Equação de Onda de Schrödinger: Derivação & Explicação

Campo: Eletricidade Básica

China

O que é a Equação de Schrödinger?

A equação de Schrödinger (também conhecida como equação de onda de Schrödinger) é uma equação diferencial parcial que descreve a dinâmica de sistemas mecânicos quânticos por meio da função de onda. A trajetória, o posicionamento e a energia desses sistemas podem ser obtidos resolvendo a equação de Schrödinger.

Todas as informações para uma partícula subatômica estão codificadas em uma função de onda. A função de onda satisfaz e pode ser resolvida usando a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger é um dos axiomas fundamentais introduzidos na física de graduação. É também cada vez mais comum encontrar a equação de Schrödinger no currículo de engenharia elétrica nas universidades, pois se aplica a semicondutores.

Infelizmente, ela é apenas afirmada como um postulado em ambos os casos e nunca derivada de maneira significativa. Isso é bastante insatisfatório, pois quase tudo o que é ensinado na física quântica de graduação é construído sobre essa base. Neste artigo, vamos derivar a equação do zero e farei o meu melhor para mostrar cada passo tomado.

Interessante o suficiente, os argumentos que faremos são os mesmos que Schrödinger fez, então você pode ver as linhas de pensamento de um gigante em seu tempo. Como lembrete, aqui está a equação de Schrödinger dependente do tempo em 3 dimensões (para uma partícula não relativística) em toda a sua beleza:

Física Quântica e Ondas

Todos gostam de criticar a física clássica – mas ela nos serviu muito bem por bastante tempo (pense em mecânica newtoniana, equações de Maxwell e relatividade especial).

No entanto, como mostrado em nossos artigos anteriores, os resultados experimentais no início do século não eram muito impressionantes quando comparados à física conhecida na época. Nossos artigos sobre o experimento de dupla fenda e, em certa medida, o efeito fotoelétrico são resultados experimentais que não se alinhavam bem com a compreensão conhecida da época.

Mas por quê? Para simplificar, na física clássica existem duas entidades, partículas e ondas. As características dessas duas entidades podem ser descritas da seguinte forma:

Partículas: pacotes localizados de energia e momento com massa $m$ .

Ondas: perturbações espalhadas pelo espaço e viajando ao longo do tempo. Podem ser descritas com uma função de onda $\psi(\vec{r}, t)$ que descreve a onda no espaço e no tempo.

Isso nos leva aos resultados surpreendentes encontrados em nosso artigo sobre Emissão Fotoelétrica. Descobrimos que o elétron exibe ambas essas propriedades. Isso contradiz completamente a compreensão conhecida da época, pois as duas entidades eram consideradas mutuamente exclusivas.

Inacreditável, certo? Nessa época, algumas figuras realmente influentes na física começaram a perceber que havia uma lacuna no conhecimento, e um grande avanço ocorreu quando Louis de Broglie associou um momento (para uma partícula) a um comprimento de onda (para ondas), dado por

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Além disso, de Emissão Fotoelétrica sabemos que a absorção e emissão de energia por fótons (ainda incerto se partículas ou ondas) têm energia dada por

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Onde $\hbar = h/2\pi$ e $\omega=2\pi f$ . Estamos agora no mesmo estágio em que Schrödinger estava antes de derivar sua famosa equação. Mas por onde começamos? Bem, sabemos que os elétrons e fótons estão exibindo comportamento ondulatório e corpuscular. Não haveria nada de errado em começar com uma equação universal que todas as ondas devem obedecer e, em seguida, introduzir a física das partículas para ver se há um resultado.

Como Derivar a Equação da Onda

A perturbação $\psi(\vec{r}, t)$ obedece à equação da onda. Lembre-se, o elétron exibe comportamento ondulatório e tem carga eletromagnética. Portanto, por enquanto, vamos apenas olhar para os campos eletromagnéticos. Neste cenário, as equações de Maxwell se aplicam e aqui estão elas em toda a sua glória:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo, $\vec{E}$ é o campo elétrico e $\vec{B}$ é o campo magnético. A primeira equação acima é a base dos geradores elétricos, indutores e transformadores e é a encarnação da Lei de Faraday.

Além disso, uma das implicações de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ é que não existem monopólos magnéticos. Compreender a derivação dessas equações e o significado físico por trás delas faz um engenheiro bem preparado. Agora, vamos derivar a equação que qualquer onda eletromagnética deve obedecer aplicando um rotacional à Equação 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Agora podemos usar uma identidade vetorial muito familiar (e facilmente comprovada): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ onde $T$ é algum vetor substituto. Aplicando à nossa pequena equação agora:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

O resultado que temos aqui é a equação de onda eletromagnética em três dimensões. Esta equação não se manifesta apenas em ondas eletromagnéticas, mas também aparece em acústica, ondas sísmicas, ondas sonoras, ondas de água e dinâmica de fluidos.

Como Derivar a Equação de Schrödinger

Soluções de Onda Plana para a Equação de Onda

Começando com a equação de onda para uma dimensão (é realmente fácil generalizar para três dimensões depois, pois a lógica se aplicará em todas as $x, y$ , e $z$ dimensões.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Esta é, na realidade, uma equação diferencial parcial de segunda ordem e é satisfeita com soluções de onda plana:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (verifique isso por si mesmo!). } \end{equation*}$

Sabemos da mecânica ondulatória normal que $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ e $\omega = 2 \pi f$ . Agora, vamos usar o trabalho de Einstein e Compton e substituir o fato de que a energia de um fóton é dada por $\mathsf{E} = \hbar \omega$ e, de acordo com de-Broglie, que $p = h / \lambda = \hbar k$ . Podemos manipular ainda mais nossa solução de onda plana para:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Esta é a equação de onda plana descrevendo um fóton. Vamos substituir esta equação em nossa equação de onda e ver o que encontramos!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Em outras palavras, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ o que é ótimo porque sabemos da relatividade especial que a energia total para uma partícula relativística com massa $m$ é:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

E até agora só lidamos com o fóton, que não tem massa $(m=0)$ ! Então, vamos expandir nosso entendimento e aplicar a energia relativística total para uma partícula com massa (como o elétron, por exemplo) e mudar o nome da nossa equação para $\Psi$ , porque somos fodões.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Esta equação veio diretamente de substituir a equação de onda plana para um fóton na equação de onda. No entanto, como agora queremos que a energia resolva a energia relativística total para uma partícula com massa, precisamos alterar ligeiramente a equação de onda. Isso ocorre porque a equação de onda não deve se aplicar completamente ao nosso novo $\Psi$ , que descreve partículas e ondas. Agora podemos resolver retroativamente para um operador para obter a equação acima, e ele é dado por:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Resolvendo para Partículas com Massa na Equação de Onda

Agora, queremos fazer algumas aproximações na energia total que acabamos de descrever por $\mathsf{E}$ para uma partícula com momento e massa. Vamos apenas rearranjar a fórmula um pouco para que possamos usar algumas aproximações.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

O objetivo dessa manipulação é obter a equação na forma $\sqrt{1 + x}$ porque, se tomarmos uma expansão em série de Taylor dessa equação, obtemos:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Quando $x$ é pequeno, a única parte que permanece na expansão de Taylor é o termo $O(1)$ . Na nossa fórmula de energia, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Podemos aproveitar o fato de que $p = mv \ll mc$ para qualquer coisa que não esteja viajando à velocidade da luz (por favor, me encontre se você encontrar algo que não satisfaça isso)! Então, esse termo na verdade se reduz a:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Onde

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

É a energia cinética normal que vemos na física do ensino médio. Agora, voltando à função de onda anterior, vamos inserir essa nova informação e ver o que obtemos:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

A razão pela qual agora separamos os dois termos é que o primeiro termo $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (novamente, baseado na velocidade da luz) será significativamente mais oscilatório do que o segundo termo e não necessariamente descreve a entidade partícula-onda que estamos buscando. Portanto, para solidificar essa diferença, vamos estabelecer que:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Onde agora definimos:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Vamos agora tomar as primeiras e segundas derivadas parciais de $\Psi(\vec{r},t)$ e ver o que obtemos. A primeira:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

e a segunda:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Devemos lembrar que o último termo com a segunda derivada parcial é bastante pequeno devido ao fato de não haver um termo $c^2$ carregando a ordem de magnitude, e, portanto, por aproximação, a segunda derivada real é dada por:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

A razão sutil pela qual tomamos essas duas derivadas parciais foi para que pudéssemos imputá-las nesta equação que descreve a função de onda anteriormente:

Mas antes de fazermos isso, vamos rearranjar esta fórmula e acabaremos com uma equação chamada de equação de Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Agora podemos generalizar facilmente para 3 dimensões transformando esta equação em uma equação vetorial (todos os passos que tomamos para derivar esta fórmula se aplicam para todos $x,y$ , e $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Esta equação é conhecida como a equação de Klein-Gordon para uma partícula livre. Esta equação é relativística, pois seu termo de energia não faz as suposições que fizemos com a pequena expansão de Taylor de $\sqrt{1+x}$ .

Agora, vamos simplificar a equação de Klein-Gordon (voltando para 1-D e aplicando nossa nova fórmula de energia) e chegaremos à tão aguardada Equação de Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Vamos inserir nossa nova função de onda dada por $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ onde sabemos o que as primeiras e segundas derivadas em relação ao tempo parecem:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Agora, tudo o que precisamos fazer é uma simples reorganização para obter a Equação de Schrödinger em três dimensões (note que $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Onde o argumento pode ser feito notando a similaridade do Hamiltoniano clássico, o termo no lado direito da equação descreve a energia total da função de onda.

Em nossa derivação, assumimos que $V(\vec{r},t)$ é 0 e que apenas a energia cinética foi considerada. Sabemos que o potencial é puramente aditivo em relação às suas variações espaciais e, portanto, a Equação de Schrödinger completa em três dimensões com potencial é dada por:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Isso mesmo! Temos aqui a derivada completa da equação de Schrödinger para uma partícula não relativística em três dimensões. Se você gostou deste post e deseja ver mais como este, por favor, envie-nos um e-mail para nos informar.

Citações

Gasiorowicz, S. (2019). Física Quântica. 2ª ed. Canadá: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Física Quântica. 3ª ed. Imprensa da Universidade, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. e Volkmer, S. (2019). Como Derivar a Equação de Schrödinger. [online] arXiv.org. Disponível em: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Acessado em 29 Maio 2019].
Shankar, R. (1980).Princípios de Mecânica Quântica. 1ª ed. Nova York: Springer Science, pp.1-40.

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