Persamaan Gelombang Schrödinger: Penurunan dan Penjelasan

Electrical4u

Medan: Elektrik Asas

China

Apakah Persamaan Schrodinger?

Persamaan Schrodinger (juga dikenali sebagai persamaan gelombang Schrodinger) adalah persamaan pembezaan separa yang menerangkan dinamik sistem mekanik kuantum melalui fungsi gelombang. Trajektori, kedudukan, dan tenaga sistem-sistem ini boleh diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schrodinger.

Semua maklumat untuk zarah subatomik terkod dalam fungsi gelombang. Fungsi gelombang akan memenuhi dan boleh diselesaikan dengan menggunakan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger adalah salah satu aksiom asas yang diperkenalkan dalam fizik sarjana muda. Ia juga semakin biasa untuk mendapati persamaan Schrodinger diperkenalkan dalam silibus kejuruteraan elektrik di universiti kerana ia berlaku kepada semikonduktor.

Malangnya, ia hanya dinyatakan sebagai postulat dalam kedua-dua kes dan tidak pernah diturunkan secara bermakna. Ini agak tidak memuaskan kerana hampir semua perkara lain yang diajar dalam fizik kuantum sarjana muda dibina atas asas ini. Dalam artikel ini, kita akan menurunkan persamaan dari awal dan saya akan berusaha sebaik mungkin untuk menunjukkan setiap langkah yang diambil.

Dengan menarik, argumen yang akan kita ambil adalah sama seperti yang diambil oleh Schrodinger sendiri jadi anda dapat melihat barisan fikiran seorang raksasa pada zamannya. Sebagai peringatan, berikut adalah persamaan Schrodinger bergantung masa dalam 3 dimensi (untuk zarah non-relatifistik) dalam semua keindahannya:

Fizik Kuantum dan Gelombang

Setiap orang suka mengkritik fizik klasik – tetapi ia telah melayani kita dengan baik untuk sementara waktu (fikirkan mekanik Newton, persamaan Maxwell, dan relativiti khas).

Walau bagaimanapun, seperti yang ditunjukkan dalam artikel-artikel kami sebelumnya, hasil eksperimen pada awal abad tidak kelihatan terlalu menarik apabila dibandingkan dengan fizik yang diketahui pada masa itu. Artikel kami tentang eksperimen celah berganda dan sejauh mana efek fotoelektrik adalah hasil-hasil eksperimen yang tidak sesuai dengan pemahaman yang ada pada masa itu.

Tetapi mengapa? Untuk menjelaskannya dengan mudah, dalam fizik klasik terdapat dua entiti, zarah dan gelombang. Ciri-ciri kedua-dua entiti ini boleh diterangkan seperti berikut:

Zarah: gumpalan energi dan momentum yang tertumpu dengan jisim $m$ .

Gelombang: gangguan yang tersebar di ruang dan bergerak melalui waktu. Mereka boleh diterangkan dengan fungsi gelombang $\psi(\vec{r}, t)$ yang menerangkan gelombang di ruang dan waktu.

Ini membawa kita kepada hasil yang mengejutkan yang ditemui dalam artikel kami tentang Pemancaran Fotoelektrik. Kami mendapati bahawa elektron menunjukkan kedua-dua ciri ini. Ini sepenuhnya bertentangan dengan pemahaman yang ada pada masa itu kerana kedua-dua entiti tersebut dianggap saling eksklusif.

Gila kan? Pada masa itu, beberapa tokoh penting dalam fizik mula menyedari bahawa terdapat jurang dalam pengetahuan, dan satu kemajuan besar datang apabila Louis de Broglie menghubungkan momentum (untuk zarah) ke panjang gelombang (untuk gelombang) diberikan oleh

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Juga, dari Pemancaran Fotoelektrik kita tahu bahawa penyerapan dan pemancaran foton (masih belum pasti sama ada zarah atau gelombang) mempunyai tenaga yang diberikan oleh

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Di mana $\hbar = h/2\pi$ dan $\omega=2\pi f$ . Kita sekarang berada pada tahap yang sama dengan Schrödinger sebelum menurunkan persamaannya yang terkenal. Tetapi di manakah kita mula? Baiklah, kita tahu bahawa elektron dan foton menunjukkan perilaku seperti gelombang dan zarah. Tidak ada salahnya untuk mula dengan persamaan universal yang semua gelombang patut taati, kemudian memperkenalkan fizik zarah di atas untuk melihat adakah hasilnya.

Bagaimana Menurunkan Persamaan Gelombang

Gangguan $\psi(\vec{r}, t)$ mematuhi persamaan gelombang. Ingat, elektron menunjukkan perilaku seperti gelombang dan mempunyai muatan elektromagnetik. Oleh itu, untuk sementara, mari kita lihat medan elektromagnetik. Dalam situasi ini, persamaan Maxwell berlaku dan inilah mereka dalam keagungan mereka:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Di mana $c$ adalah laju cahaya dalam vakum, $\vec{E}$ adalah medan elektrik dan $\vec{B}$ adalah medan magnet. Persamaan pertama di atas merupakan dasar bagi generator listrik, induktor, dan transformer dan merupakan manifestasi dari Hukum Faraday.

Juga, salah satu implikasi dari $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ adalah tidak adanya monopole magnet. Memahami turunan persamaan-persamaan ini dan makna fisik di baliknya membuat seorang jurutera menjadi lebih berpengetahuan. Sekarang, mari kita turunkan persamaan yang harus dipatuhi oleh setiap gelombang elektromagnetik dengan menerapkan curl pada Persamaan 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Sekarang kita dapat memanfaatkan identiti vektor yang sangat dikenali (dan mudah dibuktikan): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ di mana $T$ adalah vektor pengganti. Menerapkannya pada persamaan kita sekarang:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Hasil yang kita peroleh di sini adalah persamaan gelombang elektromagnetik dalam tiga dimensi. Persamaan ini tidak hanya muncul dalam gelombang elektromagnetik tetapi juga telah ditunjukkan dalam akustik, gelombang seismik, gelombang suara, gelombang air, dan dinamika fluida.

Bagaimana Menurunkan Persamaan Schrödinger

Penyelesaian Gelombang Bidang untuk Persamaan Gelombang

Bermula dengan persamaan gelombang untuk satu dimensi (sangat mudah untuk menggeneralisasi ke tiga dimensi setelahnya kerana logikanya akan berlaku dalam semua $x, y$ , dan $z$ dimensi.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ini, pada dasarnya, adalah persamaan diferensial separa kedua dan dipenuhi dengan penyelesaian gelombang bidang:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (periksa sendiri!). } \end{equation*}$

Di mana kita tahu dari mekanik gelombang biasa bahawa $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ dan $\omega = 2 \pi f$ . Sekarang, mari kita gunakan hasil kerja Einstein dan Compton dan gantikan dengan fakta bahawa tenaga foton diberikan oleh $\mathsf{E} = \hbar \omega$ dan dari de-Broglie bahawa $p = h / \lambda = \hbar k$ . Kita boleh lebih lanjut memanipulasi penyelesaian gelombang satah kita menjadi:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ini adalah persamaan gelombang satah yang menerangkan foton. Mari kita gantikan persamaan ini ke dalam persamaan gelombang kita dan lihat apa yang kita dapati!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Dengan kata lain, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ yang bagus kerana kita tahu dari relativiti khas bahawa tenaga total untuk zarah relatif dengan jisim $m$ adalah:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Dan kita hanya telah berurusan dengan foton sehingga kini yang tidak mempunyai jisim $(m=0)$ ! Jadi, mari kita luaskan pemahaman kita dan gunakan tenaga relatif total untuk zarah dengan jisim (seperti elektron contohnya) dan ubah nama persamaan kita kepada $\Psi$ kerana kita hebat.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Persamaan ini datang langsung daripada menggantikan persamaan gelombang satah untuk foton ke dalam persamaan gelombang. Namun, kerana sekarang kita ingin tenaga menyelesaikan tenaga relatif total untuk zarah dengan jisim, kita perlu mengubah sedikit persamaan gelombang. Ini kerana persamaan gelombang tidak sepenuhnya berlaku untuk $\Psi$ baru kita yang menerangkan zarah dan gelombang. Kita boleh kembali menyelesaikan operator untuk mendapatkan persamaan di atas, dan ia diberikan oleh:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Menyelesaikan Partikel dengan Jisim dalam Persamaan Gelombang

Kami kini ingin membuat beberapa anggaran pada tenaga penuh yang baru saja kami gambarkan oleh $\mathsf{E}$ untuk partikel dengan momentum dan jisim. Mari kita susun semula formula sedikit supaya kita boleh menggunakan beberapa anggaran.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Tujuan utama manipulasi ini adalah untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk $\sqrt{1 + x}$ kerana jika kita mengambil siri Taylor pengembangan persamaan ini kita mendapat:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Apabila $x$ adalah kecil, bahagian yang tinggal dalam siri Taylor hanyalah $O(1)$ istilah. Dalam formula tenaga kami, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Kita boleh mengambil kesempatan daripada fakta bahawa $p = mv \ll mc$ untuk apa-apa yang tidak bergerak pada kelajuan cahaya (sila cari saya jika anda menemui apa-apa yang tidak memenuhi ini)! Jadi, istilah ini sebenarnya berkurang kepada:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Di mana

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Adalah tenaga kinetik biasa yang kita lihat dari fizik sekolah menengah. Sekarang kembali ke fungsi gelombang sebelumnya, mari kita masukkan maklumat baru ini dan lihat apa yang kita dapatkan:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Sebab kami kini telah memisahkan kedua-dua istilah ini adalah kerana istilah pertama $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (berdasarkan hanya pada kelajuan cahaya semula) akan menjadi lebih berayun berbanding istilah kedua dan tidak semestinya menerangkan entiti gelombang-zarah yang kita cari. Oleh itu, untuk mengukuhkan perbezaan ini, mari kita tetapkan bahawa:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Di mana kita kini telah menentukan:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Mari kita ambil terbitan separa pertama dan kedua $\Psi(\vec{r},t)$ dan lihat apa yang kita dapat. Yang pertama:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

dan yang kedua:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Kita perlu ingat bahawa sebutan terakhir dengan pembezaan separa kedua adalah agak kecil kerana fakta bahawa tiada sebutan $c^2$ yang membawa magnitud tertentu, dan oleh itu melalui penghampiran, pembezaan separa kedua sebenar diberikan oleh:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Sebab licik kami mengambil dua pembezaan separa ini adalah supaya kita boleh memasukkannya ke dalam persamaan yang menerangkan fungsi gelombang lebih awal:

Tetapi sebelum kita boleh melakukan itu, mari kita susun semula formula ini dan kita akan berakhir dengan persamaan yang dipanggil persamaan Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Kini kita boleh dengan mudah mengitlakkan ini kepada 3 dimensi dengan menukar persamaan ini menjadi persamaan vektor (semua langkah yang kita ambil untuk menurunkan formula ini akan berlaku untuk semua $x,y$ , dan $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Persamaan ini dikenali sebagai persamaan Klein-Gordon untuk zarah bebas. Persamaan ini adalah relativistik kerana istilah tenaganya tidak membuat anggapan yang kita lakukan dengan pengembangan Taylor kecil $\sqrt{1+x}$ .

Sekarang, mari kita permudahkan persamaan Klein-Gordon (kembali ke 1-D dan menerapkan formula tenaga baru kita) dan kita akan sampai pada Persamaan Schrödinger yang ditunggu-tunggu:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Mari kita masukkan fungsi gelombang baru yang diberikan oleh $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ di mana kita tahu apa yang terlihat seperti turunan pertama dan kedua terhadap masa:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Sekarang semua yang perlu kita lakukan adalah pengaturan sederhana untuk mendapatkan Persamaan Schrödinger dalam tiga dimensi (perhatikan bahawa $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Di mana argumen boleh dibuat dengan menandakan kesamaan Hamiltonian klasik bahawa istilah di sebelah kanan persamaan menerangkan tenaga total fungsi gelombang.

Dalam penurunan kami, kami mengandaikan bahawa $V(\vec{r},t)$ adalah 0 dan hanya tenaga kinetik yang diperhitungkan. Kami tahu bahawa potensial adalah tambahan murni terhadap variasi spasialnya dan oleh itu, Persamaan Schrödinger penuh dalam tiga dimensi dengan potensial diberikan oleh:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Itulah dia! Di sini kami telah menurunkan Persamaan Schrodinger penuh untuk zarah non-relatifistik dalam tiga dimensi. Jika anda menyukai pos ini dan ingin melihat lebih banyak seperti ini, sila e-mel kami untuk memberitahu kami.

Rujukan

Gasiorowicz, S. (2019). Fizik Kuantum. Edisi ke-2. Kanada: Hamilton Printing, m.s.1-50.
Griffiths, D. (2019). Fizik Kuantum. Edisi ke-3. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. dan Volkmer, S. (2019). Bagaimana Untuk Menurunkan Persamaan Schrodinger. [dalam talian] arXiv.org. Tersedia di: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Dikunjungi pada 29 Mei 2019].
Shankar, R. (1980).Prinsip-Prinsip Mekanik Kuantum. Edisi pertama. New York: Springer Science, m.s.1-40.

Pernyataan: Hormati asal, artikel yang baik berharga dibagikan, jika terdapat pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk menghapus.

Berikan Tip dan Galakkan Penulis

Tajuk:

Artikel Fizik

Teori Kuantum

Mengenai pakar

Electrical4u

China