Рівняння хвиль Шредінгера: Виведення та Пояснення

Electrical4u

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке рівняння Шредінгера?

Рівняння Шредінгера (також відоме як хвильове рівняння Шредінгера) є диференціальним рівнянням з частинними похідними, яке описує динаміку квантових механічних систем через хвильову функцію. Траєкторія, положення та енергія цих систем можуть бути отримані шляхом розв'язання рівняння Шредінгера.

Усі дані про субатомну частинку закодовані в хвильовій функції. Хвильова функція задовольняє і може бути розв'язана за допомогою рівняння Шредінгера. Рівняння Шредінгера є одним з основних аксіом, які вводяться у курсах фізики для студентів. Воно також все частіше зустрічається у програмах електротехніки університетів, оскільки воно застосовується до полупровідників.

На жаль, в обох випадках воно лише формулюється як постулат і ніколи не виводиться в значущий спосіб. Це дуже невдоволіває, оскільки майже все інше, що викладається у курсах квантової фізики для студентів, базується на цьому підґрунтті. У цій статті ми виведемо рівняння з нуля, і я зроблю все можливе, щоб показати кожен зроблений крок.

Цікаво, аргументи, які ми будемо використовувати, ті самі, що і Шредінгер сам, тому ви можете побачити лінії міркувань великого вченого. Як нагадування, ось часовозалежне рівняння Шредінгера в трьох вимірах (для нерелятивістської частинки) у всій своїй красі:

Квантовая фізика та хвилі

Всім подобається критикувати класичну фізику – але вона добре служила нам довгий час (думайте про механіку Ньютона, рівняння Максвелла та спеціальну теорію відносності).

Однак, як показано в наших попередніх статтях, експериментальні результати на початку століття не були особливо вражаючими, коли їх порівнювали з відомою фізикою того часу. Наші статті про експеримент з подвійною щілиною та до певної міри фотоелектричний ефект — це експериментальні результати, які не добре відповідали відомому розумінню того часу.

Але чому? Коротко кажучи, у класичній фізиці існують дві сутності, частинки та хвилі. Основні характеристики обох цих сутностей можна описати так:

Частинки: локалізовані пакети енергії та імпульсу з масою $m$ .

Хвилі: збурення, розподілені в просторі та рухаються з часом. Вони можуть бути описані хвильовою функцією $\psi(\vec{r}, t)$ що описує хвилю в просторі та часі.

Це приводить нас до надзвичайних результатів, знайдених в нашій статті про Фотоелектронне виділення. Ми з'ясували, що електрон демонструє обидві ці властивості. Це повністю суперечить відомому розумінню того часу, оскільки обидві сутності вважались взаємно виключними.

Неймовірно, правда? Проте саме в цей час деякі дуже впливові фігури в фізиці почали зрозуміляти, що існує прогалина в знаннях, і великий прорив стався, коли Луї де Бройль пов'язав імпульс (для частинки) з хвильовою довжиною (для хвиль), яка визначається формулою

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Також, з Фотоелектронного випромінювання ми знаємо, що поглинання та випромінювання фотонів (все ще невизначено, чи це частинки, чи хвилі) мають енергію, яка визначається за формулою

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

де $\hbar = h/2\pi$ і $\omega=2\pi f$ . Ми зараз на тому самому етапі, на якому був Шредінгер перед початком виводу його знаменитого рівняння. Але з чого починаємо? Ми знаємо, що електрони та фотони демонструють хвильову та частинкову поведінку. Нічого не буде неправильного, якщо ми почнемо з універсального рівняння, яке всі хвилі повинні дотримуватися, а потім введемо фізику частинок, щоб побачити, чи буде результат.

Як вивести хвильове рівняння

Збурення $\psi(\vec{r}, t)$ задовольняє хвильове рівняння. Пам'ятайте, електрон демонструє хвильову поведінку та має електромагнітний заряд. Тому, поки що, давайте просто подивимось на електромагнітні поля. У цьому сценарії застосовуються рівняння Максвелла, і ось вони у всій своїй красі:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Де $c$ — це швидкість світла в пустоті, $\vec{E}$ — електричне поле, а $\vec{B}$ — магнітне поле. Перше рівняння вище є основою для електрогенераторів, індукторів та трансформаторів і є реалізацією закону Фарадея.

Також, одна з наслідків $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ полягає в тому, що не існує магнітних монополів. Розуміння походження цих рівнянь та фізичного значення, що за ними стоїть, робить інженера повноцінним. Тепер, давайте отримаємо рівняння, якому повинна підлягати будь-яка електромагнітна хвиля, застосувавши курл до рівняння 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Тепер ми можемо скористатися дуже знайомою (і легко доведеною) векторною тотожністю: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ , де $T$ — це деякий вектор-заповнювач. Застосовуючи це до нашого рівняння:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Результат, який ми маємо тут, це рівняння електромагнітної хвилі в трьох вимірах. Це рівняння проявляється не лише в електромагнітних хвилях, але й у акустиці, сейсмічних хвилях, звукових хвилях, водних хвилях та гідродинаміці.

Як отримати рівняння Шредінгера

Плоскі хвильові розв'язки для хвильового рівняння

Починаючи з хвильового рівняння для одновимірного простору (загалом, легко узагальнити на три виміри, оскільки логіка буде застосовуватися в усіх $x, y$ , і $z$ вимірах.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Це, насправді, диференціальне рівняння другого порядку, яке задовольняє плоскі хвильові розв'язки:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (перевірте це самостійно!). } \end{equation*}$

Звичайна хвильова механіка вказує, що $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ і $\omega = 2 \pi f$ . Тепер, скористаємося роботою Ейнштейна та Комптона і підставимо факт, що енергія фотону визначається як $\mathsf{E} = \hbar \omega$ , а згідно з де-Бройлем, $p = h / \lambda = \hbar k$ . Ми можемо подальше перетворити наш рівняння для плоскої хвилі на:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Це рівняння плоскої хвилі, яке описує фотон. Давайте підставимо це рівняння у наш хвильовий рівняння і побачимо, що ми отримаємо!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Іншими словами, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ що є чудово, бо ми знаємо зі спеціальної теорії відносності, що повна енергія для релятивістської частинки з масою $m$ така:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Досі ми мали справу лише з фотоном, який не має маси $(m=0)$ ! Тож розширимо наше розуміння та застосуємо повну релятивістську енергію для частинки з масою (наприклад, електрона) і змінимо назву нашого рівняння на $\Psi$ , бо ми круті.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Тепер це рівняння було отримане безпосередньо підстановкою плоскої хвильової функції для фотона у хвильове рівняння. Однак, оскільки тепер ми хочемо, щоб енергія задовольняла повну релятивістську енергію для частинки з масою, нам потрібно трохи змінити хвильове рівняння. Це тому, що хвильове рівняння не повинно повністю застосовуватися до нашого нового $\Psi$ , яке описує частинки та хвилі. Тепер ми можемо виконати зворотне розв’язання для оператора, щоб отримати наведене вище рівняння, і воно задається таким чином:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Розв'язання рівняння хвилі для частинок з масою

Тепер ми хочемо зробити кілька наближень до повної енергії, яку ми описали за допомогою $\mathsf{E}$ для частинки з імпульсом та масою. Давайте трохи переставимо формулу, щоб ми могли використовувати деякі наближення.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Основна мета цього перетворення — отримати рівняння у формі $\sqrt{1 + x}$ тому, що якщо ми розкладемо це рівняння в ряд Тейлора, то отримаємо:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Коли $x$ невеликий, у розкладі Тейлора залишається лише $O(1)$ член. У нашій формулі енергії, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Ми можемо скористатися тим, що $p = mv \ll mc$ для будь-чого, що не рухається зі швидкістю світла (будь ласка, знайдіть мене, якщо ви знайдете щось, що не задовольняє це)! Отже, цей член насправді зводиться до:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

де

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

це звичайна кінетична енергія, яку ми бачимо зі школи. Тепер повернемося до хвильової функції, давайте тепер введемо цю нову інформацію і подивимося, що ми отримаємо:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Причина, чому ми тепер розрізнили ці два терміни, полягає в тому, що перший термін $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (знову ж таки, на основі швидкості світла) буде значно більш осцилюваним, ніж другий термін, і не обов'язково описує частинку-хвильову сутність, яку ми шукаємо. Тож, щоб закріпити цю відмінність, давайте тепер установимо, що:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Тепер ми визначили:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Тепер давайте знайдемо першу та другу часткові похідні від $\Psi(\vec{r},t)$ і подивимось, що ми отримаємо. Перша:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

а друга:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Ми повинні пам'ятати, що останній член з другою частковою похідною дуже малий через те, що немає $c^2$ члена, який має порядок величини, і тому наближено, фактична друга похідна визначається так:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Хитрий мотив, чому ми взяли ці дві часткові похідні, полягав у тому, щоб ми могли внести їх до цього рівняння, яке описує хвильову функцію раніше:

Але перед тим, як ми зможемо це зробити, давайте переставимо цю формулу, і ми отримаємо рівняння, яке називається рівнянням Клейна-Гордона:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Тепер ми можемо легко узагальнити це на три виміри, перетворивши це рівняння на векторне (всі кроки, які ми зробили для отримання цієї формули, будуть застосовуватися для всіх $x,y$ , і $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Це рівняння відоме як рівняння Клейна-Ґордона для вільної частинки. Це рівняння є релятивістським, оскільки його енергетичний член не робить припущення, які ми зробили з маленьким $\sqrt{1+x}$ розкладом Тейлора.

Тепер спростимо рівняння Клейна-Ґордона (повертаючись до одновимірного випадку та застосовуючи нашу нову формулу енергії) і ми дійдемо до довгоочікуваного рівняння Шредінгера:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Давайте підставимо нашу нову хвильову функцію, задану $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ , де ми знаємо, як виглядають перша та друга похідні відносно часу:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Зараз нам потрібно просто переставити, щоб отримати рівняння Шредінгера у трьох вимірах (зверніть увагу, що $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Тут можна зробити висновок, враховуючи схожість класичного гамільтоніана, що термін справа в рівнянні описує повну енергію хвильової функції.

У нашому похідному ми припустили, що $V(\vec{r},t)$ дорівнює 0 і враховувалася лише кінетична енергія. Ми знаємо, що потенціал є чисто адитивним відносно його просторових варіацій, тому повне рівняння Шредінгера у трьох вимірах з потенціалом має вигляд:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Ось і все! Ми отримали повне рівняння Шредінгера для нерелятивістської частинки у трьох вимірах. Якщо вам сподобалася ця стаття і ви б хотіли побачити більше подібних, будь ласка, надішліть нам листа, щоб повідомити про це.

Посилання

Gasiorowicz, S. (2019). Квантова фізика. 2-ге вид. Канада: Hamilton Printing, с.1-50.
Griffiths, D. (2019). Квантова фізика. 3-тє вид. Університетська друкарня, Кембридж: Cambridge University Press.
Ward, D. та Volkmer, S. (2019). Як вивести рівняння Шредінгера. [онлайн] arXiv.org. Доступно за посиланням: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Останній доступ 29 травня 2019 року].
Shankar, R. (1980).Принципи квантової механіки. 1-ше вид. Нью-Йорк: Springer Science, с.1-40.

Заява: Поважайте оригінал, якісні статті варті поширення, якщо є порушення авторських прав, будь ласка, зв'яжіться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Статті з фізики

Квантовая теория

Про експертів

Electrical4u

China