueurs.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Cette équation provient directement du remplacement de l'équation de l'onde plane pour un photon dans l'équation d'onde. Cependant, puisque nous voulons maintenant résoudre l'énergie totale relativiste pour une particule avec une masse, nous devons légèrement modifier l'équation d'onde. Cela est dû au fait que l'équation d'onde ne devrait pas s'appliquer pleinement à notre nouveau $\Psi$ qui décrit les particules et les ondes. Nous pouvons maintenant résoudre par rétroaction pour obtenir un opérateur pour obtenir l'équation ci-dessus, et il est donné par :

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Résolution pour les particules avec masse dans l'équation d'onde

Nous voulons maintenant faire quelques approximations sur l'énergie totale que nous venons de décrire par $\mathsf{E}$ pour une particule avec un moment et une masse. Réarrangeons légèrement la formule afin de pouvoir utiliser certaines approximations.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Le but de cette manipulation est de mettre l'équation sous la forme $\sqrt{1 + x}$ car si nous prenons un développement en série de Taylor de cette équation, nous obtenons :

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Lorsque $x$ est petit, la seule partie qui reste dans le développement de Taylor est le terme $O(1)$ . Dans notre formule d'énergie, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Nous pouvons tirer parti du fait que $p = mv \ll mc$ pour tout ce qui ne se déplace pas à la vitesse de la lumière (veuillez me trouver si vous trouvez quelque chose qui ne satisfait pas cela) ! Ainsi, ce terme se réduit en réalité à :

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

où

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

est l'énergie cinétique normale que nous voyons en physique au lycée. Revenons maintenant à la fonction d'onde précédente, intégrons ces nouvelles informations et voyons ce que nous obtenons :

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

La raison pour laquelle nous avons maintenant séparé les deux termes est que le premier terme $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (basé à nouveau sur la vitesse de la lumière) sera significativement plus oscillatoire que celui du second terme et ne décrit pas nécessairement l'entité particule-ondulation que nous recherchons. Pour consolider cette différence, établissons maintenant que :

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Où nous avons maintenant défini :

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Prenons maintenant les premières et secondes dérivées partielles de $\Psi(\vec{r},t)$ et voyons ce que nous obtenons. La première :

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

et la seconde :

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Nous devons garder à l'esprit que le dernier terme avec la deuxième dérivée partielle est assez petit en raison du fait qu'il n'y a pas de terme porteur de l'ordre de grandeur, et par conséquent, par approximation, la véritable deuxième dérivée est donnée par :

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

La raison subtile pour laquelle nous avons pris ces deux dérivées partielles était de pouvoir les imputer dans cette équation décrivant la fonction d'onde plus tôt :

Mais avant de pouvoir le faire, réarrangeons cette formule et nous aboutirons à une équation appelée l'équation de Klein-Gordon :

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Maintenant, nous pouvons facilement généraliser cela à trois dimensions en transformant cette équation en une équation vectorielle (toutes les étapes que nous avons prises pour dériver cette formule s'appliqueront pour tous les $x,y$ , et $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Klein-Gordon pour une particule libre. Cette équation est relativiste car son terme d'énergie ne fait pas les hypothèses que nous avons faites avec la petite expansion de Taylor $\sqrt{1+x}$ .

Maintenant, simplifions l'équation de Klein-Gordon (en revenant à une dimension et en appliquant notre nouvelle formule d'énergie) et nous aboutirons à l'équation de Schrödinger tant attendue :

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Introduisons notre nouvelle fonction d'onde donnée par $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ où nous savons à quoi ressemblent les premières et secondes dérivées par rapport au temps :

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Il ne nous reste plus qu'à réarranger simplement pour obtenir l'équation de Schrödinger en trois dimensions (notez que $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

On peut argumenter en notant la similitude avec le hamiltonien classique, que le terme du côté droit de l'équation décrit l'énergie totale de la fonction d'onde.

Dans notre dérivation, nous avons supposé que $V(\vec{r},t)$ est égal à 0 et que seule l'énergie cinétique a été prise en compte. Nous savons que le potentiel est purement additif par rapport à ses variations spatiales, donc l'équation de Schrödinger complète en trois dimensions avec un potentiel est donnée par :

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

C'est tout ! Voici l'équation de Schrödinger complète pour une particule non relativiste en trois dimensions. Si vous avez aimé ce post et souhaitez en voir davantage, veuillez nous envoyer un e-mail pour nous le faire savoir.

Citations

Gasiorowicz, S. (2019). Physique quantique. 2e éd. Canada : Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Physique quantique. 3e éd. University Printing House, Cambridge : Cambridge University Press.
Ward, D. et Volkmer, S. (2019). Comment dériver l'équation de Schrödinger. [en ligne] arXiv.org. Disponible à : https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Consulté le 29 mai 2019].
Shankar, R. (1980). Principes de la mécanique quantique. 1re éd. New York : Springer Science, pp.1-40.

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