Schrödingerova vlnová rovnice: Odvození a vysvětlení

Electrical4u

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je Schrödingerova rovnice?

Schrödingerova rovnice (známá také jako vlnová rovnice Schrödingera) je parciální diferenciální rovnice, která popisuje dynamiku kvantově mechanických systémů prostřednictvím vlnové funkce. Trajektorie, poloha a energie těchto systémů lze získat řešením Schrödingerovy rovnice.

Veškeré informace o subatomové částici jsou zakódovány v vlnové funkci. Vlnová funkce splňuje a může být vyřešena pomocí Schrödingerovy rovnice. Schrödingerova rovnice je jedním ze základních axiomů, které se učí na vysoké škole v oboru fyzika. Stále častěji se Schrödingerova rovnice objevuje i v kurzech elektrotechniky na univerzitách, protože se používá pro polovodiče.

Bohužel, v obou případech se uvádí pouze jako postulát a nikdy není odvozený žádným smysluplným způsobem. To je docela neuspokojivé, protože téměř všechno jiné, co se učí na vysoké škole v oboru kvantová fyzika, je založeno na tomto základu. V tomto článku rovnici odvodíme od začátku a snažím se ukázat každý krok, který byl proveden.

Jako zajímavost, argumenty, které použijeme, jsou stejné jako ty, které použil sám Schrödinger, takže můžete vidět myšlenkové linie, které vedl tenhle génius ve své době. Jako připomínka, zde je časově závislá Schrödingerova rovnice ve 3 dimenzích (pro nelineární částici) ve všech jejích krásách:

Kvantová fyzika a vlny

Všichni rádi kritizují klasickou fyziku – ale ta nám služila celkem dobře po poměrně dlouhou dobu (myslete na Newtonovu mechaniku, Maxwellovy rovnice a speciální relativitu).

Nicméně, jak ukazují naše předchozí články, experimentální výsledky na začátku století nebyly oproti tehdejší známé fyzice tak zářivé. Naše články o dvojitých štěrbinech a do jisté míry i fotoelektrickém jevu jsou experimentálními výsledky, které se neshodovaly s tehdejším známým poznáním.

Ale proč? Zjednodušeně řečeno, v klasické fyzice existují dvě entitní, částice a vlny. Vlastnosti obou těchto entit lze popsat následovně:

Částice: lokalizované balíčky energie a hybnosti s hmotností $m$ .

Vlny: poruchy rozmístěné v prostoru a cestující v čase. Lze je popsat pomocí vlnové funkce $\psi(\vec{r}, t)$ popisující vlnu v prostoru a čase.

To nás přivádí k překvapivým výsledkům uvedeným v našem článku o fotoelektrické emisi. Zjistili jsme, že elektron ukazuje obě tyto vlastnosti. To naprosto odporuje tehdejšímu známému poznání, protože tyto dvě entity byly považovány za vzájemně vylučující.

Zvláštní, že? V té době začali někteří velmi vlivní fyzici uvědomovat, že existuje mezera ve znalostech, a velký průlom nastal, když Louis de Broglie spojil hybnost (pro částici) s vlnovou délkou (pro vlny) podle

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Také z Fotoleptické emise víme, že absorpce a emise fotonů (stále nejisté, zda částice nebo vlna) má energii danou

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kde $\hbar = h/2\pi$ a $\omega=2\pi f$ . Nyní jsme ve stejném stavu, v jakém byl Schrödinger před odvozením své slavné rovnice. Ale kde začít? Víme, že elektrony a fotony ukazují vlnové i částicové chování. Nic by nešlo špatně s tím, začít univerzální rovnicí, kterou by měly splňovat všechny vlny, a pak na to přidat částicovou fyziku, abychom viděli, zda dostaneme nějaký výsledek.

Jak odvodit vlnovou rovnici

Pohybové poruchy $\psi(\vec{r}, t)$ splňují vlnovou rovnici. Pamatujte, elektron ukazuje vlnové chování a má elektromagnetický náboj. Proto se nyní podívejme pouze na elektromagnetická pole. V tomto scénáři platí Maxwellovy rovnice a tady jsou v jejich celé kráse:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kde $c$ je rychlost světla ve vakuu, $\vec{E}$ je elektrické pole a $\vec{B}$ je magnetické pole. První rovnice nahoře je základem elektrických generátorů, cívek a transformátorů a je projevem Faradayova zákona.

Dále jedna z implikací z $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ je, že neexistují magnetické monopóly. Porozumění odvození těchto rovnic a fyzikálnímu významu za nimi stojícím činí inženýra dobře vybaveného. Nyní odvodíme rovnici, kterou musí splňovat jakýkoli elektromagnetický vlnění, aplikací rotace na rovnici 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nyní můžeme využít velmi známou (a snadno dokazatelnou) vektorovou identitu: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kde $T$ je nějaký substituční vektor. Aplikujeme ji na naši rovnici:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Výsledek, který zde máme, je rovnice elektromagnetické vlny ve třech dimenzích. Tato rovnice se projevuje nejen v elektromagnetických vlnách, ale také v akustice, seismických vlnách, zvukových vlnách, vodních vlnách a dynamice tekutin.

Jak odvodit Schrödingerovu rovnici

Rovinné vlnové řešení vlnové rovnice

Začneme s vlnovou rovnicí pro jednu dimenzi (je velmi snadné ji zobecnit na tři dimenze, protože logika bude platit pro všechny $x, y$ a $z$ dimenze.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Toto je ve skutečnosti parciální diferenciální rovnice druhého řádu a splňují ji rovinné vlnové řešení:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (zkuste to sami!). } \end{equation*}$

Z běžné vlnové mechaniky víme, že $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ a $\omega = 2 \pi f$ . Nyní využijme práce Einsteina a Comptona a dosaďme skutečnost, že energie fotonu je dána vztahem $\mathsf{E} = \hbar \omega$ a podle de-Broglieho, že $p = h / \lambda = \hbar k$ . Můžeme dále upravit naše rovnici rovinné vlny na:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Toto je rovnice rovinné vlny popisující foton. Dosadíme tuto rovnici do naší vlnové rovnice a uvidíme, co zjistíme!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Jinak řečeno, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ což je skvělé, protože víme z speciální teorie relativity, že celková energie pro relativistickou částici s hmotností $m$ je:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

A dosud jsme se zabývali pouze fotonem, který nemá hmotnost $(m=0)$ ! Pojďme tedy rozšířit naše pochopení a aplikovat celkovou relativistickou energii pro částici s hmotností (například elektron) a změnit název naše rovnice na $\Psi$ , protože jsme koule.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Tato rovnice vznikla přímým dosazením rovnice rovinné vlny pro foton do vlnové rovnice. Nicméně, protože nyní chceme, aby energie vyřešila celkovou relativistickou energii pro částici s hmotností, musíme vlnovou rovnici mírně upravit. To proto, že vlnová rovnice by neměla plně platit pro naše nové $\Psi$ , které popisují částice a vlny. Nyní můžeme zpětně vyřešit operátor, abychom dostali výše uvedenou rovnici, a ten je daný:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Řešení pro částice s hmotností v rovnici vlny

Nyní chceme udělat několik aproximací na celou energii, kterou jsme právě popsali pomocí $\mathsf{E}$ pro částici s hybností a hmotností. Přeuspořádáme vzorec mírně, abychom mohli použít některé aproximace.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Celým cílem této manipulace je dostat rovnici do formy $\sqrt{1 + x}$ protože pokud vezmeme Taylorův rozvoj této rovnice, dostaneme:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Když je $x$ malé, zůstává v Taylorově rozvoji pouze člen $O(1)$ . V našem vzorci pro energii, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Můžeme využít skutečnosti, že $p = mv \ll mc$ pro vše, co necestuje rychlostí světla (prosím, dejte mi vědět, pokud najdete něco, co tomuto nevyhovuje)! Tento člen se tedy ve skutečnosti redukuje na:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

kde

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Je to běžná kinetická energie, kterou známe ze středoškolské fyziky. Nyní se vraťme k vlnové funkci, do které nyní vložíme tuto novou informaci a podívejme se, co z toho vyjde:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Důvod, proč jsme nyní rozdělili tyto dva termíny, je ten, že první termín $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (opět založený pouze na rychlosti světla) bude výrazně oscilatoričtější než druhý termín a nemusí nutně popisovat částicovou-vlnovou entitu, kterou hledáme. Abychom toto rozdíly pevně zaznamenali, pojďme nyní stanovit, že:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kde jsme nyní definovali:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Pojďme nyní vzít první a druhou parciální derivaci $\Psi(\vec{r},t)$ a podívejme se, co získáme. První:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

a druhou:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Měli bychom mít na paměti, že poslední člen s druhou parciální derivací je poměrně malý, protože neexistuje člen $c^2$ nesoucí řád velikosti, a proto aproximativně je skutečná druhá derivace dána vztahem:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Tajný důvod, proč jsme vzali tyto dvě parciální derivace, byl ten, abychom je mohli dosadit do této rovnice popisující vlnovou funkci dříve:

Než to ale uděláme, přeuspořádejme tuto formuli a dostaneme se k rovnici zvané Kleinova-Gordonova rovnice:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nyní můžeme tuto rovnici snadno zobecnit na tři rozměry převodem této rovnice na vektorovou rovnici (všechny kroky, které jsme podnikli k odvození tohoto vzorce, platí pro všechny $x,y$ a $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Tato rovnice je známa jako Kleinova-Gordonova rovnice pro volnou částici. Tato rovnice je relativistická, protože její energiový člen neudělá předpoklady, které jsme udělali s malým $\sqrt{1+x}$ Taylorovým rozvojem.

Nyní zjednodušíme Kleinovu-Gordonovu rovnici (vrátíme se zpět do 1-D a použijeme naši novou energiovou formuli) a dostaneme dlouho očekávanou Schrödingerovu rovnici:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Dosadíme nyní naši novou vlnovou funkci danou $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , kde známe první a druhou derivaci podle času:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nyní vše, co potřebujeme udělat, je jednoduché přeuspořádání, abychom získali Schrödingerovu rovnici ve třech dimenzích (všimněte si, že $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Argument lze vyvodit pozorováním podobnosti s klasickým Hamiltoniánem, který ukazuje, že pravá strana rovnice popisuje celkovou energii vlnové funkce.

V našem odvození jsme předpokládali, že $V(\vec{r},t)$ je 0 a že byla zohledněna pouze kinetická energie. Víme, že potenciál je čistě aditivní vzhledem k jeho prostorovým variacím, a proto je plná Schrödingerova rovnice ve třech dimenzích s potenciálem dána:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

To je vše! Zde máme odvozenou plnou Schrödingerovu rovnici pro ne-relativistickou částici ve třech dimenzích. Pokud se vám tento příspěvek líbil a chtěli byste vidět více podobných, prosím, napište nám, abychom to věděli.

Poznámky

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantová fyzika. 2. vyd. Kanada: Hamilton Printing, s. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantová fyzika. 3. vyd. Univerzitní tiskárna, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. a Volkmer, S. (2019). Jak odvodit Schrödingerovu rovnici. [online] arXiv.org. Dostupné z: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Přístup 29. května 2019].
Shankar, R. (1980).Zásady kvantové mechaniky. 1. vyd. New York: Springer Science, s. 1-40.

Prohlášení: Respektujte původ, dobaře napsané články jsou hodny sdílení, jestliže dojde k porušení autorských práv, prosím, kontaktujte pro smazání.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Články o fyzice

Kvantová teorie

O odbornících

Electrical4u

China