Schrödinger-jafnan fyrir bæðingar: Afleiðsla & skýring

Electrical4u

Svæði: Grunnar af elektrú

China

Hvað er Schrödinger-jafnan?

Schrödinger-jafnan (ekki sjaldan nefnd bölujafnan til Schrödingers) er hlutafleiðujafna sem lýsir hreyfingu kvantmeðalgrunda með bólufallinu. Hreyfing, staðsetning og orka þessara kerfa geta verið fenguð með lausn á Schrödinger-jöfnunni.

Allar upplýsingar um undraetthlutar eru dæmdar inn í bólufalli. Bólufallið uppfyllir og gæti verið laust með Schrödinger-jöfnunni. Schrödinger-jafnan er eitt af grundvallarreglum sem kynnt er í undrakvantafræði. Þar sem hún hefur viðbótar notkun í rafmagnsverkfræði háskóla vegna hennar tengsl við undurafhendingar.

Því miður, er hún aðeins framkvæmd sem grunnregla í báðum tilvikum og aldrei útleiðin nánar. Þetta er ekki án svars, þar sem næst allt annað sem kennt er í undrakvantafræði byggist á þessari grunnjöfnu. Í þessu greinum munum við leiða jöfnuna frá grunni og ég mun reyna að sýna hverja skref sem taka er.

Að skemmtileika, eru röknumar sem við munum taka sömu sem Schrödinger sjálfur tók svo þú getur séð hugmyndalínan stórverks í tímann hans. Til minningar, hér er tímaþróunarsamhengis Schrödinger-jafnan í þremur víddum (fyrir órelativistiskt partícul) í öllu sín glæði:

Kvantameðalfræði og bölur

Allir elska að mæla við klassískri eðlisfræði – en hún tók okkur vel að nokkrum tíma (þinkja á Newton-samhengi, Maxwell-jöfnur, og sérstök samhengi).

Hinsíðan eins og sýnt er í okkar fyrri greinum voru rannsóknarúrslit einingarinnar á skiptingunni milli öldanna ekki allt svona flott þegar sameinað með þekktri eðlisfræði á þeim tíma. Greinar okkar um tvöfjölurit og á einhverju vegg til ljósnámsvirkni eru rannsóknarúrslit sem passuðu ekki vel saman við þekkta skilninginn á þeim tíma.

En af hverju? Til að setja það einfaldlega, í klassískri eðlisfræði finnast tvær einingar, partiklar og bölur. Eiginleikar bæði þessara eininga má lýsa svo:

Partiklar: staðfestir pakkar af orku og hreyfingarmagni með massa $m$ .

Bölur: störf spreiðar yfir pláss ferandi yfir tíma. Þær má lýsa með bölufallinu $\psi(\vec{r}, t)$ sem lýsir bölunni yfir pláss og tíma.

Þetta leiðir okkur til óvænta niðurstöðunnar sem fundin voru í okkar ljóseldasendingu. Við fundum að elektrónin sýndu bæði þessa eiginleika. Þetta mótsvarar fullkomlega ekki þekktu skilningnum á þeim tíma þar sem tvær einingarnar voru telnar ósamhengjandi.

Ótrofa rétt? Um þennan tíma byrjuðu nokkrir mikilvægar persónur í eðlisfræði að skilja að væri gápu í fræðslu, og stór áreiti kom þegar Louis de Broglie tengdi hreyfingarmagn (fyrir partiklu) við vönglengd (fyrir börul) sem gefin er af

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Einnig, frá Ljósleiðarútgáfa vitað er að orkaupgöf og ljósnám (ennþá óviss hvort partíkla eða bili) hafa orku sem gefin er með

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Þar sem $\hbar = h/2\pi$ og $\omega=2\pi f$ . Við erum nú á sama stigi sem Schrödinger var á áður en hann leiddi fram sínar afmarkaðra jöfnu. En hvar byrjum við? Vel, við vitum að elektrón og ljósnám sýna bili- og partíklaferð. Það væri ekki rangt að byrja með almennt skilgreindu jöfnu sem allar bilir ættu að fylgja og svo koma við partíkulafærslu til að sjá hvort það sé niðurstaða.

Hvernig á að leiða út Bili-jöfnuna

Störðun $\psi(\vec{r}, t)$ fylgir bilijöfnunni. Munið, elektrón sýna bili ferð og hefur elektromagnetiskan hleypu. Því miður, skoðum við nú elektromagnética svæði. Í þessu tilfelli gilda Maxwell-jöfnurnar og hér eru þær í öllu dýrðarskinu:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Þar sem $c$ er hraði ljóss í tökunni, $\vec{E}$ er rafmagnsfaltið og $\vec{B}$ er magnafaltið. Fyrsta jafnan að ofan er grunnur fyrir rafmagnsgjöfnar, indúktorar og umhverfisgerðir og er verkleg mynd af Faraday's lögum.

Ein af afleiðingunum úr $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ er að engir magnamónópólir eru til. Að skilja afleiðslu þessara jafna og stefnuna á þeim gerir verulega fullkomna verktaki. Nú skulum við leiða jöfnu sem allar elektromagneticskjar þurfa að fylgja með því að nota snúning á jöfnu 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Nú getum við notið mjög vinsælda (og auðveld beitt) vigurröð: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ þar sem $T$ er einhver staðgengill vigur. Við notum nú þessa jöfnu:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Niðurstöðan sem við höfum hér er ljósafalla-jöfnan í þrjúm víddum. Þessi jafna birtist ekki aðeins í ljósaflum – heldur hefur hún einnig komið fram í hljóðfræði, jarðskjálftaflóðum, hljóðflóðum, vatnsflóðum og flæðisfræði.

Hvernig á að leiðra Schrödinger-jöfnuna

Flugvegalausnir á fjölvegajöfnunni

Byrjum á fjölvegajöfnunni fyrir eina vídd (það er mjög auðvelt að alhæfa hana yfir á þrjár víddir eftir því að röksemdin gildir í öllum $x, y$ , og $z$ víddum.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Þetta er í raun andstæða hlutafleiðujafna og er uppfyllt með flugvegalausnum:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (athugaðu þetta sjálf!). } \end{equation*}$

Þar sem við vitum úr venjulegri bægileikameningu að $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ og $\omega = 2 \pi f$ . Nú skulum við nota verkefni Einstein og Compton og setja inn þann fakt að orkur af fótóni er gefin með $\mathsf{E} = \hbar \omega$ og eftir de-Broglie að $p = h / \lambda = \hbar k$ . Við getum svo breytt vissu lausn á planhvörf í:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Þetta er jafnan fyrir planhvörf sem lýsir fótón. Skulum setja þessa jöfnu inn í bægileikajöfnuna okkar og sjá hvað við fáum!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Með öðrum orðum, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ sem er gott vegna þess að við vitum frá sérstökri afstöðu að heildarorka fyrir relatívistískt partíkyl með massa $m$ er:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Og við höfum aðeins verið að vinna með ljóspartíkul, sem hefur engan massa $(m=0)$ ! Svo skulum við víðka okkar skilning og nota heildarrelatívistísku orku fyrir partíkyl með massa (sem til dæmis elektrón) og breyta nafni á jöfnunni í $\Psi$ vegna þess að við eruð kúl.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Þessi jafna kemur beint af því að setja plana bilið fyrir ljóspartíkul í bilið. En nú viljum við að orkan löse heildarrelatívistísku orku fyrir partíkyl með massa, svo við þurfum að breyta bilinu ein smá. Þetta er vegna þess að bilið ætti ekki að fullkomlega gilda fyrir nýja $\Psi$ sem lýsir partíkülum og bilum. Við getum nú bakreiknað virkja til að fá jöfnuna hér að ofan, og hann er gefinn með:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Lausn fyrir hlut með massa í bili

Við viljum nú gera nokkur nálganir á fullu orku sem við lýttum í $\mathsf{E}$ fyrir hlut með hreyfingarorku og massa. Látum okkur endurnefna formúluna smá til að geta notað nokkrar nálganir.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Mikilvægasta markmiðið með þessari umbreytingu er að fá jöfnuna á formi $\sqrt{1 + x}$ vegna þess að ef við tækum Taylor-röð af þessari jöfnu fáum við:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Þegar $x$ er litla, þá er eitt einasta sem bæði býst í Taylor-víddunni er $O(1)$ liðið. Í orkuformúlunni okkar, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Við getum notfarið þessu fyrir okkur að $p = mv \ll mc$ fyrir allt sem fer ekki á ljóshraðann (vinsamlegast finndu mig ef þú finnur eitthvað sem hefur ekki þetta gildi)! Svo þetta liðið lækkar í raun:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

þar sem

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

er venjuleg kynetic orka sem við sjáum í fagaskólanum. Nú skulum við fara aftur til valhvarfnisins frá áður, og setja inn þessa nýggju upplýsingar og sjá hvað við endum með:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ástæðan fyrir því að við höfum nú skipt orðunum á milli er að fyrsta orðið $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (en meðal á ljóshraða aftur) verður marktæklega meira svifandi en annað orðið og lýsir ekki vitandi tegund stafur-bölubýlsins sem við leitum að. Til að festa þetta munstri, skilgreinum við nú að:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Hér höfum við nú skilgreint:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Skulum nú taka fyrsta og önnur hlutafleiðurnar af $\Psi(\vec{r},t)$ og sjá hvað við endurkomum með. Fyrsta:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

og önnur:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Þurfum að hafa í huga að síðasti liður með öðru afleiðu er mjög litill vegna þess að enginn liður bæri stærðarorð $c^2$ sem bæri stærðarorð, og því með tilliti við nálgun er raunveruleg öðru afleiða gefin með:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Lítil skrýtið ástæða fyrir að við tókum þessar tvær hlutafleiður var svo að við gætum sett þær inn í þessa jöfnu sem lýsir bólgufallinu:

En áður en við gerum það, látum okkur endurranga þessa formúlu og komum til jöfnunnar sem kallast Klein-Gordon-jafnan:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Nú getum við auðveldlega almennað þetta fyrir 3 víddir með því að breyta þessu jöfnunni í vigursamhengi (allar skrefin sem við tókum til að leiða út þessa formúlu gilda fyrir allar $x,y$ , og $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Þessi jafna er kend sem Klein-Gordon-jafnan fyrir óbundið partíkyl. Þessi jafna er afstæðaleg vegna þess að orkuréttindið hennar gerir ekki samanburðar sem við gerðum með litla $\sqrt{1+x}$ Taylor-viðbót.

Nú, lætum okkur einfalda Klein-Gordon-jöfnuna (með að fara aftur niður í 1 vídd og nota nýja orkuréttindisformúluna) og komum við að lengi bíðinni Schrödinger-jöfnu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Látum okkur setja inn nýja bólugildisfallið gefið með $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ þar sem við vitum hvað fyrsta og önnur afleiður með tilliti til tíma líta út eins og:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Nú þurfum við að gera einfalda umraðningu til að fá Schrödinger-jöfnuna í þrjá rúmmál (athugið að $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Hér má segja að hægri hliðin á jöfnunni lýsir heildarorku bólugrafans.

Í útreikningnum okkar gerðum við ráð fyrir að $V(\vec{r},t)$ sé 0 og að einungis kynnisorka væri tekinn tillit til. Við vitum að potensial er fullkomlega samlagður með tilliti til rúmmálsmunanna og því er fulla Schrödinger-jafnan í þrjá rúmmál með potensiali gefin af:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Það er allt! Hér höfum við leiðréttað fulla Schrödinger-jöfnuna fyrir órelativistískt partíkelt í þrjá rúmmál. Ef þér hefur líkað þessu inngangi og vilt sjá fleiri eins, vinsamlegast sendu okkur tölvupóst til að láta okkur vita.

Heimildir

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantaveðfræði. 2. útgáfa. Kanada: Hamilton Printing, bls. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantaveðfræði. 3. útgáfa. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. og Volkmer, S. (2019). Hvernig á að leiða Schrödinger-jöfnuna. [vafra] arXiv.org. Útgefandi á: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Skoðað 29. maí 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1. útgáfa. New York: Springer Science, bls. 1-40.

Yfirlýsing: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

Gefðu gjöf og hörðu upp höfundinn!

Efni:

Físfræði fréttir

Kvantameðferð

Um fagmenn

Electrical4u

China