Schrödinger Vågekvation: Derivering & Förklaring

Electrical4u

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är Schrödingerekvationen?

Schrödingerekvationen (även känd som Schrödingers vågekvation) är en partiell differentialekvation som beskriver dynamiken hos kvantmekaniska system via vågfunktionen. Trajektorierna, positioneringen och energin av dessa system kan hämtas genom att lösa Schrödingerekvationen.

All information för ett subatomär partikel är kodad inom en vågfunktion. Vågfunktionen uppfyller och kan lösas med hjälp av Schrödingerekvationen. Schrödingerekvationen är en av de grundläggande axiom som introduceras i grundläggande fysik. Det är också alltmer vanligt att hitta Schrödingerekvationen introducerad inom elektronikkursplaner på universitet eftersom den tillämpas på halvledare.

Tyvärr anges den bara som ett postulat i båda fallen och härleds aldrig på något meningsfullt sätt. Detta är ganska missnöjsamt eftersom nästan allt annat som lärs ut i grundläggande kvantfysik bygger på denna grund. I denna artikel kommer vi att härleda ekvationen från början och jag ska göra mitt bästa för att visa varje steg som tagits.

Intressant nog är argumenten vi kommer att använda samma som de som Schrödinger själv tog, så du kan se tankegångarna en gigant gjorde i sin tid. Som en påminnelse, här är den tidsberoende Schrödingerekvationen i tre dimensioner (för en icke-relativistisk partikel) i all sin skönhet:

Kvantfysik och vågor

Alla tycker om att kritisera klassisk fysik – men den tjänade oss ganska bra under en lång tid (tänk Newtons mekanik, Maxwells ekvationer och specialrelativitetsteorin).

Men som visas i våra tidigare artiklar var de experimentella resultaten vid sekelskiftet inte särskilt imponerande jämfört med den kända fysiken på den tiden. Våra artiklar om dubbelklövsförsöket och till viss del fotoelektriska effekten är experimentella resultat som inte stämde överens med det kända förståndet på den tiden.

Men varför? För att uttrycka det enkelt, finns det inom klassisk fysik två entiteter, partiklar och vågor. Egenskaperna hos båda dessa entiteter kan beskrivas som följer:

Partiklar: lokalisade paket av energi och rörelsemängd med massa $m$ .

Vågor: störningar spridda över rummet och resande genom tid. De kan beskrivas med en vågfunktion $\psi(\vec{r}, t)$ som beskriver vågen över rum och tid.

Detta leder oss till de förvånande resultaten som hittades i vår Fotoelektriska emission artikel. Vi upptäckte att elektronen visar båda dessa egenskaper. Detta motsäger helt det kända förståndet på den tiden eftersom de två entiteterna ansågs vara uteslutande.

Otroligt, eller hur? Omkring denna tid började några mycket inflytelserika personer inom fysiken inse att det fanns ett kunskapsgap, och en stor genombrott kom när Louis de Broglie kopplade samman en rörelsemängd (för en partikel) till en våglängd (för vågor) givet av

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Också, från Photoelectric Emission vet vi att energiabsorption och -emission av fotoner (än så länge osäkert om partikel eller våg) har en energi som ges av

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Där $\hbar = h/2\pi$ och $\omega=2\pi f$ . Vi är nu på exakt samma steg som Schrödinger var innan han härledde sin berömda ekvation. Men var börjar vi? Jo, vi vet att elektronerna och fotonerna visar vågliknande och partikelliknande beteende. Det skulle inte vara fel att börja med en universell ekvation som alla vågor borde följa och sedan introducera partikelfysik ovanpå för att se om det finns ett resultat.

Hur man härleder vågekvationen

Störningen $\psi(\vec{r}, t)$ följer vågekvationen. Kom ihåg, elektronen visar vågliknande beteende och har en elektromagnetisk laddning. Därför, låt oss för tillfället bara titta på elektromagnetiska fält. I detta scenario gäller Maxwells ekvationer och här är de i all sin glans:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Där $c$ är ljushastigheten i vakuum, $\vec{E}$ är det elektriska fältet och $\vec{B}$ är det magnetiska fältet. Den första ekvationen ovan är grunden för elektriska generatorer, induktorer och transformatorer och är en manifestation av Faradays lag.

En annan implikation från $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ är att det inte finns några magnetiska monopoler. Förståelsen av härledningen av dessa ekvationer och den fysiska innebörden bakom dem gör en välutbildad ingenjör. Nu ska vi härleda ekvationen som alla elektromagnetiska vågor måste följa genom att tillämpa en rotation på ekvation 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nu kan vi utnyttja en mycket bekant (och lätt bevisad) vektorsidentitet: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ där $T$ är en platsreserverande vektor. Tillämpa nu detta på vår lilla ekvation:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Det vi har här är den elektromagnetiska vågekvationen i tre dimensioner. Denna ekvation visar sig inte bara i elektromagnetiska vågor – den har också uppenbarat sig inom akustik, seismiska vågor, ljudvågor, vattenvågor och strömningsmekanik.

Hur man härleder Schrödingerekvationen

Planvåglösningar till vågekvationen

Vi börjar med vågekvationen för en dimension (det är verkligen lätt att generalisera till tre dimensioner efteråt eftersom logiken gäller i alla $x, y$ , och $z$ dimensioner.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Detta är i själva verket en andragradspartielldifferentialekvation som uppfylls av planvåglösningar:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kontrollera detta själv!). } \end{equation*}$

Där vi vet från vanlig vågmekanik att $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ och $\omega = 2 \pi f$ . Nu, låt oss utnyttja arbetet av Einstein och Compton och ersätta det faktum att energin hos en foton ges av $\mathsf{E} = \hbar \omega$ och från de-Broglie att $p = h / \lambda = \hbar k$ . Vi kan vidare massera vår planvågslösning till:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Detta är den planvågsliknande ekvationen som beskriver en foton. Låt oss ersätta denna ekvation i våra vågekvationer och se vad vi hittar!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Med andra ord, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ vilket är bra eftersom vi vet från speciell relativitetsteori att den totala energin för en relativistisk partikel med massa $m$ är:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Och hittills har vi bara behandlat fotonen som inte har någon massa $(m=0)$ ! Låt oss därför utvidga vår förståelse och tillämpa den totala relativistiska energin för en partikel med massa (som elektronen till exempel) och ändra namnet på vår ekvation till $\Psi$ eftersom vi är ballare.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Denna ekvation kom direkt genom att substituera planvågekvationen för ett foton i vågekvationen. Eftersom vi nu vill lösa den totala relativistiska energin för en partikel med massa måste vi dock ändra vågekvationen något. Detta beror på att vågekvationen inte fullständigt bör appliceras på vår nya $\Psi$ som beskriver både partiklar och vågor. Vi kan nu backlösa för en operator för att få ekvationen ovan, och den ges av:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Lösning för partiklar med massa i vågekvationen

Vi vill nu göra några approximationer av den fullständiga energi vi just beskrev genom $\mathsf{E}$ för en partikel med momentum och massa. Låt oss bara omarrangera formeln något så att vi kan använda några approximationer.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Hela poängen med denna manipulation är att få ekvationen i formen $\sqrt{1 + x}$ eftersom om vi tar en Taylorserieexpansion av denna ekvation får vi:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

När $x$ är liten, är det endast delen som återstår i Taylorutvecklingen den $O(1)$ termen. I vår energiformel, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Vi kan utnyttja faktumet att $p = mv \ll mc$ för allt som inte reser sig med ljushastighet (vänligen hitta mig om du hittar något som inte uppfyller detta)! Så denna term reduceras faktiskt till:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Där

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Är den normala kinetiska energin vi ser från gymnasiefysik. Nu tillbaka till vågfunktionen från tidigare, låt oss nu mata in denna nya information och se vad vi får:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Anledningen till att vi nu har delat upp de två termerna är att den första termen $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (igen baserad på ljushastigheten) kommer att vara betydligt mer oscillerande än den andra termen och beskriver inte nödvändigtvis det partikel-vågfenomen vi söker. För att fastställa denna skillnad, låt oss nu etablera att:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Där vi nu har definierat:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Låt oss nu ta den första och andra partiella derivatan av $\Psi(\vec{r},t)$ och se vad vi får. Den första:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

och den andra:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Vi bör komma ihåg att det sista termen med den andra partiella derivatan är ganska liten eftersom det inte finns någon $c^2$ term som bär ordningen av storlek, och därför, genom approximation, ges den faktiska andraderivatan av:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Den listiga anledningen till att vi tog dessa två partiella derivator var så att vi kunde införa dem i denna ekvation som beskriver vågfunktionen tidigare:

Men innan vi kan göra det, låt oss omskriva denna formel och vi kommer att få en ekvation som kallas Klein-Gordon-ekvationen:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nu kan vi enkelt generalisera detta till tre dimensioner genom att göra denna ekvation till en vektorekvation (alla steg vi tog för att härleda denna formel gäller för alla $x,y$ och $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Denna ekvation är känd som Klein-Gordon-ekvationen för ett fritt partikel. Denna ekvation är relativistisk eftersom dess energiterm inte gör de antaganden vi gjorde med den lilla $\sqrt{1+x}$ Taylor-expansion.

Nu, låt oss förenkla Klein-Gordon-ekvationen (gå tillbaka ner till 1-D och tillämpa vår nya energiformel) och vi kommer fram till den länge efterlängtade Schrödingerekvationen:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Låt oss sätta in vår nya vågfunktion given av $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ där vi vet hur de första och andra derivatorna med avseende på tid ser ut:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Allt vi behöver göra nu är en enkel omarrangering för att få Schrödingers ekvation i tre dimensioner (observera att $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Argumentet kan göras genom att notera likheten med den klassiska Hamiltonianen, där termen på höger sida av ekvationen beskriver den totala energin av vågfunktionen.

I vår härledning antog vi att $V(\vec{r},t)$ är 0 och att endast kinetisk energi beaktades. Vi vet att potentialen är rent additiv med avseende på dess rumsliga variationer och därför ges den fullständiga Schrödingers ekvationen i tre dimensioner med potential av:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Det var allt! Här har vi härlett den fullständiga Schrödingers ekvationen för ett icke-relativistiskt partikel i tre dimensioner. Om du tyckte om det här inlägget och vill se fler liknande, vänligen mejla oss för att låta oss veta.

Citat

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantfysik. 2:a uppl. Kanada: Hamilton Printing, ss.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantfysik. 3:e uppl. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. och Volkmer, S. (2019). Hur man härleder Schrödingers ekvation. [online] arXiv.org. Tillgänglig på: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Hämtad den 29 maj 2019].
Shankar, R. (1980).Principer för kvantmekanik. 1:a uppl. New York: Springer Science, ss.1-40.

Förklaring: Respektera originaltexten, godartade artiklar är värt att dela. Om det finns upphovsrättsskyddade material kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Fysikartiklar

Kvantteori

Om experter

Electrical4u

China