Pangunguna ng Equation ng Buhawi ni Schrödinger: Pagwuwasto & Paliwanag

Electrical4u

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Schrödinger Equation?

Ang Schrödinger equation (kilala rin bilang Schrödinger’s wave equation) ay isang partial differential equation na naglalarawan ng dinamika ng mga quantum mechanical systems sa pamamagitan ng wave function. Ang trayektoriya, posisyon, at enerhiya ng mga sistema na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-solve ng Schrödinger equation.

Lahat ng impormasyon para sa isang subatomic particle ay nakakodipiko sa loob ng isang wave function. Ang wave function ay matutugunan at maaaring ma-solve gamit ang Schrodinger equation. Ang Schrodinger equation ay isa sa mga pundamental na axioms na ipinakilala sa undergraduate physics. Ito ay naging mas karaniwan din na makita ang Schrödinger equation na ipinakilala sa electrical engineering syllabus sa mga unibersidad dahil ito ay aplikado sa semiconductors.

Narito ang hindi masaya, ito lamang ay inilaan bilang isang postulate sa parehong kaso at hindi kailanman nailabas sa anumang may kahulugan. Ito ay napakadismayado dahil halos lahat ng iba pang itinuro sa undergraduate quantum physics ay itinayo sa pundasyon na ito. Sa artikulong ito, ituturo natin ang ekwasyon mula sa wala at gawin kong mabuti na ipakita ang bawat hakbang na ginawa.

Karaniwan pa, ang mga argumento na gagawin natin ay pareho sa mga ginawa ni Schrödinger mismo kaya makikita mo ang mga linya ng pag-iisip ng isang giant noong panahon niya. Bilang isang paalala, narito ang time-dependent Schrödinger equation sa 3-dimensions (para sa non-relativistic particle) sa lahat ng kanyang kagandahan:

Quantum Physics and Waves

Gusto ng lahat na baguhin ang classical physics – ngunit ito ay naglingkod sa amin nang mabuti para sa mahabang panahon (isipin ang Newtonian mechanics, Maxwell’s equations, at special relativity).

Gayunpaman, tulad ng ipinakita sa aming mga naunang artikulo, ang mga resulta ng eksperimento sa dulo ng siglo ay hindi masyadong kakaiba kapag ito ay hinihigayon sa kilalang pisika noong panahong iyon. Ang aming mga artikulo tungkol sa eksperimentong double slit at sa ilang antas ang epekto ng photoelectric ay mga resulta ng eksperimento na hindi naiugnay nang maayos sa kilalang pag-unawa noong panahong iyon.

Ngunit bakit? Upang isimplipikuhin, sa klasikal na pisika, mayroong dalawang entidad, partikulo at buntot. Ang mga katangian ng parehong entidad na ito ay maaaring ilarawan bilang sumusunod:

Partikulo: lokal na buntot ng enerhiya at momentum na may masa $m$ .

Buntot: mga pagkabigo na nakalat sa espasyo at naglalakbay sa panahon. Ito ay maaaring ilarawan gamit ang isang punsiyon ng buntot $\psi(\vec{r}, t)$ na naglalarawan ng buntot sa espasyo at panahon.

Ito ang nagdala sa mga kakaibang resulta na natuklasan namin sa aming Photoelectric Emission na artikulo. Natuklasan namin na ang elektron ay nagpapakita ng parehong katangian. Ito ay lubhang kontradiktoryo sa kilalang pag-unawa noong panahong iyon dahil ang parehong entidad ay itinuturing na walang kinalaman sa isa't isa.

Hindi ba kakaiba? Sa panahong ito, ang ilang talagang influential na mga tauhan sa pisika ay nagsimulang mag-realize na may gap sa kaalaman, at isang malaking paglabas ng bagong kaalaman nang si Louis de Broglie ay nagsama ng momentum (para sa partikulo) sa wavelength (para sa buntot) na ibinigay ng

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Gayunpaman, mula sa Photoelectric Emission alam natin na ang pag-absorb at paglabas ng enerhiya ng mga photon (hindi pa tiyak kung partikulo o bala) ay binibigyan ng enerhiya na

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kung saan $\hbar = h/2\pi$ at $\omega=2\pi f$ . Nasa parehong yugto tayo ngayon kung saan si Schrödinger bago niya maipinagkaloob ang kanyang kilalang ekwasyon. Pero saan tayo magsisimula? Alam natin na ang mga elektron at photon ay nagpapakita ng katulad ng bala at katulad ng alon. Walang mali kung simulan natin ang isang pangkalahatang ekwasyon na dapat sundin ng lahat ng mga alon at pagkatapos ay ipakilala ang pisika ng partikulo upang makita kung may resulta.

Kung paano Kalkulahin ang Wave Equation

Ang disturbance $\psi(\vec{r}, t)$ sumusunod sa wave equation. Tandaan, ang elektron ay nagpapakita ng katulad ng alon at may elektromagnetikong charge. Kaya, para sa ngayon, tingnan natin ang mga elektromagnetikong field. Sa kasong ito, ang mga ekwasyon ni Maxwell ang lumalapat at narito sila sa kanilang kabuuang gloria:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kung saan ang $c$ ay ang bilis ng liwanag sa vacuum, $\vec{E}$ ay ang elektrikong field at $\vec{B}$ ay ang magnetic field. Ang unang ekwasyon sa itaas ay ang pundasyon ng mga electric generators, inductors, at transformers at ito ang pagkakataon ng Faraday’s Law.

Samantala, isa sa mga implikasyon mula sa $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ay na walang magnetic monopoles. Ang pag-unawa sa deribasyon ng mga ekwasyong ito at ang pisikal na kahulugan nito ay nagbibigay ng isang maayos na engineer. Ngayon, hayaan nating deribahin ang ekwasyon na dapat sumunod ang anumang electromagnetic wave sa pamamagitan ng pag-apply ng curl sa Equation 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ngayon, maaari nating gamitin ang isang napakapamilyar (at madaling mapatunayan) na vector identity: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kung saan ang $T$ ay isang placeholder vector. Ipaglabas natin sa aming maliit na ekwasyon ngayon:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ang resulta na narinig dito ay ang ekwasyon ng elektromagnetikong alon sa tatlong dimensyon. Ang ekwasyong ito ay ipinakita hindi lamang sa elektromagnetikong alon kundi pati na rin sa akustika, seismic waves, sound waves, water waves, at fluid dynamics.

Paano I-Derive ang Schrödinger Equation

Plane Wave Solutions to the Wave Equation

Nagsisimula sa wave equation para sa 1-dimensyon (madali lang itong i-generalize sa 3 dimensyon pagkatapos dahil ang logic ay mag-aapply sa lahat ng $x, y$ , at $z$ dimensyon.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Sa realidad, ito ay isang second-order partial differential equation at nasasagot nito ang mga plane wave solutions:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

Alam natin mula sa normal na wave mechanics na $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ at $\omega = 2 \pi f$ . Ngayon, gamitin natin ang trabaho ni Einstein at Compton at isalin ang katotohanan na ang enerhiya ng photon ay ibinigay ng $\mathsf{E} = \hbar \omega$ at mula kay de-Broglie na $p = h / \lambda = \hbar k$ . Mas maaring pagmasahin natin ang aming plane wave solution upang:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ito ang plane wave equation na naglalarawan ng photon. Isalin natin ang equation na ito sa aming wave equation at tingnan natin kung ano ang makikita natin!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Sa ibang salita, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ na napakaganda dahil alam natin mula sa espesyal na relativity na ang kabuuang enerhiya para sa isang relativistic na partikulo na may masa $m$ ay:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

At hanggang ngayon, ang pinag-uusapan lamang natin ay ang photon na walang masa $(m=0)$ ! Kaya palawakin natin ang aming pag-unawa at ilapat ang kabuuang relativistic na enerhiya para sa isang partikulo na may masa (tulad ng elektron halimbawa) at baguhin natin ang pangalan ng aming ekwasyon sa $\Psi$ dahil kami ay mga ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ang ekwasyong ito ay nakuha mula sa pagsasalit ng plane wave equation para sa photon sa wave equation. Gayunpaman, dahil gusto natin ngayong masolusyunan ang kabuuang relativistic na enerhiya para sa isang partikulo na may masa, kailangan nating baguhin ang wave equation nang kaunti. Ito ay dahil ang wave equation ay hindi dapat ganap na aplikableng sa aming bagong $\Psi$ na naglalarawan ng mga partikulo at mga alon. Ngayon, maaari nating buuin ang operator upang makakuha ng ekwasyon sa itaas, at ibinibigay ito ng:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Paglutas para sa mga Partikulo na may Masa sa Wave Equation

Gusto namin ngayon na gumawa ng ilang aproksimasyon sa buong enerhiya na inilarawan namin gamit ang $\mathsf{E}$ para sa isang partikulo na may momentum at masa. I-rearrange natin ang pormula nang konti upang maaari nating gamitin ang ilang aproksimasyon.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Ang buong punto ng pag-manipulate na ito ay upang makakuha ng ekwasyon sa anyo ng $\sqrt{1 + x}$ dahil kung i-expand natin ang Taylor Series ng ekwasyong ito, makukuha natin:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kapag $x$ ay maliit, ang bahagi lamang na natitira sa Taylor expansion ay ang $O(1)$ term. Sa aming formula ng enerhiya, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Makikinabang tayo sa kalooban na $p = mv \ll mc$ para sa anumang hindi naglalakbay sa bilis ng liwanag (mangyaring hanapin ako kung makakahanap ka ng anumang hindi sumasang-ayon dito)! Kaya ang terminong ito ay talagang nabawasan sa:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kung saan

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ang normal na kinetic energy na nakikita natin mula sa high school physics. Ngayon bumalik tayo sa wave function mula noong huli, ipasok natin ang bagong impormasyon na ito at tingnan natin ano ang magiging resulta nito:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ang dahilan kung bakit kami ngayon ay naghiwalay ng dalawang termino ay dahil ang unang termino $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (mulamula lamang sa bilis ng liwanag) ay magiging mas oscillatory kaysa sa pangalawang termino at hindi kinakatawan ang partikulo-luklukan na inaasahan natin. Kaya upang palakihin ang pagkakaiba, ipinapakilala natin na:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kung saan kami ngayon ay nagbigay ng definisyon:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ngayon, hawakan natin ang unang at ikalawang partial derivatives ng $\Psi(\vec{r},t)$ at tingnan kung ano ang makukuha natin. Ang unang:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

at ang ikalawa:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Dapat tandaan na ang huling termino na may ikalawang parsiyal na derivative ay napakaliit dahil sa kawalan ng $c^2$ na termino na nagdadala ng order of magnitude, at kaya naman sa pamamagitan ng approximation, ang aktwal na ikalawang derivative ay ibinibigay ng:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Ang nakakalusot na dahilan kung bakit kinuha natin ang dalawang parsiyal na derivative ay upang maitala sila sa equation na naglalarawan ng wave function na ito:

Ngunit bago natin ito gawin, ipaglabas natin ang formula na ito at makakakuha tayo ng equation na tinatawag na Klein-Gordon equation:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ngayon, maaari nating madaling heneralisahin ito sa 3-dimensyon sa pamamagitan ng pagbabago ng ekwasyong ito sa isang vector equation (lahat ng hakbang na ginawa natin para makalkula ang formula na ito ay maglalapat sa lahat ng $x,y$ , at $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ang ekwasyong ito ay kilala bilang Klein-Gordon equation para sa malayang partikulo. Ang ekwasyong ito ay relatyibistik sapagkat ang termino ng enerhiya nito ay hindi gumagamit ng mga asumpsiyon na ginawa natin sa simpleng $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Ngayon, ipagsimplifika natin ang Klein-Gordon equation (bumalik sa 1-D at ilapat ang aming bagong formula ng enerhiya) at darating tayo sa matagal nang inaasam na Schrödinger Equation:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ilapat natin ang aming bagong wave function na ibinigay ng $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ kung saan alam natin kung ano ang unang at ikalawang derivative sa respeto ng oras:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ngayon, ang kailangan nating gawin ay isang simpleng rearrange para makakuha ng Schrödinger Equation sa tatlong dimensyon (tandaan na $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Kung saan ang argumento ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagsusuri sa katulad ng classical Hamiltonian na ang termino sa kanan ng equation ay naglalarawan ng kabuuang enerhiya ng wave function.

Sa aming derivation, inasumosahan namin na $V(\vec{r},t)$ ay 0 at ang tanging kinetic energy lang ang inasangkot. Alam natin na ang potential ay tuloy-tuloy na additive sa kanyang spatial variations at kaya, ang buong Schrödinger Equation sa tatlong dimensyon kasama ang potential ay ibinibigay ng:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Iyon na! Nariyan na natin, ang artikulong ito ay nag-derive ng buong Schrodinger equation para sa non-relativistic particle sa tatlong dimensyon. Kung gusto mo ang post na ito at nais mong makita pa ng mga ganito, mangyaring mag-email sa amin upang ipaalam.

Pagsipi

Gasiorowicz, S. (2019). Quantum Physics. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantum Physics. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). How to Derive the Schrodinger Equation. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Pahayag: Respeto ang orihinal na mga artikulo na karapat-dapat ibahagi, kung mayroong paglabag sa karapatan mangyaring makipag-ugnayan upang alisin ito.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Mga Artikulo sa Pisika

Teoriya ng Quantum

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607