শ্রোডিঙারের তরঙ্গ সমীকরণ: উৎপত্তি ও ব্যাখ্যা

Electrical4u

ফিল্ড: মৌলিক তড়িৎ

China

শ্রোডিঙার সমীকরণ কি?

শ্রোডিঙার সমীকরণ (যা শ্রোডিঙারের তরঙ্গ সমীকরণ হিসাবেও পরিচিত) একটি আংশিক অন্তরকলনীয় সমীকরণ যা তরঙ্গ ফাংশনের মাধ্যমে কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল সিস্টেমের ডাইনামিক্স বর্ণনা করে। এই সিস্টেমগুলির ট্র্যাজেক্টরি, অবস্থান এবং শক্তি শ্রোডিঙার সমীকরণ সমাধান করে পাওয়া যায়।

একটি উপ-অণুমানের সমস্ত তথ্য একটি তরঙ্গ ফাংশনের মধ্যে এনকোড করা হয়। তরঙ্গ ফাংশনটি শ্রোডিঙার সমীকরণ দ্বারা সম্পূর্ণ হয় এবং এটি দিয়ে সমাধান করা যায়। শ্রোডিঙার সমীকরণ হল একটি মৌলিক অক্ষর যা অধ্যাপনা পদার্থবিজ্ঞানে পরিচিত। এটি প্রতিদিন বেশি বেশি বিদ্যুৎ প্রকৌশলের পাঠ্যপুস্তকে পরিচিত হচ্ছে, কারণ এটি সেমিকনডাক্টরের প্রয়োগ করা হয়।

দুর্ভাগ্যবশত, এটি উভয় ক্ষেত্রেই একটি পোস্টুলেট হিসাবে উল্লেখ করা হয় এবং কোনও বাস্তব উপায়ে উৎপন্ন করা হয় না। এটি খুব অসন্তোষজনক, কারণ অধ্যাপনা কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে শিখানো সমস্ত অন্যান্য জিনিস এই ভিত্তির উপর নির্মিত। এই নিবন্ধে, আমরা সমীকরণটি প্রাথমিক থেকে উৎপন্ন করব এবং আমি প্রতিটি ধাপ দেখাব যতটা সম্ভব।

আকর্ষণীয়ভাবে, আমরা যে যুক্তি উপস্থাপন করব তা শ্রোডিঙার নিজের দ্বারা গৃহীত হয়েছিল, তাই আপনি একটি দৈত্যের সময়ে তার চিন্তার লাইন দেখতে পারবেন। একটি স্মরণকারী, এখানে সময়-নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ 3-মাত্রিক (অপরিবর্তিত কণার জন্য) তার সৌন্দর্যে:

কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান এবং তরঙ্গ

সবাই ক্লাসিক্যাল পদার্থবিজ্ঞানকে বাগ দিতে পছন্দ করে – কিন্তু এটি আমাদের খুব দীর্ঘ সময় ধরে খুব ভালভাবে সেবা করেছে (নিউটনীয় বলবিজ্ঞান, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ এবং বিশেষ আপেক্ষিকতা চিন্তা করুন)।

তবে, আমাদের পূর্ববর্তী নিবন্ধগুলি যেমন দেখায়, শতাব্দীর শুরুতে পরীক্ষাগারের ফলাফলগুলি তখনকার সময়ের জানা পদার্থবিজ্ঞানের তুলনায় খুব চমৎকার ছিল না। আমাদের ডাবল স্লিট পরীক্ষা এবং কিছু মাত্রায় ফোটোইলেকট্রিক প্রভাব সম্পর্কিত নিবন্ধগুলি পরীক্ষাগারের ফলাফলগুলি যা তখনকার সময়ের জানা বোধগম্যতার সাথে মেলে না।

কিন্তু কেন? সহজভাবে বলতে গেলে, শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানে দুটি প্রতিষ্ঠান রয়েছে, কণা এবং তরঙ্গ। এই দুটি প্রতিষ্ঠানের বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ বর্ণনা করা যায়:

কণা: শক্তি এবং ভরবেগের স্থানীয় বান্ডেল যার ভর $m$ ।

তরঙ্গ: স্থানে ছড়িয়ে থাকা বিক্ষোভ যা সময়ের সাথে ভ্রমণ করে। তারা একটি তরঙ্গ ফাংশন $\psi(\vec{r}, t)$ দ্বারা বর্ণনা করা হয় যা স্থান এবং সময়ে তরঙ্গকে বর্ণনা করে।

এটি আমাদের নিয়ে আসে ফোটোইলেকট্রিক উৎপাদন নিবন্ধে পাওয়া অবাক করা ফলাফলগুলির দিকে। আমরা দেখেছি যে ইলেকট্রন এই দুটি বৈশিষ্ট্যই প্রদর্শন করে। এটি তখনকার সময়ের জানা বোধগম্যতাকে সম্পূর্ণ বিরোধী করে, কারণ দুটি প্রতিষ্ঠান পরস্পর বর্জনশীল বিবেচিত হত।

অবাক করা ঠিক? এই সময়ে, পদার্থবিজ্ঞানের কিছু খুব প্রভাবশালী ব্যক্তি বুঝতে শুরু করেছিলেন যে জ্ঞানে একটি ফাঁক রয়েছে, এবং লুই ডি ব্রোগ্লি একটি কণার জন্য একটি ভরবেগ (কণার জন্য) এবং একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য (তরঙ্গের জন্য) যুক্ত করার মাধ্যমে একটি বড় প্রবর্তন হয়েছিল, যা দ্বারা দেওয়া হয়

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

আরও, ফোটোইলেকট্রিক উৎপাদন থেকে আমরা জানি যে ফোটন (এখনও অস্পষ্ট যে এটি কণা নাকি তরঙ্গ) এর শক্তি বিশ্লেষণ ও উৎপাদন হয়, যার শক্তি দেওয়া হয়

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

যেখানে $\hbar = h/2\pi$ এবং $\omega=2\pi f$ . আমরা এখন সেই একই মাধ্যমে যেখানে শ্রোডিঙার তাঁর বিখ্যাত সমীকরণ বের করতে চেষ্টা করছিলেন। কিন্তু আমরা কোথা থেকে শুরু করব? আমরা জানি যে ইলেকট্রন এবং ফোটন তরঙ্গ-জাতীয় এবং কণা-জাতীয় আচরণ প্রদর্শন করছে। সব তরঙ্গ মেনে চলা একটি সার্বজনীন সমীকরণ দিয়ে শুরু করায় কোনো ভুল হবে না, এবং তারপরে কণা পদার্থবিজ্ঞান যোগ করে দেখা যাক কোনো ফলাফল আসে কিনা।

তরঙ্গ সমীকরণ বের করার পদ্ধতি

বিক্ষোভ $\psi(\vec{r}, t)$ তরঙ্গ সমীকরণ মেনে চলে। মনে রাখবেন, ইলেকট্রন তরঙ্গ-জাতীয় আচরণ প্রদর্শন করে এবং তাতে ইলেকট্রোম্যাগনেটিক চার্জ রয়েছে। তাই, এখন আমরা শুধুমাত্র ইলেকট্রোম্যাগনেটিক ক্ষেত্রে লক্ষ্য দিব। এই পরিস্থিতিতে, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ প্রযোজ্য এবং এখানে তারা সম্পূর্ণ সৌন্দর্যে প্রকাশিত:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

যেখানে $c$ হল শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ, $\vec{E}$ হল তড়িৎক্ষেত্র এবং $\vec{B}$ হল চৌম্বকীয় ক্ষেত্র। উপরের প্রথম সমীকরণটি তড়িৎ জেনারেটর, ইনডাক্টর এবং ট্রান্সফরমারের ভিত্তি এবং ফারাডের সূত্রের প্রকাশ।

এছাড়াও, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ থেকে একটি অর্থ হল কোন চৌম্বকীয় মোনোপোল বিদ্যমান নেই। এই সমীকরণগুলির উৎপত্তি এবং তাদের পশ্চাতে প্রকৃত অর্থ বুঝতে একজন প্রকৌশলীর জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এখন, আসুন সমীকরণ ৪-এ কার্ল প্রয়োগ করে যে কোন তড়িচ্চুম্বকীয় তরঙ্গ অনুসরণ করা উচিত:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

এখন আমরা একটি খুব পরিচিত (এবং সহজে প্রমাণযোগ্য) ভেক্টর অভেদ ব্যবহার করতে পারি: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ যেখানে $T$ হল কোন প্রতিস্থাপন ভেক্টর। আমাদের ছোট সমীকরণে এটি প্রয়োগ করলে:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

আমরা এখানে পেয়েছি ৩-মাত্রিক ইলেকট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গ সমীকরণ। এই সমীকরণ শুধুমাত্র ইলেকট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গেই প্রকাশ পায় না - বরং এটি অ্যাকোস্টিক্স, ভূমিকম্প তরঙ্গ, শব্দ তরঙ্গ, জল তরঙ্গ এবং তরল গতিবিজ্ঞানেও প্রকাশ পায়।

শ্রোডিঙার সমীকরণ উদ্ধার করার পদ্ধতি

তরঙ্গ সমীকরণের প্লেন তরঙ্গ সমাধান

১-মাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণ থেকে শুরু করা (পরে এটি ৩-মাত্রিক হিসাবে সহজেই সাধারণীকরণ করা যায় কারণ যুক্তি সমস্ত মাত্রায় প্রযোজ্য হবে) $x, y$ , এবং $z$ মাত্রায়):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

এটি আসলে একটি দ্বিতীয়-ক্রম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং এটি প্লেন তরঙ্গ সমাধান দ্বারা সন্তুষ্ট হয়:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

আমরা সাধারণ তরঙ্গ বলবিদ্যা থেকে জানি যে $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ এবং $\omega = 2 \pi f$ । এখন, আইনস্টাইন ও কম্পটনের কাজ ব্যবহার করে আমরা প্রতিস্থাপন করি যে ফোটনের শক্তি হল $\mathsf{E} = \hbar \omega$ এবং ডি-ব্রোগ্লি থেকে আমরা জানি যে $p = h / \lambda = \hbar k$ । আমরা আরও আমাদের সমতল তরঙ্গ সমাধানটি পরিবর্তন করতে পারি:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

এটি একটি ফোটনকে বর্ণনা করে এমন সমতল তরঙ্গ সমীকরণ। আসুন এই সমীকরণটিকে আমাদের তরঙ্গ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং দেখি আমরা কী পাই!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

অন্য কথায়, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ যা অত্যন্ত ভালো কারণ আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতা থেকে জানি যে, একটি আপেক্ষিক কণার মোট শক্তি যার ভর $m$ হল:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

এবং আমরা এখনও পর্যন্ত ফোটনের সাথে কাজ করছি যার ভর নেই $(m=0)$ ! তাই আমাদের বোঝার সীমা বিস্তার করা উচিত এবং ভরযুক্ত কণার (উদাহরণস্বরূপ ইলেকট্রন) জন্য মোট আপেক্ষিক শক্তি প্রয়োগ করা উচিত এবং আমাদের সমীকরণের নাম পরিবর্তন করা উচিত $\Psi$ কারণ আমরা বলার।

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

এখন এই সমীকরণটি ফোটনের জন্য প্লেন তরঙ্গ সমীকরণ প্রতিস্থাপন করে তরঙ্গ সমীকরণে পাওয়া গেছে। তবে, যেহেতু আমরা এখন ভরযুক্ত কণার জন্য মোট আপেক্ষিক শক্তি সমাধান করতে চাই, তাই আমাদের তরঙ্গ সমীকরণটি একটু পরিবর্তন করতে হবে। এটি কারণ, তরঙ্গ সমীকরণ আমাদের নতুন $\Psi$ যা কণা এবং তরঙ্গ বর্ণনা করে, এর জন্য সম্পূর্ণভাবে প্রযোজ্য না। এখন আমরা একটি অপারেটর ব্যাকসলভ করতে পারি যা উপরের সমীকরণটি দেয়, এবং এটি হল:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

তরঙ্গ সমীকরণে ভরবিশিষ্ট কণার জন্য সমাধান

আমরা এখন প্রতিটি ভরবিশিষ্ট এবং ভরবিশিষ্ট কণার জন্য আমরা বর্ণিত সম্পূর্ণ শক্তির উপর কিছু আনুমানিক মান প্রয়োগ করতে চাই $\mathsf{E}$ । আসুন সূত্রটিকে একটু পুনর্বিন্যাস করি যাতে আমরা কিছু আনুমানিক মান ব্যবহার করতে পারি।

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

এই পরিবর্তনের পুরো উদ্দেশ্য হল সমীকরণটিকে $\sqrt{1 + x}$ আকারে প্রকাশ করা কারণ যদি আমরা এই সমীকরণের টেইলর সিরিজ প্রসারণ করি তাহলে আমরা পাই:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

যখন $x$ ছোট, তখন টেইলর বিস্তারে শুধুমাত্র $O(1)$ পদটি থাকে। আমাদের শক্তি সূত্রে, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ । আমরা এই তথ্যটি ব্যবহার করতে পারি যে $p = mv \ll mc$ যা আলোর গতিতে চলা নয় (আপনি যদি এমন কিছু খুঁজে পান তাহলে আমাকে খুঁজে পাওয়া যাবে)! তাই এই পদটি আসলে হয়:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

যেখানে

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

এটি হচ্ছে উচ্চ বিদ্যালয়ের পদার্থবিজ্ঞান থেকে আমরা দেখা করেছি সাধারণ গতিশক্তি। এখন আগের তরঙ্গ ফাংশনে ফিরে আসি, আসুন এই নতুন তথ্যটি ইনপুট করে দেখি আমরা কী পাই:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

আমরা এখন দুটি পদকে আলাদা করার কারণটি হল যে, প্রথম পদ $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (আবারও আলোর গতিবেগের উপর ভিত্তি করে) দ্বিতীয় পদের তুলনায় অনেক বেশি স্পন্দনশীল হবে এবং এটি আমরা যে কণা-তরঙ্গ প্রতিষ্ঠানের পিছনে আছি তা বর্ণনা করে না। তাই এই পার্থক্যটি স্থিতিশীল করার জন্য, আসুন এখন নির্ধারণ করি:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

এখানে আমরা এখন সংজ্ঞায়িত করেছি:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

এখন $\Psi(\vec{r},t)$ এর প্রথম ও দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজ নিই এবং দেখি আমরা কী পাই। প্রথম:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

এবং দ্বিতীয়:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

আমরা মনে রাখতে হবে যে, দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজ সহ শেষ পদটি খুব ছোট, কারণ এটি নেই $c^2$ পদটি মাত্রার ক্রম বহন করছে, এবং তাই আনুমানিকভাবে, প্রকৃত দ্বিতীয় অন্তরজটি নিম্নরূপ:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

আমরা এই দুইটি আংশিক অন্তরজ নিয়েছি এমন একটি চালাক কারণ ছিল যাতে আমরা এগুলি আগের এই সমীকরণে বিশ্লেষণ করতে পারি:

কিন্তু আমরা তা করার আগে, আসুন এই সূত্রটি পুনর্বিন্যাস করি এবং আমরা একটি সমীকরণ পাব যাকে ক্লাইন-গর্ডন সমীকরণ বলা হয়:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

এখন আমরা সহজেই এই সমীকরণটিকে 3-মাত্রিকে পরিণত করতে পারি এটিকে একটি ভেক্টর সমীকরণে রূপান্তর করে (সমস্ত ধাপগুলি যা আমরা এই সূত্রটি বের করার জন্য অনুসরণ করেছি, তা সব $x,y$ , এবং $z$ এর জন্য প্রযোজ্য হবে।)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

এই সমীকরণটি একটি মুক্ত কণার জন্য ক্লাইন-গর্ডন সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। এই সমীকরণটি আপেক্ষিক কারণ এর শক্তি পদটি আমরা ছোট $\sqrt{1+x}$ টেইলর বিস্তারের সাথে যে ধারণাগুলি করেছিলাম, তা ধরে নেয় না।

এখন, আমরা ক্লাইন-গর্ডন সমীকরণটি সরলীকরণ করি (আবার 1-মাত্রিকে ফিরে আসি এবং আমাদের নতুন শক্তি সূত্র প্রয়োগ করি) এবং আমরা দীর্ঘ প্রতীক্ষিত শ্রোডিঙার সমীকরণে পৌঁছাব:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

আমরা আমাদের নতুন তরঙ্গ ফাংশন $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, যেখানে আমরা জানি সময়ের সাপেক্ষে প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরজ কী রকম দেখতে:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

এখন আমাদের করতে হবে শুধুমাত্র একটি সহজ পুনর্বিন্যাস করা যাতে তিন মাত্রায় স্ক্রোডিঙার সমীকরণ পাওয়া যায় (লক্ষ্য করুন যে $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

যেখানে বিষয়টি লক্ষ্য করা যেতে পারে যে শ্রেণিগত হ্যামিল্টনিয়ানের সাথে সাদৃশ্যের উপর ভিত্তি করে সমীকরণের ডানদিকের পদটি তরঙ্গ ফাংশনের মোট শক্তির বর্ণনা দেয়।

আমাদের উত্পাদনে, আমরা ধরে নিয়েছি যে $V(\vec{r},t)$ 0 এবং শুধুমাত্র গতিশক্তি বিবেচনা করা হয়েছে। আমরা জানি যে পটেনশিয়াল এর স্পেসিয়াল পরিবর্তনগুলির সাথে বিশুদ্ধভাবে যোগাত্মক এবং তাই, পটেনশিয়াল সহ তিন মাত্রায় সম্পূর্ণ স্ক্রোডিঙার সমীকরণ নিম্নরূপ:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

এটা ছিল! এখানে আমরা তিন মাত্রায় অপরিবর্তিত কণার জন্য সম্পূর্ণ স্ক্রোডিঙার সমীকরণ উত্পাদন করেছি। যদি আপনি এই পোস্টটি পছন্দ করেছেন এবং এর মতো আরও দেখতে চান, তাহলে আমাদের ইমেল করুন যাতে আমরা জানতে পারি।

উদ্ধৃতি

Gasiorowicz, S. (2019). কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). শ্রোডিঙার সমীকরণ উপস্থাপনের পদ্ধতি. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের মূলনীতি. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

লেখককে টিপ দিন এবং উৎসাহ দিন

থিম:

ফিজিক্স নিবন্ধ

কোয়ান্টাম তত্ত্ব

বিশেষজ্ঞদের সম্পর্কে

Electrical4u

China