Equació d'ones de Schrödinger: Derivació i explicació

Electrical4u

Camp: Electricitat bàsica

China

Què és l'equació de Schrödinger?

L'equació de Schrödinger (també coneguda com a equació d'ona de Schrödinger) és una equació diferencial parcial que descriu la dinàmica dels sistemes mecànics quàntics mitjançant la funció d'ona. La trajectòria, la posició i l'energia d'aquests sistemes es poden obtenir resolent l'equació de Schrödinger.

Tota la informació d'una partícula subatòmica està codificada dins d'una funció d'ona. La funció d'ona satisfarà i es pot resoldre utilitzant l'equació de Schrödinger. L'equació de Schrödinger és un dels axiomes fonamentals que s'introdueixen en la física d'undergraduate. També és cada vegada més comú trobar l'equació de Schrödinger introduïda dins del programa d'enginyeria elèctrica a les universitats, ja que s'aplica als semiconductors.

Malauradament, només es presenta com a postulat en tots dos casos i mai es deriva d'una manera significativa. Això és bastant insatisfactori, ja que gairebé tot el que s'enseny a la física quàntica d'undergraduate es construeix sobre aquesta base. En aquest article, derivarem l'equació des de zero i faré el meu millor per mostrar cada pas pres.

D'interès, els arguments que farem són els mateixos que van prendre Schrödinger ell mateix, així que podràs veure les línies de pensament que un gegant estava fent en aquella època. Com a recordatori, aquí tens l'equació de Schrödinger dependent del temps en 3 dimensions (per a una partícula no relativista) en tota la seva bellesa:

Física quàntica i ones

A tothom li agrada criticar la física clàssica – però ens va servir bastant bé durant molt de temps (pensa en la mecànica newtoniana, les equacions de Maxwell i la teoria de la relativitat especial).

No obstant això, com es mostra en els nostres articles anteriors, els resultats experimentals al voltant del canvi de segle no eren gaire brillants quan es comparaven amb la física coneguda en aquell moment. Els nostres articles sobre l'experiment de les dues ranures i, en certa mesura, l'efecte fotoelèctric són resultats experimentals que no concordaven bé amb la comprensió coneguda de l'època.

Però, per què? Per dir-ho de manera simple, en la física clàssica hi ha dos entitats, partícules i ones. Les característiques d'aquestes dues entitats es poden descriure de la següent manera:

Partícules: paquets localitzats d'energia i moment amb massa $m$ .

Ones: pertorbacions esparcides per l'espai i que es desplaçen amb el temps. Es poden descriure amb una funció d'ona $\psi(\vec{r}, t)$ que descriu l'ona en l'espai i el temps.

Això ens porta als resultats sorprenents trobats en el nostre article sobre l'Emissió fotoelèctrica. Hem trobat que l'electró mostra ambdós aquestes propietats. Això contradueix completament la comprensió coneguda de l'època ja que les dues entitats es consideraven mutuament exclusives.

Boirós, oi? En aquell moment, algunes figures realment influents en física van començar a adonar-se que hi havia un forat en el coneixement, i va haver-hi un gran avanç quan Louis de Broglie associà un moment (per a una partícula) a una longitud d'ona (per a ones) donada per

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

També, a partir de Emissió fotoelèctrica sabem que l'absorció i emissió d'energia dels fotons (encara no es sap si són partícules o ones) té una energia donada per

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

On $\hbar = h/2\pi$ i $\omega=2\pi f$ . Ara estem en el mateix punt on estava Schrödinger abans de derivar la seva famosa equació. Però, on comencem? Sabem que els electrons i els fotons mostren un comportament ondulat i de partícula. No hi hauria res de mal en començar amb una equació universal que totes les ones haguessin d'obirar i després introduir la física de partícules per veure si n'hi ha un resultat.

Com derivar l'Equació d'ones

La pertorbació $\psi(\vec{r}, t)$ obéix l'equació d'ones. Recordem, l'elec tron mostra un comportament ondulat i té una càrrega electromagnètica. Per tant, per ara, limitem-nos a observar els camps electromagnètics. En aquest escenari, s'apliquen les equacions de Maxwell i aquí estan en tota la seva glòria:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

On $c$ és la velocitat de la llum en el buit, $\vec{E}$ és el camp elèctric i $\vec{B}$ és el camp magnètic. La primera equació anterior és la base dels generadors elèctrics, inductors i transformadors i és l'embodiment de la Llei de Faraday.

A més, una de les implicacions de $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ és que no existeixen monòpoles magnètics. Entendre la derivació d'aquestes equacions i el significat físic que tenen els converteix en un enginyer complet. Ara, dedueixem l'equació que qualsevol ona electromagnètica ha de complir aplicant una rotacional a l'Equació 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ara podem utilitzar una identitat vectorial molt familiar (i fàcilment demostrable): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ on $T$ és algun vector substitut. Aplicant-ho a la nostra petita equació ara:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

El resultat que tenim aquí és l'equació d'ones electromagnètiques en tres dimensions. Aquesta equació no només es manifesta en ones electromagnètiques, sinó que també s'ha observat en àcoustica, ones sísmiques, ones sonores, ones d'aigua i dinàmica de fluids.

Com derivar l'equació de Schrödinger

Solucions d'ones planes a l'equació d'ones

Començant amb l'equació d'ones per una dimensió (realment és fàcil generalitzar-ho a tres dimensions després, ja que la lògica s'aplica en totes les $x, y$ , i $z$ dimensions.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Això, en realitat, és una equació diferencial parcial de segon ordre i es compleix amb solucions d'ones planes:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (comprova-ho tu mateix!). } \end{equation*}$

On sa sap de la mecànica d'ones normal que $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ i $\omega = 2 \pi f$ . Ara, utilitzem el treball d'Einstein i Compton i substituïm el fet que l'energia d'un fotó es dóna per $\mathsf{E} = \hbar \omega$ i de-Broglie que $p = h / \lambda = \hbar k$ . Podem manipular més la nostra solució d'ona plana per obtenir:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Aquesta és l'equació d'ona plana que descriu un fotó. Substitueixem aquesta equació a la nostra equació d'ones i veiem què trobem!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

En altres paraules, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ el que és genial perquè sabem de la relativitat especial que l'energia total per a una partícula relativista amb massa $m$ és:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

I fins ara només hem tractat amb el fotó, que no té massa $(m=0)$ ! Així que expandim la nostra comprensió i apliquem l'energia relativista total per a una partícula amb massa (com l'electró, per exemple) i canviem el nom de la nostra equació a $\Psi$ perquè som guais.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ara, aquesta equació va directament de substituir l'equació d'ona plana per un fotó en l'equació d'ones. Tanmateix, ja que ara volem resoldre l'energia total relativista per a una partícula amb massa, hem de canviar lleugerament l'equació d'ones. Això és perquè l'equació d'ones no hauria de aplicar-se completament a la nostra nova $\Psi$ que descriu partícules i ones. Ara podem resoldre enrere per obtenir un operador per aconseguir l'equació anterior, i es dóna per:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Resolució de partícules amb massa en l'equació d'ones

Ara volem fer algunes aproximacions a l'energia total que hem descrit anteriorment per $\mathsf{E}$ per a una partícula amb moment i massa. Rearrumem la fórmula lleugerament per poder utilitzar algunes aproximacions.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

El propòsit d'aquesta manipulació és obtenir l'equació en la forma $\sqrt{1 + x}$ ja que si fem una expansió en sèrie de Taylor d'aquesta equació, obtenim:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Quan $x$ és petit, la única part que queda en la sèrie de Taylor és el terme $O(1)$ . A la nostra fórmula d'energia, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Podem utilitzar el fet que $p = mv \ll mc$ per a qualsevol cosa que no estigui viatjant a la velocitat de la llum (si trobes alguna cosa que no satisfaci això, endavant i troba'm)!. Així, aquest terme realment es redueix a:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

És l'energia cinètica normal que veiem en física de batxillerat. Ara, tornant a la funció d'ona anterior, introduïm aquesta nova informació i veiem amb què acabem:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

La raó per la qual hem separat els dos termes és que el primer terme $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (només basat de nou en la velocitat de la llum) serà significativament més oscil·latori que el segon terme i no descriu necessàriament l'entitat partícula-ona que busquem. Per tant, per consolidar aquesta diferència, establim ara que:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

On hem definit ara:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ara calculem les primeres i segones derivades parcials de $\Psi(\vec{r},t)$ i veiem què obtenim. La primera:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

i la segona:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Hem de tenir en compte que l'últim terme amb la segona derivada parcial és bastant petit degut al fet que no hi ha cap terme que porti l'ordre de magnitud de $c^2$ , i per tant, per aproximació, la segona derivada real es dóna per:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

La raó oculta per la qual vam prendre aquestes dues derivades parcials era perquè puguéssim imputar-les en aquesta equació que descriu la funció d'ona més aviat:

Però abans de poder fer-ho, reordenem aquesta fórmula i acabarem amb una equació anomenada equació de Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ara podem generalitzar-ho fàcilment a 3 dimensions convertint aquesta equació en una equació vectorial (tots els passos que vam prendre per derivar aquesta fórmula s'aplicaran per a tots $x,y$ , i $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Aquesta equació és coneguda com l'equació de Klein-Gordon per a una partícula lliure. Aquesta equació és relativista ja que el seu terme d'energia no fa les suposicions que vam fer amb la petita $\sqrt{1+x}$ expansió de Taylor.

Ara, simplifiquem l'equació de Klein-Gordon (retornant a 1-D i aplicant la nostra nova fórmula d'energia) i arribarem a la tan esperada Equació de Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Inserim la nostra nova funció d'ona donada per $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ on sabem quina és la primera i segona derivada respecte al temps:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ara tot el que hem de fer és una simple reordenació per obtenir l'equació de Schrödinger en tres dimensions (noteu que $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

On es pot argumentar notant la similitud amb el Hamiltonià clàssic que el terme del costat dret de l'equació descriu l'energia total de la funció d'ona.

En la nostra derivació, hem assumit que $V(\vec{r},t)$ és 0 i que només s'ha tingut en compte l'energia cinètica. Sabem que el potencial és purament additiu respecte a les seves variacions espacials i, per tant, l'equació de Schrödinger completa en tres dimensions amb potencial es dona per:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Això és tot! Hem derivat l'equació de Schrödinger completa per a una partícula no relativista en tres dimensions. Si ha agradat aquest post i voleu veure'n més com aquest, si us plau, envieu-nos un correu electrònic per fer-ho saber.

Cites

Gasiorowicz, S. (2019). Física quàntica. 2a ed. Canadà: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Física quàntica. 3a ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. i Volkmer, S. (2019). Com derivar l'equació de Schrödinger. [en línia] arXiv.org. Disponible a: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Consultat el 29 de maig de 2019].
Shankar, R. (1980).Principis de la mecànica quàntica. 1a ed. Nova York: Springer Science, pp.1-40.

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles mereixen ser compartits, si hi ha infracció contacteu per eliminar.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Articles de Física

Teoria quàntica

Sobre experts

Electrical4u

China