Շրյոդինգերի ալիքային հավասարումը. Առաջացում և բացատրություն

Electrical4u

դաշտ: Հիմնական էլեկտրական

China

Ինչ է Շրյոդինգերի հավասարումը?

Շրյոդինգերի հավասարումը (որը նաև հայտնի է Շրյոդինգերի ալիքային հավասարում անունով) մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում է, որը նկարագրում է քվանտային մեխանիկական համակարգերի դինամիկան ալիքային ֆունկցիայի միջոցով։ Այդ համակարգերի траектория, դիրքը և էներգիան կարող են ստացվել Շրյոդինգերի հավասարման լուծմամբ։

Միջատոմային մասնիկի բոլոր տեղեկությունները կոդավորված են ալիքային ֆունկցիայում։ Ալիքային ֆունկցիան կարող է բավարարել և լուծվել Շրյոդինգերի հավասարմամբ։ Շրյոդինգերի հավասարումը մի առանց հիմնական պոստուլատների մեկն է, որը ներկայացվում է հանրահաշվական ֆիզիկայում։ Այն ավելի հաճախ է հանդիպում էլեկտրատեխնիկայի դասընթացներում համալսարաններում, քանի որ այն կիրառվում է կիսահոսնիկների համար։

Հետազոտությունների երկու դեպքերում նաև այն ներկայացվում է որպես պոստուլատ և ոչ մի իմաստալի ձևով չի ստացվում։ Սա բավականին անբավարար է, քանի որ հանրահաշվական քվանտային ֆիզիկայում առաջարկվող մի շարք այլ նյութեր կառուցված են այս հիմքի վրա։ Այս հոդվածում մենք կապացուցենք հավասարումը սկզբունքից և կփորձենք ցույց տալ յուրաքանչյուր կատարված քայլը։

Նշելի է, որ մենք կանցնենք նույն արգումենտները, որոնք կիրառվել են Շրյոդինգերի կողմից, ուստի կարող եք տեսնել մեծ մասնիկի մտածողության գիծը իր ժամանակում։ Որպես հիշեցում, հետևյալն է ժամանակային կախված Շրյոդինգերի հավասարումը երեք չափումներում (ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար) իր բացահայտ գեղեցկությամբ:

Քվանտային ֆիզիկան և ալիքները

Ցանկացածը սիրում է քննադատել դասական ֆիզիկան, բայց այն բավականին լավ է ծառայել մեզ անգամ (կարդացեք Նյուտոնի մեխանիկա, Մաքսվելի հավասարումներ և հատուկ հարաբերականություն)։

Այսպիսով, ինչպես ցույց է տրված մեր նախորդ հոդվածներում, դարաշրջանի սկզբին ստացված փորձարարական արդյունքները չէին շատ լուսավոր համեմատած այդ ժամանակ հայտնի ֆիզիկայի հետ։ Մեր հոդվածները վերաբերող երկու ներդրումների փորձ-ի և մի որոշ չափով ֆոտոէլեկտրական էֆեկտի վերաբերյալ ստացված փորձարարական արդյունքները չէին համապատասխանում այդ ժամանակ հայտնի հասկացություններին։

Բայց ինչու՞ Ի պարզ լեզվով, դասական ֆիզիկայում գոյություն ունեն երկու օբյեկտ՝ մասնիկներ և ալիքներ։ Այդ օբյեկտների հատկությունները կարող են նկարագրվել հետևյալ կերպ.

Մասնիկներ. էներգիայի և իմպուլսի տեղայնացված փակագծեր որոնց ունեն զանգված $m$ .

Ալիքներ. տարածության և ժամանակի վրա տարածված դարձացումներ։ Նրանց կարող են նկարագրել ալիքային ֆունկցիայով $\psi(\vec{r}, t)$ որը նկարագրում է ալիքը տարածության և ժամանակի ընթացքում։

Սա մեզ բերում է մեր Ֆոտոէլեկտրական էմիսիա հոդվածում ստացված հավանական արդյունքներին։ Մենք հայտնաբերեցինք, որ էլեկտրոնը ցույց է տալիս այս երկու հատկությունները։ Սա լիովին հակասում է այդ ժամանակ հայտնի հասկացություններին, քանի որ երկու օբյեկտները համարվում էին փոխադարձ բացառող։

Հիանալի է, չէ Որոշ ֆիզիկայի շարժումների ազդեցական գործոնները սկսեցին հասկանում, որ գիտելիքներում կա թույլատրելի հարց, և մեծ դարձան այն ժամանակ, երբ Լուի դը Բրոյ կապեց մասնիկի իմպուլսը ալիքի ալիքային երկարության հետ հետևյալ բանաձևով

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Այսպիսով, Ֆոտոէլեկտրական էմիսիայից գիտենք, որ ֆոտոնների (դեռ անհաստատուն է թե արդյոք նրանք մասնիկներ են, թե ալիք) էներգիայի կլորացումը և էմիսիան տրվում է հետևյալ բանաձևով

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Որտեղ $\hbar = h/2\pi$ և $\omega=2\pi f$ : Մենք այժմ նույն փուլում ենք, որտեղ էլ Սքրյոդինգերն է հասել իր հայտնի հավասարման ստացման առաջ: Բայց որտեղ է սկսել: Մենք գիտենք, որ էլեկտրոնները և ֆոտոնները ցուցադրում են ալիքային և մասնիկային վարք: Ոչ մի խնդիր չկա սկսել համահեղինակ հավասարումից, որը բոլոր ալիքները պետք է հետևեն, և ապա ներառել մասնիկային ֆիզիկան տեսնելու, թե ունենա՞ արդյոք արդյունք:

Ինչպե՞ս ստանալ ալիքային հավասարումը

Պատճառված խառը ալիքը $\psi(\vec{r}, t)$ ընդհանրապես հետևում է ալիքային հավասարմանը: Հիշենք, որ էլեկտրոնները ցուցադրում են ալիքային վարք և ունեն էլեկտրամագնիսական լարում: Այսպիսով, այժմ դիտարկենք էլեկտրամագնիսական դաշտերը: Այս դեպքում կիրառվում են Մաքսվելի հավասարումները, որոնք հետևյալն են:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Որտեղ $c$ լույսի արագությունն է վակուումում, $\vec{E}$ էլեկտրական դաշտն է և $\vec{B}$ մագնիսական դաշտն է: Վերը նշված հավասարումն էլեկտրական գեներատորների, ինդուկտորների և տրանսֆորմատորների հիմքն է և Ֆարադեյի օրենքի ներկայացումն է:

Այլ կողմից, հետևում է նաև այն արդյունքը, որ $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ նշանակում է, որ մագնիսական մոնոպոլներ չկան: Այդ հավասարումների ստացման և դրանց ֆիզիկական իմաստի հասկացումը նույնական ճշգրիտ ինժեներ է ստեղծում: Այժմ կատարենք հավասարման ստացումը, որը ցանկացած էլեկտրամագնիսական ալիք պետք է բավարարի, կիրառելով հավասարում 4-ի վրա կուլոն:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Այժմ կարող ենք օգտագործել շատ հայտնի (և հեշտ ապացուցելի) վեկտորային նույնությունը. $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ որտեղ $T$ որևէ փոխարինող վեկտոր է: Կիրառելով այս հավասարմանը մեր փոքր հավասարմանը.

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Այստեղ մենք ունենք էլեկտրամագնիսական ալիքի հավասարումը երեք չափումներում: Այս հավասարումը արդյունավետ է ոչ միայն էլեկտրամագնիսական ալիքներում, այլև ակուստիկայում, սեյսմական ալիքներում, ձայնային ալիքներում, ջրային ալիքներում և հեղուկ դինամիկայում:

Շրյոդինգերի հավասարման բացատրությունը

Ալիքի հավասարման հարթ ալիքային լուծումները

Սկսենք ալիքի հավասարումից մեկ չափումով (այն շատ հեշտ է ընդհանրացնել երեք չափումների համար, քանի որ տրամաբանությունը կօգտագործվի բոլոր $x, y$ և $z$ չափումներում):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Իրոք, դա երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալների հավասարում է և այն բավարարվում է հարթ ալիքային լուծումներով:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (ստուգեք դա ինքներդ ձեզ!): } \end{equation*}$

Որպես նորմալ ալիքային մեխանիկայից գիտենք, որ $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ և $\omega = 2 \pi f$ ։ Այժմ օգտվենք Այնշտայնի և Կոմպտոնի աշխատանքներից և փոխարինենք այն փաստով, որ ֆոտոնի էներգիան տրվում է հետևյալ բանաձևով՝ $\mathsf{E} = \hbar \omega$ և դը Բրոյլից որ $p = h / \lambda = \hbar k$ ։ Մենք կարող ենք ավելի շատ ձեռնարկել մեր հարթ ալիքի լուծումը հետևյալ կերպ.

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Սա հարթ ալիքի հավասարումն է, որը նկարագրում է ֆոտոնը։ Դիմենք այս հավասարմանը մեր ալիքի հավասարման մեջ և տեսնենք, ինչ կստանանք։

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Այլ կերպ ասած, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ որը լավ է, քանի որ մենք գիտենք հատուկ հարաբերականությունից, որ ընդհանուր էներգիան հարաբերական մասնիկի համար, որը ունի զանգված $m$ , է.

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Եվ մենք մինչև այժմ միայն ֆոտոնի հետ էինք ուղղված, որը զանգված չունի $(m=0)$ ! Այսպիսով, եկեք ընդլայնենք մեր հասկացությունը և կիրառենք ընդհանուր հարաբերական էներգիան մասնիկի համար, որը ունի զանգված (օրինակ, էլեկտրոն), և փոխենք մեր հավասարման անունը դարձնելով այն $\Psi$ , քանի որ մենք շարժիչներ ենք:

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Այս հավասարումը կատարվել է ֆոտոնի հարթ ալիքի հավասարումը ներառելով ալիքի հավասարման մեջ: Այнако, քանի որ մենք այժմ ուզում ենք էներգիան լուծել ընդհանուր հարաբերական էներգիայի համար մասնիկի համար, որը ունի զանգված, մենք պետք է մի փոքր փոփոխենք ալիքի հավասարումը: Սա այն է, որ ալիքի հավասարումը լիովին չպետք է կիրառվի մեր նոր $\Psi$ որը նկարագրում է մասնիկները և ալիքները: Մենք այժմ կարող ենք հետհաշվել օպերատորը ստանալու համար վերը նշված հավասարումը, և այն տրվում է հետևյալ կերպ.

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ալիքային հավասարման մեջ զանգվածով կատարումը

Հիմա մենք ցանկանում ենք դիտարկել մի քանի մոտարկումներ այն լրիվ էներգիայի համար, որը նկարագրել ենք $\mathsf{E}$ ամպլիտուդի և զանգվածով կանգառի համար: Եկեք մի փոխարինենք բանաձևը մի քիչ, որպեսզի օգտագործենք որոշ մոտարկումներ:

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Այս ձևափոխության նպատակը հավասարման ստացումն է հետևյալ տեսքով $\sqrt{1 + x}$ քանի որ եթե վերցնենք այս հավասարման Թեյլորի շարքը, կստանանք:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Երբ $x$ փոքր է, Թեյլորի շարքի մեջ մնում է միայն $O(1)$ տերմինը։ Մեր էներգիայի բանաձևում, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ ։ Մենք կարող ենք օգտվել այն փաստից, որ $p = mv \ll mc$ համար ամեն ինչի, որ չի շարժվում լույսի արագությամբ (խնդրում եմ գտնել ինձ, եթե գտնեք ինչ-որ բան, որը չի բավարարում այս պայմանին)։ Այսպիսով, այս տերմինը իրականում կրճատվում է հետևյալ կերպ.

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Որտեղ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Սովորական կինետիկ էներգիան է, որը տեսնում ենք դպրոցական ֆիզիկայում։ Հիմա վերադառնանք նախորդ ալիքային ֆունկցիային, ներառենք այս նոր տեղեկությունները և տեսնենք, ինչ ստանում ենք.

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Պատճառը, որ մենք հիմա երկու տերմինները բաժանել ենք, այն է, որ առաջին տերմինը $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (նորից լույսի արագության վրա հիմնված) կլինի նշանակապես ավելի օսցիլյացիոն, քան երկրորդ տերմինը և անպայման չէ, որ նկարագրի այն մասնիկ-ալիքային համակարգը, որը մենք փնտրում ենք: Այսպիսով, որպեսզի հաստատենք այս տարբերությունը, հիմա սահմանենք, որ

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Որտեղ մենք հիմա սահմանել ենք.

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Հիմա վերցնենք $\Psi(\vec{r},t)$ առաջին և երկրորդ մասնակի ածանցյալները և տեսնենք, թե ինչ ստանում ենք: Առաջինը.

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

և երկրորդը.

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Պետք է հիշել, որ վերջին անդամը՝ երկրորդ մասնակի ածանցյալը բավականին փոքր է, քանի որ չկա $c^2$ անդամ, որը կարողանում է կարգավորվել մեծ կարգով, և այդ պատճառով մոտավորապես ակտուալ երկրորդ ածանցյալը տրվում է հետևյալ ձևով:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Մենք վերցրեցինք այս երկու մասնակի ածանցյալները այնպես, որ կարողանանք ներկայացնել դրանք ավելի վաղ նկարագրված ալիքային ֆունկցիայի հավասարման մեջ:

Բայց այդ անելու առաջ թող կարգավորենք այս բանաձևը և ստանանք Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կոչվող հավասարումը:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Հիմա կարող ենք դրան հեշտությամբ ընդհանրացնել երեք չափային տարածության համար՝ սա հավասարումը վեկտորային հավասարման ձևափոխելով (բոլոր քայլերը, որոնք կատարեցինք այս բանաձևի ստացման համար, կկիրառվեն բոլոր համար $x,y$ , և $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Այս հավասարումը հայտնի է որպես Կլայն-Գորդոնի հավասարում ազատ մասնիկի համար։ Այս հավասարումը ռելյատիվիստական է, քանի որ դրա էներգիայի անդամը չի կատարում այն ենթադրությունները, որոնք կատարեցինք փոքր հավասարման հետ $\sqrt{1+x}$ Թեյլորի վերլուծության հետ։

Հիմա կարող ենք Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պարզեցնել (վերադառնալով մի չափային տարածության և կիրառելով մեր նոր էներգիայի բանաձևը) և հասնել այն լավ հայտնի Շրյոդինգերի հավասարման:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ներկայացնենք մեր նոր ալիքային ֆունկցիան, որը տրված է $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ որտեղ մենք գիտենք, թե ժամանակի նկատմամբ առաջին և երկրորդ ածանցյալները ինչպիսին են.

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Այժմ մեզ պետք է պարզ վերադասավորում կատարենք, որպեսզի ստանանք Շրյոդինգերի հավասարումը երեք չափումներում (նշենք, որ $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Որտեղ արգումենտը կարող է բերվել, նշելով դասական Համիլտոնյանի նմանությունը, որ հավասարման աջ կողմում գրված տերմինը նկարագրում է ալիքային ֆունկցիայի ընդհանուր էներգիան:

Մեր ածանցման ընթացքում մենք ենթադրեցինք, որ $V(\vec{r},t)$ 0 է և որ հաշվարկվել է միայն կինետիկ էներգիան: Մենք գիտենք, որ պոտենցիալը կարելի է ավելացնել նրա տարածական փոփոխությունների հետ և այդ պատճառով, պատրաստ Շրյոդինգերի հավասարումը երեք չափումներում պոտենցիալով ներկայացվում է հետևյալ կերպ.

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Այդ է! Այսպիսով, այս հոդվածում մենք ստացել ենք ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի ամբողջ Շրյոդինգերի հավասարումը երեք չափումներում: Եթե ձեզ դուր եկավ այս հոդվածը և ցանկանաք տեսնել նման այլ հոդվածներ, խնդրում ենք էլեկտրոնային հասցեով գրել մեզ այդ մասին:

Հրամաններ

Գասիորովից, Ս. (2019). Քվանտային ֆիզիկա. 2-րդ հրատարակություն: Կանադա: Համիլտոն Պրինտինգ, էջեր 1-50.
Գրիֆիթս, Դ. (2019). Քվանտային ֆիզիկա. 3-րդ հրատարակություն: Ունիվերսիտետի հրատարակչություն, Կեմբրիջ: Կեմբրիջ համալսարանի հրատարակչություն:
Վարդ, Դ. և Վոլկմեր, Ս. (2019). Ինչպե՞ս ստանալ Շրյոդինգերի հավասարումը. [օնլայն] arXiv.org. Առաջացել է: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Մուտք 29 մայիսի 2019]:
Շանքար, Ռ. (1980).Քվանտային մեխանիկայի սկզբունքները. 1-ին հրատարակություն: Նյու Յորք: Springer Science, էջեր 1-40.

特别声明：尊重原文，好文章值得分享，如有侵权请联系删除。

Պատվերը փոխանցել և հեղինակին fffffff

Թեմաներ:

Ֆիզիկայի հոդվածները

Քվանտային տեսություն

Մասնագետների մասին

Electrical4u

China