Шрөдінгер теңдеуі: Өту және Түсіндірме

Electrical4u

Өріс: Негізгі электротехника

China

Шрөдингер теңдеуі неге болады?

Шрөдингер теңдеуі (қайталап айтқанда, Шрөдингер толқындық теңдеуі) - бұл кванттық механикалық жүйелердің динамикасын толқын функциясы арқылы сипаттайтын дербес туындылық теңдеу. Шрөдингер теңдеуін шешу арқылы бұл жүйелердің траекториясы, орналасуы және энергиясы анықталады.

Барлық субатомдық затпенің ақпараты толқын функциясында кодталған. Толқын функциясы Шрөдингер теңдеуімен қанағаттанылады және оны пайдаланып шешуге болады. Шрөдингер теңдеуі - бұл бакалавриатта физикада енгізілетін негізгі аксиомалардың бірі. Ол өзара электр техникалық дисциплиндерде де кездесетінін көре отырып, мезгулдарда да кездеседі, себебі ол полупроводниктерге қолданылады.

Кешіріңіз, бұл екеуінде де тек постулат ретінде беріледі және қандай да бір маңызды түрде шығарылмайды. Бұл қатты жеңілестіреді, себебі бакалавриатта өтілетін барлық басқа кванттық физикалық материалдар бұл негізде жасалған. Бұл мақалада біз теңдеуді нөлден шығарып, мен әр қадамды көрсетудің ең жақсы тағылымын қажет етіп, жасауға тырысамын.

Қызықты екені, біз қолданатын аргументтер Шрөдингердің өзінің айтуынша бірдей, сондықтан сіз уақытша үлкен адамдың ойлау жолын көре аласыз. Ескертпек етіп, мына үш өлшемді (релятивистік емес затпен үшін) уақытқа байланысты Шрөдингер теңдеуінің әдемілігін көріңіз:

Кванттық Физика және Толқыналар

Әркем Ньютон механикасын, Максвелл теңдеулерін және аралас релятивитетін есепте классикалық физиканың бізге ұзақ уақыт үшін қызмет еткенін айтады.

Олай болса, біздің алдыңғы мақалаларымызда көрсетілгендей, жылдың аяғындағы эксперименттік нәтижелер өте әдемі емес, олар түсінікті физика мен салыстырылғанда. Біздің эки шығыс өрісі және әлі де фотоелектрлық эффекттің эксперименттік нәтижелері ұсынылған түсініктермен әлсіз ұйыстырады.

Бірақ неліктен? Жақсы, классикалық физикада екі құбылыс бар, частицалар және толқыналар. Екеуінің қасиеттерін мынадай түрде сипаттауға болады:

Частицалар: энергия және импульсттың локализацияланған пакеттері, массасы бар $m$ .

Толқыналар: уақыт ішінде қозғалатын араңызға таралған ауытқулар. Оларды толқын функциясы арқылы сипаттауға болады $\psi(\vec{r}, t)$ оларды араңыз және уақыт бойынша сипаттайтын.

Бұл біздің Фотоелектрлық Эмиссия мақаласында табылған қуатты нәтижелерге алып келеді. Біздің табылғанымыз – электрон екеуінің да қасиеттерін көрсетеді. Бұл таңғы түсініктерге қарсы келеді, себебі екеуінің де қасиеттері бір-бірімен өзара қатысты болмаған деп ұсынылған.

Жаңалау, әлі де физикадағы әлсіз фигураның біреуі Луи де Бройле частицаның (импульсі) толқындың (толқын длинасына) қатынасын анықтады:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Алдағырақ, Фотоэлектр эмиссия бойынша біз фотондардың энергиясын қабылдайтынын және беретінін (бұл дауыс немесе толқын екені дәл белгісіз) білеміз

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Мұнда $\hbar = h/2\pi$ және $\omega=2\pi f$ . Біз Шредингердің атақты теңдеуін шығаруынан бұрынғы кезде бірдей стадияда болмыз. Бірақ біз не істейміз? Електрондар мен фотондар толқындық және дауыстық үзілуін көрсетеді. Барлық толқындар үшін қатысты болатын универсалды теңдеуден бастап, содан соң частицалық физикасын енгізіп, нәтиже қандай болады деп көруіміздің қателігі жоқ.

Толқындық теңдеуді қалай шығару керек

Қозғалыс $\psi(\vec{r}, t)$ толқындық теңдеуге қатысты. Ескертуге қарай, электрон толқындық үзілуін көрсетеді және электромагниттік заряды бар. Сондықтан, қазір біз электромагниттік өрістерге ғана қараған жөн. Бұл жағдайда, Максвелл теңдеулері қолданылады, олардың қолданылуы төменде көрсетілген:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Мұнда $c$ - бөгде аспанда жарықтың жылдамдығы, $\vec{E}$ - электр магниттық талау, ал $\vec{B}$ - магниттік талау. Берілген теңдеу электр генераторлары, индукторлар және трансформаторлардың негізі болып табылады және Фарадей заңының орындалуына қатысады.

Енді, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ теңдеуінің маңызы бойынша магниттік монополярлықтардың болмауы шығады. Бұл теңдеулердің шығарылуы мен олардың физикалық мағынасын түсіну инженерге қажет. Енді, 4-теңдеуге курл операциясын қолданып, електромагниттік толқындардың қанағаттануы керек теңдеуді шығарып көрейік:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Енді біз өте белгілі (және оңай дәлелденетін) векторлық айдентиканы қолданамыз: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ мұнда $T$ - бірорынды вектор. Енді біздің теңдеуге қолданамыз:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Біздің жауабымызда үш өлшемдегі электромагниттік толқын теңдеуі бар. Бұл теңдеу тек электромагниттік толқында емес, акустика, сейсмалық толқындар, уақыт толқындары, су толқындары және суықтық динамикасында да көрсетілген.

Шрёдингер теңдеуін қалай шығаруға болады

Толқын теңдеуінің жазық толқын шешімдері

Бір өлшемдегі (одан кейін үш өлшемге жалпылау өте оңай, себебі логика барлық $x, y$ және $z$ өлшемдерінде қолданылады):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Бұл нақты, екінші ретті дербес туынды теңдеуі және оны жазық толқын шешімдерімен қанағаттануға болады:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (өзіңізді қолданып көріңіз!). } \end{equation*}$

Біз нормалды толқын механикасынан $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ және $\omega = 2 \pi f$ білеміз. Енді Эйнштейн мен Комптондың жұмысын пайдаланып, фотон энергиясының $\mathsf{E} = \hbar \omega$ тең екенін және де-Бройдің $p = h / \lambda = \hbar k$ тең екенін орындауға болады. Біз планарлық толқын шешімімізді тереңдету үшін:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Бұл фотонды сипаттайтын планарлық толқын теңдеуі. Енді бұл теңдеуді толқын теңдеуге қою арқылы не табатынымызды көрейік!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Басқа сөзбен айтқанда, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ бұл жақсы, себебі біз специальды релятивистика теориясынан массасы бар релятивистик түрде қозғалатын затпенің жалпы энергиясын білеміз $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Енді біз әлі фотонмен ғана айналыспады, оның массасы жоқ $(m=0)$ ! Содан кейін біздің түсінікті ерекшелейміз және массасы бар затпенің (мысалы, электрон) үшін жалпы релятивисттік энергия формуласын қолданамыз, және теңдеу атын $\Psi$ деп өзгертеміз, себебі біз жетекшілер.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Бұл теңдеу фотон үшін плосқа толқын теңдеуін волн теңдеуіне енгізгеннен келеді. Бірақ, енді біз массасы бар затпенің жалпы релятивисттік энергиясын шешкеніміз келсе, волн теңдеуіне еңгізікті өзгертулер енгіземіз. Бұл себептен волн теңдеуі біздің жаңа $\Psi$ толығымен қолданылмауы керек, себебі бұл теңдеу заттар мен толқындарды сипаттайтын. Енді біз бұл теңдеуді алмасу үшін операторды анықтауға болады, және ол мынау:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Толқын теңдеуіндегі массасы бар заттарды шешу

Біз еңгізген толық энергияға қатысты кейбір жуықталған мәндерді $\mathsf{E}$ импульсі мен массасы бар зат үшін пайдаланамыз. Формуланы аз өзгерту арқылы біз кейбір жуықталған мәндерді пайдаланамыз.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Бұл манипуляцияның мақсаты – теңдеуді $\sqrt{1 + x}$ түріне келтіру, себебі егер біз бұл теңдеуді Тейлор ретімен жіктеңіз, онда:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Егер $x$ кішкентай болса, Тейлордың жиынтығында қалады $O(1)$ термині. Біздің энергия формуласында, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Біз $p = mv \ll mc$ деген факттен пайдалануға болады (жеңілдікті табасыңыз, егер бұл теңсіздік орындалмаса маған хабарласыңыз)! Сондықтан бұл термин нақты түрде:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Мұнда

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Бұл жоғары мектеп физикасында көрінетін нормаль кинетикалық энергия. Енді өткен түрлендіру функциясына оралып, бұл жаңа ақпаратты енгізіп, нәтижесін көрейік:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Екі терминді бөліп түсіндірме мезгілінде, бірінші термин $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (тағы да жарықтың жылдамдығына негізделген) екінші термінге салыстырғанда көбірек осцилляциялық болады және біз іздеп жатқан частица-терезе құбылысын әлі де толық түсіндірмейді. Сондықтан осы айырмашылықты дәлелдейік:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Бұлда біз төмендегіді енгізіп отырмыз:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Енді $\Psi(\vec{r},t)$ үшін бірінші және екінші дербес туындыларын алуға болады. Бірінші:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

және екінші:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Бізге ескерту керек, бірінші тәртіптің екінші дербес туындысы өте аз болады, себебі $c^2$ тәртібінің мүшесі жоқ, сондықтан жуықталғанда, нақты екінші туынды мынау:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Бұл екі дербес туындыны алу үшін біз бұрыннан белгіленген теңдеуде вола функциясын түсіндіру үшін оларды енгізу үшін қолдандық:

Бірақ бұл істеуге өткен алдында, бұл формуланы қайта ұйымдастырып, Клейн-Гордон теңдеуі деп аталатын теңдеуге жетеміз:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Енді бұл теңдеуді үш өлшемге жалпылау үшін оны векторлық теңдеуге айналдыруға болады (бұл формуланы шығару үшін жасалған барлық қадамдар $x,y$ және $z$ үшін де қолданылады.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Бұл теңдеу тәуелсіз затчастицы үшін Клейн-Гордон теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеу релятивисттік, себебі энергия термині ерекше $\sqrt{1+x}$ Тейлор кеңейтімін ескереді.

Енді Клейн-Гордон теңдеуін ықшамтайық (бір өлшемге оралып, жаңа энергия формуласын қолданып) және маңызды Шредингер теңдеуіне жетеміз:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Жаңа волндық функциясын енгірейік: $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ мұнда уақытқа салысты өзара бірінші және екінші туындылардың қалай көрінетіні белгілі:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Енді бізге керек екені - осы теңдікті түрлендіру арқылы үш өлшемдегі Шредингер теңдеуін алу (ескерту: $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Бұл теңдеудің оң жағындағы мүшелер қолданыс тәртібінде волн функциясының жалпы энергиясын сипаттайтын классикалық Гамильтондық теңдеуге ұқсас екендігін ескере отырып, бұл аргумент қолданылады.

Біздің шешімімізде, $V(\vec{r},t)$ нөлге тең деп есептелген және тек кинетикалық энергия есептеулерге қатысты екендігін ескеріңіз. Біздің білетінімізше, потенциал өзінің пространствалық өзгерістеріне қатысты чисто аддитивті болады, сондықтан үш өлшемдегі толық Шредингер теңдеуі потенциалмен беріледі:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Дегеніміз, біз үш өлшемдегі релятивистік емес частица үшін толық Шредингер теңдеуін шештік. Егер сіз бұл мақаланы ұнатсаңыз және осылайша басқа мақалаларды да көріп қалғыңыз келсе, бізге хабарласыңыз.

Силтемелер

Gasiorowicz, S. (2019). Кванттық физика. 2-басылым. Канада: Hamilton Printing, беттері 1-50.
Griffiths, D. (2019). Кванттық физика. 3-басылым. Кембридж университетінің баспана үйі, Кембридж: Cambridge University Press.
Ward, D. және Volkmer, S. (2019). Шредингер теңдеуін қалай алуға болады. [онлайн] arXiv.org. Жабық: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Қолданылған тарихы 29 маусым 2019].
Shankar, R. (1980).Кванттық механиканың негізгі принциптері. 1-басылым. Нью-Йорк: Springer Science, беттері 1-40.

Ескерту: Оригиналды сыйлаңыз, жақсы мақалалар бөлісу арқылы, егер автордық құқықтар бұзылса, өшіру үшін хабарласыңыз.

Өнімдік беріңіз және авторды қолдаңыз!

Тақырыптар:

Физика туралы мақалалар

Кванттық теория

Сарапшылар туралы

Electrical4u

China