슈뢰딩거 파동 방정식: 유도 및 설명

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필드: 기본 전기학

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슈뢰딩거 방정식이란?

슈뢰딩거 방정식(또한 슈뢰딩거의 파동 방정식으로 알려짐)은 파동 함수를 통해 양자 역학 시스템의 역학을 설명하는 편미분 방정식입니다. 이러한 시스템의 궤도, 위치, 에너지는 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻을 수 있습니다.

하위 원자 입자의 모든 정보는 파동 함수에 인코딩되어 있습니다. 파동 함수는 슈뢰딩거 방정식을 만족하며 이를 사용하여 풀 수 있습니다. 슈뢰딩거 방정식은 대학 물리학에서 소개되는 기본 공리 중 하나이며, 전기공학 교과과정에서도 점점 더 일반적으로 소개되고 있습니다. 이는 반도체에 적용되기 때문입니다.

불행히도, 두 경우 모두에서 이것은 단순히 가설로만 제시되며, 의미 있는 방식으로 도출된 적은 없습니다. 이는 대학 양자물리학에서 가르치는 거의 모든 것이 이 기초 위에 구축되어 있기 때문에 매우 불만족스럽습니다. 이 글에서는 방정식을 처음부터 유도하고, 가능한 모든 단계를 보여드리겠습니다.

흥미롭게도, 우리가 취할 논리는 슈뢰딩거 본인도 취했던 것과 동일하므로, 그가 그 시대에 어떤 생각을 했는지 볼 수 있습니다. 참고로, 다음은 시간 종속적인 3차원 슈뢰딩거 방정식(비상대성 입자를 위한)의 아름다움입니다:

양자물리학과 파동

모든 사람이 고전물리학을 비난하지만, 그것은 상당히 오랜 시간 동안 우리에게 잘 서비스했습니다(뉴턴 역학, 맥스웰 방정식, 특수상대성이론 등을 생각해보세요).

그러나 이전 기사에서 보았듯이 세기말의 실험 결과는 당시 알려진 물리학과 비교해 볼 때 그리 화려하지 않았습니다. 우리의 양자 간섭 실험과 어느 정도로는 광전효과에 대한 실험 결과들은 당시의 이해와 잘 맞지 않았습니다.

그렇다면 왜일까요? 간단히 말해서, 고전물리학에서는 두 개체, 입자 와 파동이 존재합니다. 이 두 개체의 특징은 다음과 같습니다:

입자: 질량을 가진 에너지와 운동량의 국소화된 덩어리 $m$ .

파동: 공간에 퍼져 시간을 통해 이동하는 교란. 파동 함수 $\psi(\vec{r}, t)$ 를 사용하여 공간과 시간에 걸친 파동을 설명할 수 있습니다.

이는 우리 광전방출 기사에서 발견한 놀라운 결과로 이어집니다. 우리는 전자가 이러한 두 가지 속성을 모두 보여준다는 것을 발견했습니다. 이는 두 개체가 서로 배타적이라고 여겨졌던 당시의 이해와 완전히 모순됩니다.

정말 믿기 어려운 일이죠? 이 시기에 물리학계에서 매우 영향력 있는 인물들이 지식의 격차를 인식하기 시작했고, 루이 드브로이가 입자의 운동량과 파동의 파장을 연결시켜 큰 돌파구를 열었습니다.

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

또한, 광전방출에서 알 수 있듯이 광자(아직 입자인지 파동인지 확실하지 않음)의 에너지 흡수와 방출은 다음과 같이 주어집니다

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

여기서 $\hbar = h/2\pi$ 및 $\omega=2\pi f$ 입니다. 이제 우리는 슈뢰딩거가 그 유명한 방정식을 도출하기 전과 정확히 같은 단계에 있습니다. 그렇다면 어디서부터 시작해야 할까요? 우리는 전자와 광자가 파동과 입자처럼 행동한다는 것을 알고 있습니다. 모든 파동이 따라야 하는 보편적인 방정식으로 시작하고, 그 위에 입자 물리학을 도입하여 결과를 확인해보는 것이 잘못된 것은 아닙니다.

파동 방정식 도출 방법

교란 $\psi(\vec{r}, t)$ 은 파동 방정식을 따릅니다. 전자는 파동처럼 행동하며 전자기적 전하를 가지고 있습니다. 따라서, 우선 전자기장을 살펴봅시다. 이 경우 맥스웰 방정식이 적용되며, 여기에 그들이 있습니다:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

여기서 $c$ 는 진공에서의 빛의 속도이고, $\vec{E}$ 는 전기장이며, $\vec{B}$ 는 자기장입니다. 위 첫 번째 방정식은 발전기, 인덕터, 변압기에 기초하며 패러데이 법칙의 구현입니다.

또한, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 로부터 얻을 수 있는 결론 중 하나는 자기 단극자가 존재하지 않는다는 것입니다. 이러한 방정식들의 유도와 그 뒤에 숨겨진 물리적 의미를 이해하는 것은 전문적인 엔지니어로서의 자질을 갖추는 데 도움이 됩니다. 이제, 4번 방정식에 회전 연산자를 적용하여 모든 전자기파가 준수해야 하는 방정식을 유도해보겠습니다:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

이제 매우 익숙하고 쉽게 증명할 수 있는 벡터 항등식을 활용할 수 있습니다: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ 여기서 $T$ 는 임의의 벡터입니다. 이제 이 식에 적용해보겠습니다:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

여기서 얻은 결과는 3차원에서의 전자기파 방정식입니다. 이 방정식은 전자기파뿐만 아니라 음향학, 지진파, 소리파, 수파, 유체역학에서도 나타납니다.

슈뢰딩거 방정식 유도 방법

평면파 해를 이용한 파동 방정식

1차원에서의 파동 방정식으로 시작합니다 (이후 3차원으로 일반화하는 것은 매우 쉽습니다. 논리는 모든 차원에서 적용됩니다). $x, y$ , 그리고 $z$ 차원):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

이는 실제로 2차 편미분 방정식이며, 평면파 해로 만족됩니다:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (자신이 확인해 보세요!). } \end{equation*}$

일반 파동 역학에서 우리는 $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ 그리고 $\omega = 2 \pi f$ 을 알고 있습니다. 이제 아인슈타인과 콤프턴의 연구를 활용하여 광자의 에너지가 $\mathsf{E} = \hbar \omega$ 라는 사실을 대입하고 드브로이로부터 $p = h / \lambda = \hbar k$ 라는 것을 사용할 수 있습니다. 이를 통해 평면파 해를 다음과 같이 변형할 수 있습니다:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

이것은 광자를 설명하는 평면파 방정식입니다. 이 방정식을 우리의 파동 방정식에 대입해 보겠습니다.

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

즉 $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ 이며 이것은 특수상대성이론에서 질량이 있는 상대적 입자의 전체 에너지가 다음과 같다는 것을 알기 때문에 훌륭합니다. $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

현재까지는 질량이 없는 광자에 대해서만 다루었습니다. $(m=0)$ ! 이제 이해를 확장하고 전자와 같은 질량이 있는 입자의 전체 상대성 에너지를 적용해보겠습니다. 그리고 우리의 방정식 이름을 $\Psi$ 로 변경하겠습니다. 우리는 멋쟁이들이니까요.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

이 방정식은 광자의 평면파 방정식을 파동방정식에 대입하여 얻어졌습니다. 그러나 이제 질량이 있는 입자의 전체 상대성 에너지를 해결하기 위해 파동방정식을 약간 변경해야 합니다. 이는 파동방정식이 우리의 새로운 $\Psi$ 에 완전히 적용되지 않기 때문입니다. 여기서 $\Psi$ 는 입자와 파동을 설명합니다. 이제 위의 방정식을 얻기 위해 역으로 연산자를 구할 수 있으며, 그것은 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

파동 방정식에서 질량을 가진 입자에 대한 해법

우리는 이제 $\mathsf{E}$ 에 대해 몇 가지 근사를 적용하려 합니다. 이는 운동량과 질량을 가진 입자를 위한 것입니다. 공식을 약간 재배치하여 근사치를 사용할 수 있도록 하겠습니다.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

이 조작의 목적은 공식을 $\sqrt{1 + x}$ 형태로 바꾸는 것입니다. 만약 이 방정식에 테일러 급수 전개를 적용하면 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

x가 작을 때, 테일러 전개에서 남아 있는 부분은 $O(1)$ 항입니다. 에너지 공식에서 $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ 입니다. 우리는 $p = mv \ll mc$ 가 빛의 속도로 움직이지 않는 모든 경우에 대해 성립한다는 점을 활용할 수 있습니다 (만약 그렇지 않은 것을 찾으시면 알려주세요)! 따라서 이 항은 실제로 다음과 같이 줄어듭니다:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

여기서

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

고등학교 물리학에서 보는 일반적인 운동 에너지입니다. 이제 이전의 파동 함수로 돌아가서, 이 새로운 정보를 입력해 보겠습니다:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

두 용어를 지금 분리한 이유는 첫 번째 용어 $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (다시 말해 빛의 속도에 기반)가 두 번째 용어보다 훨씬 더 진동적일 것이며, 우리가 찾고 있는 입자-파동 엔티티를 반드시 설명하지는 않을 수 있기 때문입니다. 따라서 이러한 차이점을 명확히 하기 위해 다음과 같이 설정하겠습니다:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

여기서 우리는 이제 다음과 같이 정의했습니다:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

이제 $\Psi(\vec{r},t)$ 의 첫 번째와 두 번째 편미분을 취해보겠습니다. 첫 번째:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

그리고 두 번째:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

우리는 두 번째 편미분항이 매우 작다는 것을 기억해야 합니다. 이는 $c^2$ 항이 크기의 차수를 가지고 있지 않기 때문입니다. 따라서 근사적으로 실제 두 번째 미분은 다음과 같습니다:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

이 두 개의 편미분을 취한 숨겨진 이유는 이들을 이전에 설명한 파동 함수 방정식에 대입하기 위해서였습니다:

하지만 이를 수행하기 전에, 이 공식을 재배치하여 클라인-고든 방정식이라고 불리는 방정식을 얻게 됩니다:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

이제 이 방정식을 벡터 방정식으로 바꾸어 3차원으로 쉽게 일반화할 수 있습니다 (이 공식을 도출하기 위해 취한 모든 단계는 모든 $x,y$ 및 $z$ 에 적용됩니다.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

이 방정식은 자유 입자에 대한 클라인-고든 방정식으로 알려져 있습니다. 이 방정식은 그 에너지 항이 우리가 작은 $\sqrt{1+x}$ 테일러 전개에서 한 가정을 하지 않기 때문에 상대론적입니다.

이제 클라인-고든 방정식을 간단히 하겠습니다 (1차원으로 돌아가서 새로운 에너지 공식을 적용하면) 그리고 기다려온 슈뢰딩거 방정식에 도달할 것입니다:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

우리의 새로운 파동 함수를 $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ 로 대입해 보겠습니다. 여기서 시간에 대한 첫 번째와 두 번째 도함수의 형태를 알고 있습니다:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

이제 우리가 해야 할 일은 단순히 재정렬하여 세 차원에서의 슈뢰딩거 방정식을 얻는 것입니다 (참고로 $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

우변의 항이 파동함수의 총 에너지를 설명한다는 점에서 고전적 해밀토니안과 유사성을 지적할 수 있습니다.

우리의 도출 과정에서 $V(\vec{r},t)$ 가 0이라고 가정하고 운동 에너지만을 고려하였습니다. 우리는 잠재력이 공간 변화에 대해 순수하게 가산적인 것을 알고 있으므로, 잠재력을 포함한 세 차원에서의 전체 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

이것으로 끝났습니다! 이 글에서는 세 차원에서의 비상대론적 입자에 대한 전체 슈뢰딩거 방정식을 도출하였습니다. 이 게시글이 마음에 들었다면, 더 많은 관련 내용을 보고 싶다면, 저희에게 이메일을 보내 알려주세요.

인용문

Gasiorowicz, S. (2019). 양자물리학. 2판. 캐나다: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). 양자물리학. 3판. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. 및 Volkmer, S. (2019). 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 유도하나요? [온라인] arXiv.org. 참조: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [접근일: 2019년 5월 29일].
Shankar, R. (1980). 양자역학의 원리. 1판. 뉴욕: Springer Science, pp.1-40.