Schrödinger bølgekvartsjon: Derivering & Forklaring

Electrical4u

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

Hva er Schrödingers ligning?

Schrödingers ligning (også kjent som Schrödingers bølgeligning) er en partiell differensialligning som beskriver dynamikken i kvantemekaniske systemer gjennom bølgefunksjonen. Banen, plasseringen og energien til disse systemene kan hentes ved å løse Schrödingers ligning.

All informasjon om et subatomisk partikkel er kodet inni en bølgefunksjon. Bølgefunksjonen vil tilfredsstille og kan løses ved hjelp av Schrödingers ligning. Schrödingers ligning er en av de grunnleggende aksiomene som introduseres i fysikk på universitetsnivå. Det er også stadig vanligere å finne Schrödingers ligning introdusert i elektriske ingeniørutdanninger på universitetet, da den har anvendelse for halvledere.

Uheldigvis er det bare statet som et postulat i begge tilfeller, og det blir aldri utledet på noen meningsfull måte. Dette er ganske uoppfyllende, da nesten alt annet som undervises i kvantefysikk på universitetsnivå bygger på denne grunnlaget. I denne artikkelen skal vi utlede ligningen fra bunnen av, og jeg vil gjøre mitt beste for å vise hver eneste steg tatt.

Interessant nok, argumentene vi skal bruke, er de samme som de Schrödinger selv tok, så du kan se tenkelinesen en gigant hadde på sin tid. Som en påminnelse, her er den tidsavhengige Schrödingers ligning i tre dimensjoner (for et ikke-relativistisk partikkel) i all sin skjønnhet:

Kvantefysikk og bølger

Alle liker å kritisere klassisk fysikk – men den tjente oss ganske godt i lang tid (tenk Newtons mekanikk, Maxwells ligninger, og spesiell relativitet).

Men, som vist i våre tidligere artikler, var eksperimentelle resultater ved tidskiftet ikke så imponerende sammenlignet med den kjente fysikken på den tid. Våre artikler om dobbeltslitteksperimentet og til en viss grad fotoelektrisk effekt er eksperimentelle resultater som ikke stemte godt overens med det kjente forståelsen på den tid.

Men hvorfor? For å si det enkelt, i klassisk fysikk finnes det to enheter, partikler og bølger. Egenskapene til begge disse enhetene kan beskrives som følger:

Partikler: lokaliserede pakker med energi og bevegelsesmengde med masse $m$ .

Bølger: forstyrrelser spredt over rommet og reisende over tid. De kan beskrives med en bølgefunkasjon $\psi(\vec{r}, t)$ som beskriver bølgen over rom og tid.

Dette fører oss til de overraskende resultatene funnet i vår Fotoelektrisk Emission artikkel. Vi fant at elektronet viser begge av disse egenskapene. Dette står i direkte konflikt med den kjente forståelsen på den tid, da de to enhetene ble betraktet som uforenlige.

Forferdelig rett? Omkring denne tiden, begynte noen virkelig innflytelsesrike figurer i fysikken å innse at det var et kunnskapsmangel, og en stor gjennombrudd kom når Louis de Broglie knyttet en bevegelsesmengde (for et partikkel) til en bølgelengde (for bølger) gitt av

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Og fra Photoelectric Emission vet vi at energiabsorpsjon og -emisjon av fotoner (ennå usikker på om det er partikler eller bølger) har energi gitt ved

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

der $\hbar = h/2\pi$ og $\omega=2\pi f$ . Vi er nå på nøyaktig samme sted som Schrödinger før han utledet sin berømte ligning. Men hvor begynner vi? Vel, vi vet at elektroner og fotoner viser bølgelignende og partikellignende oppførsel. Det ville ikke være noe feil med å begynne med en universell ligning som alle bølger burde følge, og deretter introdusere partikkelfysikk for å se om det gir et resultat.

Hvordan utlede Bølgeligningen

Forstyrrelsen $\psi(\vec{r}, t)$ følger bølgeligningen. Husk, elektronet viser bølgelignende oppførsel og har en elektromagnetisk ladning. Derfor, la oss for en stund bare se på elektromagnetiske felt. I dette scenariet gjelder Maxwells ligninger, og her de i all sin glorie:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Der $c$ er farten til lyset i vakuum, $\vec{E}$ er elektrisk felt og $\vec{B}$ er magnetisk felt. Den første ligningen over er grunnlaget for elektriske generasjoner, spoler og transformatorer og er uttrykk for Faradays lov.

Også en av implikasjonene fra $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ er at det ikke eksisterer magnetiske monopoler. Forståelsen av utledningen av disse ligningene og den fysiske betydningen bak dem gjør en fullbyrdet ingeniør. La oss nå utlede ligningen som alle elektromagnetiske bølger må følge ved å bruke curl på Ligning 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nå kan vi utnytte en veldig kjent (og lett bevist) vektoridentitet: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ der $T$ er en plassholdervektor. Ved å bruke denne på vår lille ligning nå:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Resultatet vi har her er den elektromagnetiske bølge likningen i 3 dimensjoner. Denne likningen viser seg ikke bare i elektromagnetiske bølger – men har også vist seg i akustikk, seismiske bølger, lydbølger, vannbølger og flytende dynamikk.

Hvordan Derivere Schrödingers Likning

Planetiske Bølgeløsninger til Bølge-Likningen

Begynn med bølge-ligningen for 1-dimensjon (det er virkelig enkelt å generalisere til 3 dimensjoner etterpå, da logikken vil gjelde i alle $x, y$ , og $z$ dimensjoner.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Dette er i virkeligheten en andreordens partiell differensialligning som er tilfredsstilt med planetiske bølgeløsninger:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (sjekk dette selv!). } \end{equation*}$

Vi vet fra vanlig bølgemekanikk at $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ og $\omega = 2 \pi f$ . La oss nå bruke arbeidet fra Einstein og Compton, og erstatte med det faktum at energien til et foton er gitt ved $\mathsf{E} = \hbar \omega$ og fra de-Broglie at $p = h / \lambda = \hbar k$ . Vi kan videre behandle vår planbølgeløsning til:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Dette er planbølgeformelen som beskriver et foton. La oss erstatte denne formelen i vårt bølgeuttrykk og se hva vi finner!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Med andre ord, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ som er bra fordi vi vet fra spesialrelativiteten at den totale energien for et relativistisk partikkel med masse $m$ er:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Og vi har bare håndtert fotonet så langt, som ikke har masse $(m=0)$ ! La oss derfor utvide vår forståelse og bruke den totale relativistiske energien for et partikkel med masse (som elektronet for eksempel) og endre navnet på vår ligning til $\Psi$ fordi vi er ballere.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Denne ligningen kom direkte fra å substituere planbølge-ligningen for et foton i bølgeligningen. Imidlertid, siden vi nå ønsker energien til å løse den totale relativistiske energien for et partikkel med masse, må vi endre bølgeligningen litt. Dette er fordi bølgeligningen ikke fullstendig skal gjelde for vår nye $\Psi$ som beskriver partikler og bølger. Vi kan nå løse bakover for en operator for å få ligningen over, og den er gitt av:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Løse for partikler med masse i bølgeformelen

Vi ønsker nå å gjøre noen tilnærmelser på den fulle energien vi nettopp beskrev ved $\mathsf{E}$ for et partikkel med bevegelsesmengde og masse. La oss bare omorganisere formelen litt så vi kan bruke noen tilnærmelser.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Hensikten med denne manipulasjonen er å få formelen i formen $\sqrt{1 + x}$ fordi hvis vi tar en Taylor-rekke-utvikling av denne formelen får vi:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Når $x$ er liten, er det bare delen som forblir i Taylor-utviklingen $O(1)$ -termen. I vår energiformel, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Vi kan utnytte faktumet at $p = mv \ll mc$ for noe som ikke reiser med lysfarten (vennligst finn meg hvis du finner noe som ikke tilfredsstiller dette)! Så denne termen reduseres egentlig til:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Der

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

er den vanlige kinetiske energien vi ser fra videregående skolefysikk. Nå tilbake til bølgefunksjonen fra før, la oss nå sette inn denne nye informasjonen og se hva vi ender opp med:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Årsaken til at vi nå har delt de to begrepene er at det første begrepet $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (basert igjen på lysets hastighet) vil være betydelig mer oscillerende enn det andre begrepet og beskriver ikke nødvendigvis partikkel-bølge enheten vi leter etter. Så for å fastslå denne forskjellen, la oss nå etablere at:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Der vi nå har definert:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

La oss nå ta den første og andre partielle deriverte av $\Psi(\vec{r},t)$ og se hva vi ender opp med. Den første:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

og den andre:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Vi bør huske at den siste leddet med den andre partiellderiverte er ganske liten på grunn av faktumet at det ikke er noen $c^2$ ledd som bærer størrelsesorden, og derfor blir den faktiske andre deriverte gitt ved:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Den skjulte grunnen til at vi tok disse to partiellderiverte var for å kunne sette dem inn i denne ligningen som beskriver bølgefunksjonen tidligere:

Men før vi kan gjøre det, la oss omorganisere denne formelen, og vi vil ende opp med en ligning kalt Klein-Gordon-ligningen:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nå kan vi enkelt generalisere dette til 3 dimensjoner ved å gjøre denne ligningen om til en vektorligning (alle trinnene vi tok for å utlede denne formelen vil gjelde for alle $x,y$ , og $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Denne ligningen er kjent som Klein-Gordon-ligningen for et fritt partikkel. Denne ligningen er relativistisk, da energitermen ikke foretar de antagelsene vi gjorde med den lille $\sqrt{1+x}$ Taylor-utvidelsen.

La oss nå forenkle Klein-Gordon-ligningen (gå tilbake ned til 1-D og bruke vår nye energiformel), og vi kommer fram til den langventede Schrödinger-ligningen:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

La oss sette inn vår nye bølgeligning gitt av $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ der vi kjenner hvordan de første og andre derivatene med hensyn på tid ser ut:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nå er alt vi trenger å gjøre en enkel omorganisering for å oppnå Schrödingers ligning i tre dimensjoner (merk at $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Her kan argumentet settes frem ved å merke likheten med den klassiske Hamiltonian, at termen på høyre side av ligningen beskriver den totale energien til bølgefunksjonen.

I vår utledning antok vi at $V(\vec{r},t)$ er 0 og at bare kinetisk energi ble tatt med i betraktning. Vi vet at potensialet er rent additivt med hensyn til sine romlige variasjoner, og derfor er den fulle Schrödingers ligningen i tre dimensjoner med potensial gitt ved:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Det er det! Her har vi det, denne artikkelen har utledet den fulle Schrödingers ligningen for et ikke-relativistisk partikkel i tre dimensjoner. Hvis du likte denne posten og ønsker å se flere slike, vennligst send oss en e-post for å la oss vite det.

Sitat

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantefysikk. 2. utg. Canada: Hamilton Printing, s.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantefysikk. 3. utg. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. og Volkmer, S. (2019). Hvordan derivere Schrödingers ligning. [online] arXiv.org. Tilgjengelig på: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Innseende 29. mai 2019].
Shankar, R. (1980).Prinsipper for kvantemekanikk. 1. utg. New York: Springer Science, s.1-40.

Erklæring: Respektér det opprinnelige, godt artikkel verdt å dele, hvis det er kränkning vennligst kontakt slett.

Gi en tips og oppmuntre forfatteren

Emner:

Fysikkartikler

Kvanteteori

Om eksperter

Electrical4u

China