معادله موج شرودینګر: اخیستنل و تشریح

Electrical4u

فیلد: د اساسي برقو د خواصو

China

سکروڈنجر معادله څه ده؟

د سکروډنجر معادله (چې په عام ډول د سکروډنجر د لهرې معادله په توګه هم پېژندل کېږي) يو غیر مکمل ديفرانسيلي معادله ده چې د لهرې فنکشن له لارې د کوانټم ميکانيکي سيسټمونو د تصرفاتو تشریح کوي. د دې سيسټمونو د حرکت، د موقعیت او د انرژي معلومات کولی شو د سکروډنجر معادله حل کولو له لارې ترلاسه کړو.

د يوه ذري ذره اتمي ذره لپاره د ټولو معلوماتو د لهرې فنکشن کې داخل شوي دي. لهرې فنکشن به وفا کړي او کولی شو د سکروډنجر معادله کارولو له لارې يې حل وکړو. سکروډنجر معادله د هغه بنسټيز اصولو څخه يوه ده چې د تحت التحصيل فيزيک کې داخلول کېږي. دا هم زياته کېږي چې د سکروډنجر معادله د برقی مهندسي د منځني دورې په طرحه کې د ځنډالوونکو سمندالوتوکو ته اعمال کېدل په بڼه داخله شي.

له بده بختي، دواړو حالتونو کې يې يوازې د يو مفروضې په توګه ذکر شوی دی او نه يو چمتو شوی. دا خورا ناسم دی چې تقريباً ټول هغه څه چې د تحت التحصيل کوانټم فيزيک کې زده کول کېږي بنياد يې دى. په دې ليکنه کې، موږ به د معادله د نوې برابرولو ته ورسوو او زه به د هر قدم ته پاملرنه وکړم چې اخيستل شوی.

دا ډير سترګې غټ دي چې د استدلالونه چې موږ به وکړو د سکروډنجر له خوا ورته ورته وي، نو تاسو کولی شو ښکاري چې د يو ج巨人 څخه د فکر کولو لارې څه وه. د يادونې لپاره، دلته د زمانې پر بنسټ سکروډنجر معادله د ۳- بعدونو کې (د غير-نسبي ذره لپاره) د ټولو خوبالي سره:

کوانټم فيزيک او لهرې

همداشان غوښتنه کوي چې کلاسيکي فيزيک ته ناوړه ووايو – خو د ډېر وخت لپاره موږ ته ډېر ښه خدمت وکړ (يوتلی چې نيوټني ميکانيک، ماکسويل معادلات، او ځانګړی ريلاتيويټي).

کهنه، د دې سره چې په زموږ د وروستي ليکنو کې ښودل شوي، تجربوي نتایج د مخکنۍ دورې د فيزيک له امله ډير لومړی نه وو. زموږ ليکنې د دوه شق تجربه او د يوه څه اندازې د فوټوالکتريک اثرو په اړه تجربوي نتایج دي چې د زمانې د معلومې پوهانې سره سمون نه لرل.

که څه هم ول؟ بيا داسې چې د کلاسيکي فيزيک په صورت کې دواړه موجوديت، ذرات او مورچې وجود لري. د دواړو د موجوديت خصوصيات دلته وروسته څلر گڼل کیږي:

ذرات: د انرژي او مومنتوم د محلي بستو سره د جرم سره $m$ .

مورچې: د فضا پراخه شوې خرابۍ چې د وخت له مخې حرکت کوي. د يوه مورچه فنکشن سره تشریح کیدی شي $\psi(\vec{r}, t)$ چې د فضا او وخت په اړه مورچه تشریح کوي.

دا موږ ته د زموږ د فوټوالکتريک انتشار ليکنې کې د مخکنۍ نتایجو ته راولوي. موږ وموندله چې الکترون هر دواړه دا خصوصيات ښيي. دا د زمانې د معلومې پوهانې سره بشپړه ضد ده ځکه چې دواړه موجودات يو بل سره نا متوالي وو.

بي ويرانه نه؟ دا وخت، ځينې ډير مؤثر شخصيتي فيزيک کې پوه شول چې د معلوماتو يو غاب دی، او لويس ډي بروالی د يوې مومنتوم (د يوې ذره لپاره) سره د يوې طول موج (د مورچو لپاره) تړلي چې ورکړل شوی دی

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

دا هم د Photoelectric Emission څخه د فوتونو د اغېزولو او پریکړل شوې انرژي (هنوز پټه دی چې دا دانه کېږي یا موج) دا دي

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

که $\hbar = h/2\pi$ او $\omega=2\pi f$ . نو دی ډیر سره د شرودنګر د مشهوره معادله ته رسیدل کې دی. له ورته څخه د کوم ځای پرانیستل کېږي؟ دا دی چې د الکترونو او فوتونو د موج او دانه ډول لارښوونه کېدونکي دي. د دې کې نه دوه غواړې دی چې د هر موج د پیروی کولو د یو ټولګي معادله پرانیستل او پسې د دانه فیزیک په بنسټه یې داخلول چې د نتیجه په اړه ګڼال شي.

د موج معادله کې د کېده کولو راهنما

د دې د پرتلو $\psi(\vec{r}, t)$ د موج معادله ته پیروی کوي. د دې د لارښوونه دی چې د الکترونو د موج ډول لارښوونه او د الكترومغناطيسی چارجو لري. په دې مرحله کې، د دې د یو څخه د الكترومغناطيسی میدانونو ته خپل نظر جوړ کړئ. د دې کې د ماکسويل معادلات به کارول کېږي او دا دې دندې دندې دي:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

که ده ورځې د شپې سرعت دی، $c$ د الکټریکي میدان او $\vec{E}$ د مغناطيسي میدان دی. د نویمې په اړه د اولو معادلو د الکټریکي جنراتورونو، انډکټرانو او ترانسفورمرانو لپاره بنسټ دی او د فارادي قانون د جسمه دی.

همدا دا په اړه چې $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ دا داسې کېدای شي چې هیڅ مغناطيسي مونوپول نشته. د دې معادلونو پوهېږي او د دې فیزیکي معنی پوهېږي د یو خبرې مهندس له لارې دی. دغه ځای ته د یو الکترومغناطيسي موج د لازمې معادلې په توګه د چهارمې معادلې ته د کرل تطبیق کول:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

دغه ځای ته د یو خوښه (او لوسته ثابت) د برداري هویت استعمال کولی شئ: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ که دا د برداري دی، د ځینې پلاس هولدر دی. د دې معادله ته د اوسني استعمال:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

دا چې ده د دویمه دیمېشنونو لپاره د الکترومغناطیسی وینا کې د مساواتو نتیجه دی. دا مساوات په نور د الکترومغناطیسی وینا کې دی، بلکه په اکوسټیکس، سیسمیک وینونو، صدا وینونو، آب وینونو او فلوید دینامیک کې هم دی.

د شرودینګر مساوات ترسره کول څو منځ

د وینا مساواتو لپاره د پلانه وینا حلونه

د یوه دیمېشن لپاره د وینا مساواتو سره پیل کړئ (د ۳ دیمېشنونو ترسره کول بسیار آسان دی ځکه چې د منطق په هر دیمېشن کې ده): $x, y$ ، او $z$ دیمېشنونه):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

دا د راسته دوه دیمېشنال پارشیال دیفرانسیال مساوات دی او په پلانه وینا حلونو کې راضی کیږي:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

د نرمال لمرې مکانیکو له ورته دې چې $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ او $\omega = 2 \pi f$ . په اوس ډول، د آینشتاین او کامټن کارونو ترمنځ کارولو او د فوټون انرژۍ دا ده چې $\mathsf{E} = \hbar \omega$ او د دې بروګلې له ورته دې چې $p = h / \lambda = \hbar k$ . مونه د پلان لمرې حل د دې لپاره بیا کارولو کولی شئ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

دا د فوټون په واسطه د پلان لمرې معادله دی. دا معادله د لمرې معادله ته سره جوړولو او د څو څخه دې چې موږ پیدا کړو!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

د اټکل منځه، $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ چې دا خوښ شوي دي ځکه چې مونږ د خاص نسبتیت له وړاندې موندل کې ده چې د جرم لرونکي ذراتو ترلاسه کولو لپاره د اوږد لپاره د کلې انرژۍ:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

دا هم د فوتونو په اړه ده چې د جرم نه لري $(m=0)$ ! پسې د پوهنه بېلابېلو کولو لپاره او د جرم لرونکي ذراتو (د الکترون لپاره مثال) د کلې نسبتیت انرژۍ ترلاسه کولو لپاره د معادله نوم د $\Psi$ ته بدلون کړئ ځکه چې مونږ د ګډون لرونکو.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

دا معادله د فوتونو د سطحی موج معادله د موج معادله ته د لاس راوړل شوې ده. ولې، مونږ اوس د جرم لرونکي ذراتو ترلاسه کولو لپاره د کلې نسبتیت انرژۍ حل کولو لپاره د موج معادله ته لوی ته بدلون ورکړو. دا ده چې د موج معادله د مونږ نوی $\Psi$ د ذراتو او موجو تشریح کولو لپاره کاملاً لاپته نه وي. مونږ اوس د اوپراتور ته د لاس راوړل کولو لپاره د بالا د معادله ته په اړه حل کولی شوې او دا ده:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

د ویو مساوات د پارټیکلې له مساحتونو حل کول

ما ته هڅه کوو چې د نور پاملرنې او جرم لرونې پارټیکل لپاره د ساتنې کې د ټولو انرژي توضیح چې دا د $\mathsf{E}$ د اړتیا لپاره د فرمول را ته ډیره بدل کړو ترڅو ځینې تقریب کولو ترلاسه کړو.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

دا تغییراتو د غوښتنې د دې د اړیکې دی چې د مساوات د فرمول یې د $\sqrt{1 + x}$ فرمول یې ته ورسويو چې چې د تیلر سیریز په توګه دا مساوات د دې توګه په توګه یې:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

که $x$ کوچنی دی، تیلور توسپې د بیلابیلو پرته ډول دا ده $O(1)$ موده. د انرجۍ فرمول کې، $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . مونه دا وړاندیز کړئ چې $p = mv \ll mc$ چې د نور سرعت له غیره (که چیرې څوک دا پیدا کړئ چې دا پایندې نه وي)! پس دا موده دا ده:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

که

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

دا د لویتوبو فیزیک لپاره معمولي دینامیکي انرجی دی. حالا د پخوا د ویو فانکشن ته راستونه، دا نوې معلومات ورکړئ او وګورئ چې څوک شو:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

د دې دوو اصطلاحونو ته د نیولو ډول دا ده چې پخوا د نور سرعت له مبنای دوام د یوه اصطلاح $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (نور سرعت لرونکي) د بیلابیلو اصطلاح وړاندې زیاته د غیر منظمې حرکت کېږي او د دې د ذره-موج وسیله د وړاندې داسې ده. پس د دې توپیر د جوړولو لپاره، د دې د فرق د ښه کولو لپاره:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

دا دې ده چې پخوا د دې تعریف شوی:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

پخوا د $\Psi(\vec{r},t)$ د پخوا او دویمه جزئي مشتقونه وګورئ او دا چې په پای کې راوړل شي. د پخوا:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

او دویمه:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

د دویم پارشل مشتق لرونکي کلمه خوښه کوچنۍ ده ځکه چې دا د نومولو لپاره یو کلمه نه وي $c^2$ چې د ارزښت لپاره ترسره کوي، او په وړاندیز کې، د واقعي دویم پارشل مشتق داسې ده:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

د دویم پارشل مشتقونو لرونکي د هغه د وړاندیز کې د وړاندیز څخه یې د موج ډالې د این معادله ته ورکولو منظمه وه:

ولې په ګوته کې چې چې داسې کړئ، دا فورمول د ګټل کولو او د کلاین-ګورډن معادله نومولو لپاره داسې کړئ:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

اوس مونږ دغه په لاسه ورته ۳-څو دیمې ته ډګر کولی شئ دا معادله یوازې د برداري معادله (په هر څوک سره چې موږ د دې فرمول له اخیستنې لپاره ورته کړی) د $x,y$ او $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

دا معادله د کلین-ګورډان معادله ده د یو آزاد ذره لپاره. دا معادله د ریلیټیویټی معادله ده ځکه چې د انرژۍ جمله د یو کوچني $\sqrt{1+x}$ تیلر توسیع ورته ګټه نه کوي.

اوس، د کلین-ګورډان معادله ساده کړئ (د یو-ډیمنشن ته لوړیدل او د موږ نوی انرژۍ فرمول استعمال کول) او موږ د انتظار د شرودنګر معادله ته ورسی:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

د موږ نوی موج فانکشن د $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ لاندې چې موږ د وخت په پرتله د یوه او دوه مشتقونه څه توګه دي:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

نوم کې داسې چې د ساده ترتیب کولو لپاره څخه نیول شوی دی (د ځانګړتوب په توګه د $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

که د کلاسیک هاملټنین د ځانګړتوب په توګه د یوازې د ښي ټرمن لپاره د مجموعې انرجۍ د وړاندې ښکلې د څه چې د معادلو د ښي ټرمن د څه چې د مجموعې انرجۍ تشریح کوي.

په دې اثبات کې مونه چې $V(\vec{r},t)$ ۰ دی او چې صرف د کینیټیک انرجۍ په توګه ګڼل شوی. مونه چې د پوټنشیال د خپل مکاني توپیراتوبو له لارې دوه ډوله جمع شوي دي او دا د ټولو ښکلې د سکروډینګر معادلو د سه ډایمونشن څخه د پوټنشیال لرونکو داسې چې:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

دا هم دی! دا مقاله د غیر ریلاتیوستیک ذره د سه ډایمونشن څخه د سکروډینګر معادلو د کامل اثبات کړي. که تاسې دا پوسټ پسندیده او د بیلابیلو په وړاندې خواړئ، بل موږ ته ایمیل کړئ ترڅو موږ په یاد ولري.

نښې

ګاسیوروویچ، اس. (۲۰۱۹). کوانتومي فیزیک. دویم تیراژ. کانادا: هاملټن پرینټینګ، صفحه‌ها ۱-۵۰.
ګریفیتس، ډی. (۲۰۱۹). کوانتومي فیزیک. سیمه تیراژ. د کمبریج پوهنتون چاپخانه: کمبریج پوهنتون پریس.
وارډ، ډی. او ولکمر، اس. (۲۰۱۹). څو ځای کوانتومي مساوات. [آنلاین] arXiv.org. د ورود لپاره: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [د ۲۹ می ۲۰۱۹ په وخت کې].
شنکار، آر. (۱۹۸۰). کوانتومي مکانيک د اصول. په یوه تیراژ. نیویورک: اسپرنګر ساینس، صفحه‌ها ۱-۴۰.

د وړاندیز: اصلي موخه وړاندې کړئ، خوښه مقالې جوړولو لپاره شته، که ګناحیت شوي وي له لنډولو لپاره رابطه کړئ.

د ایوټا کول او خالق ته ځانګړی ورکړل!

موضوعات:

د فيزيک لیکونه

نظریه کوانتومی

د ماخوړو په اړه

Electrical4u

China