श्रोडिंगर तरंग समीकरण: व्युत्पत्ति और स्पष्टीकरण

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फील्ड: बुनियादी विद्युत

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श्रोडिंगर समीकरण क्या है?

श्रोडिंगर समीकरण (जिसे श्रोडिंगर का तरंग समीकरण भी कहते हैं) एक आंशिक अवकल समीकरण है जो तरंग फलन के माध्यम से क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के गतिकी का वर्णन करता है। इन प्रणालियों का पथ, स्थिति और ऊर्जा श्रोडिंगर समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

एक उप-परमाणु कण के लिए सभी जानकारी एक तरंग फलन में कोडित होती है। तरंग फलन श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करता है और इसका उपयोग करके हल किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण एक ऐसा मौलिक अभिगृहीत है जो अंडरग्रेजुएट भौतिकी में पेश किया जाता है। यह अधिक से अधिक आम हो रहा है कि विश्वविद्यालयों में विद्युत अभियांत्रिकी के पाठ्यक्रम में श्रोडिंगर समीकरण पेश किया जाता है क्योंकि यह अर्धचालकों पर लागू होता है।

दोनों मामलों में यह केवल एक अभिगृहीत के रूप में बताया जाता है और किसी भी महत्वपूर्ण तरीके से नहीं व्युत्पन्न किया जाता है। यह बहुत असंतोषजनक है क्योंकि अंडरग्रेजुएट क्वांटम भौतिकी में पढ़ाए जाने वाले लगभग सभी अन्य चीजें इस आधार पर बनी होती हैं। इस लेख में, हम इस समीकरण को शून्य से व्युत्पन्न करेंगे और मैं अपनी सर्वश्रेष्ठ कोशिश करूंगा कि प्रत्येक चरण दिखाया जाए।

दिलचस्प रूप से, हम लेने वाले तर्क वे ही हैं जो श्रोडिंगर ने खुद लिए थे ताकि आप उस समय एक विशाल व्यक्ति की विचार रेखाओं को देख सकें। याद दिलाने के लिए, यहाँ 3-आयामों में (गैर-सापेक्षवादी कण के लिए) समय-संकल्पित श्रोडिंगर समीकरण अपनी संपूर्ण सुंदरता में:

क्वांटम भौतिकी और तरंगें

हर कोई क्लासिकल भौतिकी की आलोचना करना पसंद करता है - लेकिन यह हमें बहुत लंबे समय तक अच्छी तरह से सेवा कर चुका है (न्यूटोनियन यांत्रिकी, मैक्सवेल के समीकरण, और विशेष सापेक्षता को सोचें)।

हालांकि, हमारे पिछले लेखों में दिखाया गया था, सदी के आरंभ में प्रयोगात्मक परिणाम उस समय के ज्ञात भौतिकी की तुलना में बहुत चमकीले नहीं थे। हमारे डबल स्लिट प्रयोग और थोड़ी डिग्री तक फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव पर लिखे गए लेख उन प्रयोगात्मक परिणामों के बारे में हैं जो उस समय की ज्ञात समझ से अच्छी तरह से मेल नहीं खाते थे।

लेकिन क्यों? सरल शब्दों में, शास्त्रीय भौतिकी में दो इकाइयाँ मौजूद हैं, कण और तरंगें। इन दोनों इकाइयों की विशेषताओं का वर्णन निम्नलिखित रूप से किया जा सकता है:

कण: ऊर्जा और आवेग के स्थानीयकृत बंडल जिनमें द्रव्यमान होता है $m$ ।

तरंगें: स्थान पर फैली हुई विक्षोभ जो समय के साथ यात्रा करती हैं। उन्हें एक तरंग फंक्शन से वर्णित किया जा सकता है $\psi(\vec{r}, t)$ जो तरंग को स्थान और समय के द्वारा वर्णित करता है।

यह हमें हमारे फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन लेख में पाए गए आश्चर्यजनक परिणामों तक ले जाता है। हमने पाया कि इलेक्ट्रॉन इन दोनों गुणों को दर्शाता है। यह उस समय की ज्ञात समझ के पूरी तरह से विरोधाभासी है क्योंकि ये दो इकाइयाँ एक दूसरे के अपवाद मानी जाती थीं

पागलपन नहीं? इस समय के आसपास, भौतिकी में कुछ वास्तव में प्रभावशाली व्यक्ति ने ज्ञान में एक अंतर देखा, और एक बड़ा प्रगति हुई जब लुई डी ब्रोग्ली ने एक कण (के लिए) आवेग को एक तरंग (के लिए) तरंगदैर्ध्य से जोड़ा, जो द्वारा दिया गया था

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

इसके अलावा, फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन से हम जानते हैं कि फोटोनों (अभी भी यह निर्धारित नहीं है कि कण है या तरंग) की ऊर्जा का अवशोषण और उत्सर्जन दिया गया है

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

जहाँ $\hbar = h/2\pi$ और $\omega=2\pi f$ . अब हम उसी स्थिति पर हैं जहाँ श्रोडिंगर अपने प्रसिद्ध समीकरण को व्युत्पन्न करने से पहले थे। लेकिन हम कहाँ से शुरुआत करें? ठीक है, हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन और फोटोन तरंग-जैसी और कण-जैसी व्यवहार दिखा रहे हैं। इसमें कोई गलती नहीं होगी कि सभी तरंगों को अनुसरण करना चाहिए एक सार्वभौमिक समीकरण से शुरुआत करें और फिर कण भौतिकी को शामिल करें तो देखें कि क्या परिणाम मिलता है।

तरंग समीकरण को कैसे व्युत्पन्न करें

विक्षोभ $\psi(\vec{r}, t)$ तरंग समीकरण का पालन करता है। याद रखें, इलेक्ट्रॉन तरंग-जैसी व्यवहार दिखाता है और इसका विद्युत चुंबकीय आवेश होता है। इसलिए, अभी तक, चलो बस विद्युत चुंबकीय क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित करें। इस परिदृश्य में, मैक्सवेल के समीकरण लागू होते हैं और यहाँ वे अपनी गौरवशाली रूप में हैं:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है, $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है। ऊपर दिए गए पहले समीकरण का आधार विद्युत जनरेटर, इंडक्टर और ट्रांसफोर्मर है और यह फाराडे के नियम का अभिव्यक्ति है।

इसके अलावा, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ से एक निष्कर्ष यह है कि कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं मौजूद है। इन समीकरणों के व्युत्पन्न को समझना और उनके पीछे का भौतिक अर्थ समझना एक अच्छे इंजीनियर के लिए आवश्यक है। अब, हम समीकरण 4 पर कर्ल लगाकर उस समीकरण को व्युत्पन्न करेंगे जिसे किसी भी विद्युत-चुंबकीय तरंग को पालन करना चाहिए:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

अब हम एक बहुत ही परिचित (और आसानी से सिद्ध) सदिश पहचान का उपयोग कर सकते हैं: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ जहाँ $T$ कोई स्थानापन्न सदिश है। इसे हमारे छोटे समीकरण पर लागू करने पर:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

यहाँ हमारे पास तीन आयामों में विद्युत चुंबकीय तरंग समीकरण है। यह समीकरण केवल विद्युत चुंबकीय तरंगों में नहीं, बल्कि ध्वनिक, सिज्मिक तरंगों, ध्वनि तरंगों, जल तरंगों और द्रव गतिकी में भी दिखाई देता है।

श्रोडिंगर समीकरण को कैसे व्युत्पन्न करें

तरंग समीकरण के लिए समतल तरंग समाधान

एक आयाम में तरंग समीकरण (इसके बाद तीन आयामों में आसानी से व्यापकीकरण किया जा सकता है, क्योंकि तर्क सभी आयामों में लागू होगा) से शुरू करते हुए: $x, y$ , और $z$ आयामों में):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

वास्तव में, यह एक द्वितीयक आंशिक अवकल समीकरण है और इसे समतल तरंग समाधानों से संतुष्ट किया जा सकता है:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

जहाँ हम आम तरंग यांत्रिकी से जानते हैं कि $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ और $\omega = 2 \pi f$ । अब, आइए आइंस्टीन और कॉम्पटन के काम का उपयोग करें और यह तथ्य बदलें कि फोटॉन की ऊर्जा दी गई है $\mathsf{E} = \hbar \omega$ और डी-ब्रॉग्ली से $p = h / \lambda = \hbar k$ । हम अपने तलीय तरंग समाधान को और भी बदल सकते हैं:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

यह एक फोटॉन को वर्णन करने वाला तलीय तरंग समीकरण है। आइए इस समीकरण को हमारे तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि हम क्या पाते हैं!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

दूसरे शब्दों में, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ जो बहुत अच्छा है क्योंकि हम विशेष सापेक्षता से जानते हैं कि द्रव्यमान वाले एक सापेक्षवादी कण के लिए कुल ऊर्जा होती है:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

और अभी तक हम सिर्फ फोटॉन के साथ निपट रहे हैं जिसका द्रव्यमान शून्य है $(m=0)$ ! तो चलिए हमारे विचारों को विस्तारित करें और द्रव्यमान वाले कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए कुल सापेक्षवादी ऊर्जा को लागू करें और हमारे समीकरण का नाम $\Psi$ कर दें क्योंकि हम बॉलर्स हैं।

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

अब यह समीकरण सीधे फोटॉन के लिए तल-तरंग समीकरण को तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करके आया है। हालांकि, चूंकि अब हम द्रव्यमान वाले कण के लिए कुल सापेक्षवादी ऊर्जा को हल करना चाहते हैं, हमें तरंग समीकरण को थोड़ा बदलना होगा। यह इसलिए है क्योंकि तरंग समीकरण हमारे नए $\Psi$ के लिए पूरी तरह से लागू नहीं होता जो कणों और तरंगों का वर्णन करता है। अब हम ऊपर दिए गए समीकरण को प्राप्त करने के लिए एक ऑपरेटर को वापस हल कर सकते हैं, और यह निम्नलिखित है:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

तरंग समीकरण में द्रव्यमान वाले कणों के लिए हल

अब हम पूर्ण ऊर्जा के बारे में कुछ सन्निकटन करना चाहते हैं, जिसे हमने गति और द्रव्यमान वाले कण के लिए इस प्रकार वर्णित किया है $\mathsf{E}$ । आइए सूत्र को थोड़ा सा फिर से व्यवस्थित करें ताकि हम कुछ सन्निकटन का उपयोग कर सकें।

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

इस प्रकार के व्यवस्थापन का पूरा उद्देश्य समीकरण को $\sqrt{1 + x}$ रूप में प्राप्त करना है क्योंकि अगर हम इस समीकरण का टेलर श्रेणी विस्तार करते हैं तो हम प्राप्त करते हैं:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

जब $x$ छोटा होता है, तो टेलर विस्तार में जो भाग बचता है वह है $O(1)$ पद। हमारे ऊर्जा सूत्र में, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ । हम इस तथ्य का लाभ उठा सकते हैं कि $p = mv \ll mc$ जो कुछ भी प्रकाश की गति से नहीं चल रहा (यदि आप कोई ऐसा चीज़ ढूंढ लेते हैं तो मुझे बताएं)! तो यह पद वास्तव में घटित होता है:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

जहाँ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

उच्च विद्यालय के भौतिकी से जिस गतिज ऊर्जा को हम देखते हैं वह है। अब पहले के तरंग फलन पर वापस आते हुए, आइए इस नई जानकारी को डालें और देखें कि हम किसके साथ समाप्त होते हैं:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

हमने अब दो शब्दों को विभाजित किया है क्योंकि पहला शब्द $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (फिर से प्रकाश की गति पर आधारित) दूसरे शब्द की तुलना में बहुत अधिक दोलनशील होगा और जिस कण-तरंग इकाई का वर्णन हम करना चाहते हैं, उसका वर्णन जरूरी नहीं है। इस अंतर को मजबूत करने के लिए, चलो अब यह स्थापित करें कि:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

अब हमने परिभाषित किया है:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

चलो अब $\Psi(\vec{r},t)$ के पहले और दूसरे आंशिक डेरिवेटिव लें और देखें कि हम किसके साथ समाप्त होते हैं। पहला:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

और दूसरा:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

हमें याद रखना चाहिए कि दूसरे आंशिक अवकलज के साथ अंतिम पद बहुत छोटा है क्योंकि इसमें $c^2$ पद नहीं है जो मात्रा के क्रम को ले जाता है, और इसलिए अनुमान से, वास्तविक दूसरा अवकलज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

इन दो आंशिक अवकलजों को लिए गए गुप्त कारण था ताकि हम उन्हें पहले वर्णित तरंग फलन के इस समीकरण में डाल सकें:

लेकिन इससे पहले, आइए इस सूत्र को व्यवस्थित करें और हमें क्लाइन-गोर्डन समीकरण नामक एक समीकरण मिलेगा:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

अब हम इसे 3-आयामों में आसानी से सामान्यीकृत कर सकते हैं इस समीकरण को एक सदिश समीकरण में परिवर्तित करके (इस सूत्र को निकालने के लिए जो हमने लिए गए चरण सभी $x,y$ , और $z$ के लिए लागू होंगे।)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

यह समीकरण एक स्वतंत्र कण के लिए क्लाइन-गोर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह समीकरण विशेष सापेक्षवादी है क्योंकि इसकी ऊर्जा शर्त उस छोटे $\sqrt{1+x}$ टेलर विस्तार के साथ हमने जो धारणा की थी, उनकी अनुमान नहीं करता।

अब, क्लाइन-गोर्डन समीकरण को सरल करते हुए (1-D तक वापस जाकर और हमारे नए ऊर्जा सूत्र को लागू करके) हम लंबे समय तक प्रतीक्षित श्रोडिंगर समीकरण पर पहुंचेंगे:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

चलिए हम अपने नए तरंग फ़ंक्शन को दे दें, जो $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ द्वारा दिया गया है, जहाँ हम जानते हैं कि समय के सापेक्ष पहला और दूसरा अवकलज कैसा दिखता है:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

अब हमें बस एक सरल पुनर्व्यवस्था करने की आवश्यकता है ताकि तीन आयामों में श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त किया जा सके (ध्यान दें कि $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

जहाँ यह तर्क इस बात के ध्यान में रखकर दिया जा सकता है कि समीकरण के दाहिने पक्ष में वह पद लहर फलन की कुल ऊर्जा का वर्णन करता है।

हमारे व्युत्पन्न में, हमने यह माना कि $V(\vec{r},t)$ 0 है और केवल गतिज ऊर्जा को ध्यान में रखा गया था। हम जानते हैं कि विभव अपने स्थानिक भिन्नताओं के संबंध में शुद्ध योगी है और इसलिए, विभव के साथ तीन आयामों में पूर्ण श्रोडिंगर समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

यह था! यहाँ हमारे पास तीन आयामों में गैर-सापेक्षतावादी कण के लिए पूर्ण श्रोडिंगर समीकरण का व्युत्पन्न है। यदि आपको यह पोस्ट पसंद आई है और आप ऐसे और देखना चाहते हैं, तो कृपया हमें ईमेल करें और हमें बताएं।

उद्धरण

Gasiorowicz, S. (2019). क्वांटम भौतिकी. 2nd ed. कनाडा: हैमिल्टन प्रिंटिंग, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). क्वांटम भौतिकी. 3rd ed. यूनिवर्सिटी प्रिंटिंग हाउस, कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
Ward, D. और Volkmer, S. (2019). श्रोडिंगर समीकरण को कैसे निकालें. [ऑनलाइन] arXiv.org. उपलब्ध पर: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [पहुंचित 29 मई 2019]।
Shankar, R. (1980).क्वांटम भौतिकी के सिद्धांत. 1st ed. न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर साइंस, pp.1-40।

वक्तव्य: मूल का सम्मान करें, अच्छे लेख साझा करने योग्य हैं, यदि उल्लंघन हो तो कृपया हटाने के लिए संपर्क करें।

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