Persamaan Gelombang Schrödinger: Penurunan & Penjelasan

Electrical4u

Bidang: Listrik Dasar

China

Apa itu Persamaan Schrödinger?

Persamaan Schrödinger (juga dikenal sebagai persamaan gelombang Schrödinger) adalah persamaan diferensial parsial yang menggambarkan dinamika sistem mekanika kuantum melalui fungsi gelombang. Trajektori, posisi, dan energi dari sistem-sistem ini dapat diambil dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger.

Semua informasi untuk partikel subatomik terkandung dalam fungsi gelombang. Fungsi gelombang akan memenuhi dan dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger adalah salah satu aksioma fundamental yang diperkenalkan dalam fisika tingkat sarjana. Persamaan ini juga semakin umum ditemukan dalam kurikulum teknik elektro di universitas karena berlaku untuk semikonduktor.

Sayangnya, persamaan ini hanya dinyatakan sebagai postulat dalam kedua kasus tersebut dan tidak pernah diturunkan secara bermakna. Hal ini cukup mengecewakan karena hampir semua yang diajarkan dalam fisika kuantum tingkat sarjana dibangun di atas dasar ini. Dalam artikel ini, kita akan menurunkan persamaan dari awal dan saya akan berusaha menunjukkan setiap langkah yang diambil.

Menariknya, argumen yang akan kita gunakan sama dengan yang diambil oleh Schrödinger sendiri sehingga Anda dapat melihat jalur pemikiran seorang raksasa pada masanya. Sebagai pengingat, berikut adalah persamaan Schrödinger bergantung waktu dalam tiga dimensi (untuk partikel non-relativistik) dalam seluruh keindahannya:

Fisika Kuantum dan Gelombang

Setiap orang suka mengkritik fisika klasik – tetapi fisika ini telah melayani kita dengan cukup baik untuk waktu yang lama (misalnya mekanika Newton, persamaan Maxwell, dan relativitas khusus).

Namun, seperti yang ditunjukkan dalam artikel-artikel sebelumnya, hasil-hasil eksperimental di awal abad ini tidak terlalu menonjol dibandingkan dengan fisika yang dikenal pada saat itu. Artikel kami tentang eksperimen celah ganda dan sampai batas tertentu efek fotoelektrik adalah hasil-hasil eksperimental yang tidak sesuai dengan pemahaman yang ada pada waktu itu.

Tetapi mengapa? Dengan sederhana, dalam fisika klasik terdapat dua entitas, partikel dan gelombang. Ciri-ciri kedua entitas ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Partikel: bundel energi dan momentum yang terlokalisasi dengan massa $m$ .

Gelombang: gangguan yang tersebar di ruang dan bergerak melalui waktu. Mereka dapat digambarkan dengan fungsi gelombang $\psi(\vec{r}, t)$ yang menggambarkan gelombang di ruang dan waktu.

Ini membawa kita ke hasil yang mengejutkan yang ditemukan dalam artikel kami tentang Emiten Fotoelektrik. Kami menemukan bahwa elektron menunjukkan kedua sifat tersebut. Ini sepenuhnya bertentangan dengan pemahaman yang ada pada saat itu karena kedua entitas tersebut dianggap saling eksklusif.

Gila bukan? Sekitar waktu itu, beberapa tokoh penting dalam fisika mulai menyadari adanya celah pengetahuan, dan terjadi terobosan besar ketika Louis de Broglie menghubungkan momentum (untuk partikel) dengan panjang gelombang (untuk gelombang) yang diberikan oleh

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Juga, dari Pancaran Foton kita tahu bahwa penyerapan dan pelepasan energi foton (masih belum pasti apakah partikel atau gelombang) memiliki energi yang diberikan oleh

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Di mana $\hbar = h/2\pi$ dan $\omega=2\pi f$ . Kita sekarang berada pada tahap yang sama dengan Schrödinger sebelum menghasilkan persamaannya yang terkenal. Tapi di mana kita harus memulai? Nah, kita tahu bahwa elektron dan foton menunjukkan perilaku seperti gelombang dan partikel. Tidak ada yang salah dengan memulai dengan persamaan universal yang semua gelombang patut taati, lalu memperkenalkan fisika partikel di atasnya untuk melihat apakah ada hasil.

Bagaimana Menurunkan Persamaan Gelombang

Gangguan $\psi(\vec{r}, t)$ mematuhi persamaan gelombang. Ingatlah, elektron menunjukkan perilaku seperti gelombang dan memiliki muatan listrik. Oleh karena itu, untuk saat ini, mari kita hanya melihat bidang elektromagnetik. Dalam skenario ini, persamaan Maxwell berlaku dan inilah mereka dalam keagungan mereka:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Di mana $c$ adalah kecepatan cahaya dalam vakum, $\vec{E}$ adalah medan listrik dan $\vec{B}$ adalah medan magnet. Persamaan pertama di atas merupakan dasar dari generator listrik, induktor, dan transformator dan merupakan wujud dari Hukum Faraday.

Selain itu, salah satu implikasi dari $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ adalah bahwa tidak ada monopoler magnet. Memahami turunan persamaan-persamaan ini dan makna fisik di baliknya membuat seorang insinyur menjadi lebih lengkap. Sekarang, mari kita turunkan persamaan yang harus dipatuhi oleh setiap gelombang elektromagnetik dengan menerapkan curl pada Persamaan 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Sekarang kita dapat memanfaatkan identitas vektor yang sangat familiar (dan mudah dibuktikan): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ di mana $T$ adalah vektor pengganti. Menerapkannya pada persamaan kita sekarang:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Hasil yang kita miliki di sini adalah persamaan gelombang elektromagnetik dalam tiga dimensi. Persamaan ini tidak hanya termanifestasi dalam gelombang elektromagnetik – tetapi juga telah ditunjukkan dalam akustik, gelombang seismik, gelombang suara, gelombang air, dan dinamika fluida.

Cara Menurunkan Persamaan Schrödinger

Solusi Gelombang Bidang untuk Persamaan Gelombang

Memulai dengan persamaan gelombang untuk satu dimensi (sangat mudah untuk menggeneralisasi ke tiga dimensi setelahnya karena logika akan berlaku di semua $x, y$ , dan $z$ dimensi.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ini, pada kenyataannya, adalah persamaan diferensial parsial orde kedua dan dipenuhi dengan solusi gelombang bidang:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (periksa sendiri!). } \end{equation*}$

Dari mekanika gelombang normal kita tahu bahwa $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ dan $\omega = 2 \pi f$ . Sekarang, mari kita gunakan karya dari Einstein dan Compton dan substitusikan fakta bahwa energi sebuah foton diberikan oleh $\mathsf{E} = \hbar \omega$ dan dari de-Broglie bahwa $p = h / \lambda = \hbar k$ . Kita dapat lebih lanjut mengolah solusi gelombang datar kita menjadi:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ini adalah persamaan gelombang datar yang mendeskripsikan sebuah foton. Mari kita substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan gelombang kita dan lihat apa yang kita temukan!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Dengan kata lain $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ , yang bagus karena kita tahu dari relativitas khusus bahwa energi total untuk partikel relatifistik dengan massa $m$ adalah:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Dan kita baru saja berurusan dengan foton yang tidak memiliki massa $(m=0)$ ! Jadi mari kita perluas pemahaman kita dan terapkan energi relativistik total untuk partikel dengan massa (seperti elektron misalnya) dan ubah nama persamaan kita menjadi $\Psi$ karena kita hebat.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Persamaan ini berasal langsung dari substitusi persamaan gelombang bidang untuk foton ke dalam persamaan gelombang. Namun, sekarang kita ingin energi tersebut menyelesaikan energi relativistik total untuk partikel dengan massa, kita perlu mengubah sedikit persamaan gelombang. Ini karena persamaan gelombang seharusnya tidak sepenuhnya berlaku untuk $\Psi$ baru kita yang menggambarkan partikel dan gelombang. Kita sekarang dapat menyelesaikan balik untuk operator untuk mendapatkan persamaan di atas, dan diberikan oleh:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Menyelesaikan Partikel dengan Massa dalam Persamaan Gelombang

Kini kita ingin membuat beberapa aproksimasi pada energi penuh yang baru saja kita deskripsikan oleh $\mathsf{E}$ untuk partikel dengan momentum dan massa. Mari kita susun ulang rumus sedikit sehingga kita dapat menggunakan beberapa aproksimasi.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Tujuan dari manipulasi ini adalah untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk $\sqrt{1 + x}$ karena jika kita ambil ekspansi deret Taylor dari persamaan ini kita mendapatkan:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Ketika $x$ kecil, bagian yang tersisa dalam ekspansi Taylor hanyalah $O(1)$ . Dalam rumus energi kita, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Kita dapat memanfaatkan fakta bahwa $p = mv \ll mc$ untuk apa pun yang tidak bergerak dengan kecepatan cahaya (silakan temui saya jika Anda menemukan sesuatu yang tidak memenuhi ini)! Jadi, istilah ini sebenarnya berkurang menjadi:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Di mana

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Adalah energi kinetik normal yang kita lihat dari fisika SMA. Sekarang kembali ke fungsi gelombang sebelumnya, mari kita masukkan informasi baru ini dan lihat hasil akhirnya:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Alasan kami memisahkan kedua istilah ini adalah karena istilah pertama $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (berdasarkan kecepatan cahaya lagi) akan jauh lebih osilatori daripada istilah kedua dan tidak selalu menggambarkan entitas partikel-gelombang yang kita cari. Jadi untuk mengukuhkan perbedaan ini, mari kita tetapkan bahwa:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Di mana kita sekarang telah mendefinisikan:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Mari kita ambil turunan parsial pertama dan kedua dari $\Psi(\vec{r},t)$ dan lihat apa yang kita dapat. Yang pertama:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

dan yang kedua:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Kita harus ingat bahwa suku terakhir dengan turunan parsial kedua sangat kecil karena tidak adanya $c^2$ suku yang membawa orde besaran, dan oleh karena itu dengan aproksimasi, turunan parsial kedua sebenarnya diberikan oleh:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Alasan licik mengapa kita mengambil dua turunan parsial ini adalah agar kita dapat memasukkannya ke dalam persamaan yang menjelaskan fungsi gelombang sebelumnya:

Namun sebelum kita bisa melakukannya, mari kita susun ulang rumus ini dan kita akan mendapatkan persamaan yang disebut persamaan Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Sekarang kita dapat dengan mudah menggeneralisasi ini ke tiga dimensi dengan mengubah persamaan ini menjadi persamaan vektor (semua langkah yang kita ambil untuk menurunkan rumus ini akan berlaku untuk semua $x,y$ , dan $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan Klein-Gordon untuk partikel bebas. Persamaan ini bersifat relativistik karena istilah energinya tidak membuat asumsi yang kita lakukan dengan ekspansi Taylor kecil $\sqrt{1+x}$ .

Sekarang, mari kita sederhanakan persamaan Klein-Gordon (kembali ke 1-D dan menerapkan rumus energi baru kita) dan kita akan sampai pada Persamaan Schrödinger yang sudah lama ditunggu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Mari kita masukkan fungsi gelombang baru kita yang diberikan oleh $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ di mana kita tahu bagaimana bentuk turunan pertama dan kedua terhadap waktu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Sekarang yang perlu kita lakukan hanyalah mengatur ulang sederhana untuk mendapatkan Persamaan Schrödinger dalam tiga dimensi (perhatikan bahwa $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Di mana argumen dapat dibuat dengan mencatat kesamaan Hamiltonian klasik bahwa istilah di sisi kanan persamaan tersebut menggambarkan energi total fungsi gelombang.

Dalam derivasi kami, kami mengasumsikan bahwa $V(\vec{r},t)$ adalah 0 dan hanya energi kinetik yang diperhitungkan. Kita tahu bahwa potensial bersifat aditif secara murni terhadap variasi spasialnya, oleh karena itu, Persamaan Schrödinger lengkap dalam tiga dimensi dengan potensial diberikan oleh:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Itulah dia! Di sini kita telah menurunkan Persamaan Schrödinger lengkap untuk partikel non-relativistik dalam tiga dimensi. Jika Anda menyukai postingan ini dan ingin melihat lebih banyak seperti ini, silakan email kami untuk memberi tahu kami.

Daftar Pustaka

Gasiorowicz, S. (2019). Fisika Kuantum. 2nd ed. Kanada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Fisika Kuantum. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. dan Volkmer, S. (2019). Bagaimana Menurunkan Persamaan Schrodinger. [online] arXiv.org. Tersedia di: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Diakses 29 Mei 2019].
Shankar, R. (1980).Prinsip Fisika Kuantum. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Pernyataan: Hormati aslinya, artikel yang baik layak dibagikan, jika terdapat pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk menghapus.

Berikan Tip dan Dorong Penulis

Topik:

Artikel Fisika

Teori Kuantum

Tentang para ahli

Electrical4u

China