Schrödingeren Onden Ekuazioa: Deribazioa & Azalpena

Electrical4u

Eremua: Elektrizitate Oinarrizko

China

Zer da Schrödinger ekuazioa?

Schrödinger ekuazioa (edo Schrödingeren hondamena ekuazioa) deritzon aldagai anitzeko ekuazio diferentzial bat da, non kuantiko mekanikoaren sistema dinamikak hondamen funtzioaren bidez deskribatzen dira. Sistema horien bide-irudia, kokapena eta energia lortzeko, Schrödinger ekuazioa ebazteko da.

Azpitarteko partikuluen informazio guztiak hondamen funtzioan kodeatuta dago. Hondamen funtzioak bete eta Schrödinger ekuazioaren bidez ebazteko da. Schrödinger ekuazioa fisika unibertsitateko oinarriko axioma bat da. Elikagaitasun ingeniaritzako ikastaroetan ere, gaur egun, gehiago aurkitzen da, bere aplikazioa semikonduktoretan duela.

Oso gaizki, bi kasuetan ere, postulatu gisa bakarrik azaltzen da, inoiz eratorriz. Hau askotan desagertzailea da, fisika kuantiko unibertsitateko oinarrizko zerbaiten gainean eraiki baita. Artikulu honetan, ekuazioa jatorrizko estatutik hasita azalduko dugu, eta lan guztiak adieraziko ditut.

Hainbat interesgarria, egingo ditugun arrazoipenen berberak Schrödingerrek egindakoak izango dira, beraz, gizon handi baten moduan kontsideratzeko aukera emango dizu. Ondoren, hemen dago denbora-mendeko Schrödinger ekuazioa hiru dimentsiotan (partikulu ez-relativistikorako):

Kuantiko Fisika eta Hondamenduak

Guztiek fisika klasikoari ataka egiten diogu – baina askotan ondo zerbitzatu digu (Newtonen mekanika, Maxwellen ekuazioak eta erlatibitate espetsiala).

Hala ezarri dugun artikuluak erakusten duen bezala, mendebaldeko urteetako esperientziak oraindik ez ziren oso nabarmenak konparatzen direnean gaur egungo fisikan. bi hiriburuko esperientzia eta fotoelektrikoaren efektua, aldiz, ez ziren bat egiten gaur egungo ulertarekin.

Baina zergatik? Abantailaz esanda, fisika klasikoan bi entitate daude, partikulak eta ondoen. Bi entitate horien ezaugarriak honela deskribatu daitezke:

Partikulak: energia eta momentu motore lokalizatutako paketeak masera $m$ .

Ondoen: espazioan zabalduko diren perturbazioak denboran ibiltzen. Ekuazio batekin deskribatu daitezke $\psi(\vec{r}, t)$ espazio eta denboran.

Hona hemen Fotoelektrikoaren Emission artikuluan aurkitutako emaitzak. Elektroiak bi ezaugarri hauek dituela ikusi dugu. Honek gaur egungo ulertarekin oso kontrarikoa da, bi entitateak elkarrekiko mutu-esklusibokoak izan beharko zirela kontsideratzen ziren.

Iruditu zaio? Denbora horretan, fisikan funtsezko figura batzuk hasi ziren ulertzen ezagutzearen gabekeria zegoela, eta handia zitzaien aurrerapena Louis de Broglie partikulen momentu bati (ondoentzat) eta luzera-tartean (ondoentzat) lotzean:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Gainerako, Fotoelektriko Emisioatik dakigu fotonoen (partikula edo hondar gisa hartzea ez dago zehaztuta) energia ondorengo formula duela

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Non $\hbar = h/2\pi$ eta $\omega=2\pi f$ . Oraingoan Schrödingerren famatuaren ekuazioa lortzeko dauden puntuan gaude. Hona hemen hasteko norabide bat: elektroniek eta fotonoek hondarrezko eta partikularezko portaera dituzte. Hondar guztien jarraitzen duten ekuazio orokor batekin hasi beharko litzateke, eta gero partikula fisika sartuko litzateke emaitza ikusteko.

Hondar Ekuazioa nola lor daiteke

Perturbazioa $\psi(\vec{r}, t)$ hondar ekuazioari jarraitzen dio. Elektroen portaera hondarrezkoa da eta elektromagnetikoaren karga du. Beraz, orain arte, begirada elektromagnetikoaren eremuak bakarrik. Kasu honetan, Maxwellen ekuazioak aplikatzen dira eta hemen ditugu:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Non $c$ da luzaren abiadura bakoitzeko, $\vec{E}$ elektriko eremu bat da eta $\vec{B}$ magnetiko eremu bat da. Goian agertzen den lehenengo ekuazioak elektrogeneratzaileen, induktoreen eta transformagailuen oinarria da eta Faraday-en Legearen adierazpena da.

Gainera, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ekuaziotik ondorioztatzen da ez dagoela magnetiko monopolarrik. Ekuazio horien deribazioa ulertzeko eta haien esanahia fisikoa jakitea ingeniaritza osoa duten pertsona bat egiten du. Orain, ekuazio hau aplikatuz 4. ekuazioari:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Orain, identitate bektorial bat erabil dezakegu: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ non $T$ bektore bat baita. Orain, ekuazio txiki honetara aplikatuz:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Emaitza hau da elektromagnetikoaren ondo-irudikapen ekuazioa hiru dimentsiotan. Ekuazio hau ez da agertzen bakarrik elektromagnetikoaren ondotan – baizik eta akustikan, seismologian, soinu ondotan, ur ondotan eta fluido dinamikan ere.

Nola Deribatu Schrödinger Ekuazioa

Onen Ondoko Soluzioak Ondo-Irudi Ekuaziorako

Hasi garaiekin ondo-irudi ekuazioa bat dimentsioko (odenean erraza da generalizatzeko hiru dimentsiotara, logika berdina aplikatuko dela guztietan $x, y$ , eta $z$ dimentsiotan.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Hau, benetan, bigarren mailako deribatu partzialen ekuazio bat da, eta onen soluzioek betetzen dute:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (egiaztatu zure burua!). } \end{equation*}$

Jakin dugu ondoriozko mekanika normalaren arabera $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ eta $\omega = 2 \pi f$ . Orain, Einstein eta Comptonen lanak erabiliko ditugu eta fotonen energia honekin ordezkatuko dugu: $\mathsf{E} = \hbar \omega$ eta de-Broglie-ren arabera $p = h / \lambda = \hbar k$ . Ondorengo ebakiplanoaren soluzioa honela lor dezakegu:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Hau da fotona bat deskribatzen duen ebakiplanoaren ekuazioa. Jarraituz, ekuazio hau ondorengo ekuazioan ordezkatuko dugu ikusita zer lortzen dugun!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Bestalde, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ hain handia da, zeren espesial erlatibitatearen arabera ezaugarri partikularrak dituen masiun batentzako energia osoa:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Eta orain arte fotona soilik tratatu duguna, eta fotonek ez dute masiunik $(m=0)$ ! Beraz, ulertzeko eremua zabaltzeko, eta masa duen partikularentzako (adibidez, elektron) energia erlatibista totala aplikatzeko, ekuazioaren izena aldatuko dugu honela: $\Psi$ , zeren gure jokoa horrela baita.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Orain, ekuazio hau plana-onda ekuazioa fotono bati sustituiz ondorengo onda ekuazioan lortzen da. Hala ere, orain energia oso erlatibista masa duen partikularentzako kalkulatu nahi dugunean, onda ekuazioa aldaketarik behar ditugu. Honek adierazten du onda ekuazioak ez duela osorik aplikatzen gure berriro definitutako $\Psi$ , partikulen eta onden deskribapena. Orain operadore bat atzerantz kalkulatu dezakegu goiko ekuazioa lortzeko, eta hau da:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Partikulak masa duen ondabide ekuazioan ebaztearen soluzioa

Orain, partikulu baten momentu eta masarekin $\mathsf{E}$ justifikatutako energia osoan hainbat hurbilketa egin nahi ditugu. Formula batetik hasi gara, hurbilketa asko erabiliko ditugun moduan.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Manipulazio honek helburu du ekuazioa $\sqrt{1 + x}$ itxura honetan jartzeko, Taylor Seriearen luzapena hartzen badugu, hau lortuko dugu:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kanpo $x$ txiki denean, Taylorren luzapeneko gorbeharrez gertatzen den zati bakarra da $O(1)$ terminoa. Energia formularian, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Ahalbidetik, $p = mv \ll mc$ argiaren abiadura handitan doazen objektuetan soilik betetzen da (mesedez, aurkitu ez baduzu hainbat zerbait horrelako)! Beraz, termino hau berreduzio honetara heltzen da:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Non

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Energia kineko arrunt bat da ikastetxe nagusiko fisikan ikusten duguna. Orain, aurreko funtzio oinarrizkoari itzultzeko, jarraituz informazio berri hau sartuko dugu eta zer lortzen dugun ikusiko dugu:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ezergaitik bi terminoak bereizteko arrazoia da lehengo terminoa $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (argi abiadura berriro oinarrituta) bigarren terminoa baino askoz oszilazio handiagoak izango dituela eta ez du partikula-ondaren egonkortasuna deskribatzen hain zuzen. Beraz, desberdintasun hau erregulatzeko, orain ondorengo adierazpena ezartzen dugu:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Non orain honela definitu dugun:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Orain $\Psi(\vec{r},t)$ -ren lehen eta bigarren deribatu partzialak hartuko ditugu eta ikusiko dugu emaitza zein da. Lehenengoa:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

eta bigarrena:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Gogoratu behar dugu azken terminoak bigarren deribatu partziala oso txikia dela, hainbat c^2 termino ez dagoelako orden handiko batean, eta beraz, hurbilketa baten bidez, egiazko bigarren deribatua hau da:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Bi deribatu partzial hauek hartu genuen arrazoia askatuta zen, horiei erabili ahal izateko aurreko ekuazio honetan, ondorengo moduan:

Baina hori egin aurretik, formul hau antolatu dezagun, eta Klein-Gordon ekuazioa deitzen den ekuazio batera heltuko gara:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Orain honen ekuazioa erraz hiru dimentsioko bihurtu dezakegu bektore ekuazio batean bihurtuz (ekuazio hau lortzeko erdigaitasun guztiak aplikatzen dira $x,y$ eta $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ekuazio hau partikulu aske baten ekuazio Klein-Gordon da. Ekuazio hau erlatibista da, bere energia terminoa ez duela hartzen ondoren egin ditugun Tayloraren garapenean egindako hipotesia.

Orain, ekuazio Klein-Gordon hau sinplifikatzeko (itzultzean 1-Dra eta gure energia formula berria aplikatuz) Schrödingerren ekuazioa loriko dugu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Jarraituz, ekuazio hauetan datozko funtzio uhinekin jarriko dugu: $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ non jakin dugu denbora-ren biderkatzaileen lehen eta bigarren deribatuak zein diren:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Orain beharrezkoa da errazki antolatzeko Schrödinger ekuazioa hiru dimentsiotan lortzeko (kontuan hartu $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Ekuazioaren eskuineko aldeko terminoak ondorengo arrazoioekin frogatzen da osoenergiaren deskribapena izatea.

Deribazioan $V(\vec{r},t)$ 0 dela suposatu dugu eta bakarrik energia kinetikoa kontuan hartu da. Gizakiok ezagutzen dugun moduan, potentziala espazioaren aldaketarekin batukorra da, beraz, potentzialarekin Schrödinger ekuazio osoa hiru dimentsiotan honako hau da:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Hona hemen! Hemen dago eredu osoa non-relativistikoko partikuluei dagokion hiru dimentsiotan. Artikulu hau gustatu baduzu eta gehiago nahi badituzu, mesedez, email bat bidali gureari jakinarazi nahi duzun.

Erreferentziak

Gasiorowicz, S. (2019). Quantum Physics. 2nd ed. Kanada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantum Physics. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. eta Volkmer, S. (2019). How to Derive the Schrodinger Equation. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Esaldi: Mintzatu jatorrizkoa, oheinarteko artikuluak partekatzeko digokizun, bertanbariune batzuekin kontaktu ezabatzeko.

Ordaintza ematea eta egilea bermatzea

Gaiak:

Artikulu Fisikariak

Kuantu Teoria

Aditu espezialistak buruz

Electrical4u

China

Eskerrik eremintza

Basic Electrical

Artikulu profesionala

607