Η Εξίσωση Κύματος του Schrödinger: Απόλυτη Παραγωγή & Εξήγηση

Electrical4u

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

Τι είναι η εξίσωση Schrödinger;

Η εξίσωση Schrödinger (γνωστή επίσης ως κύμα Schrödinger) είναι μια μερική διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική κβαντικών συστημάτων μέσω της συνάρτησης κύμα. Η τροχιά, η θέση και η ενέργεια αυτών των συστημάτων μπορούν να εξαχθούν λύνοντας την εξίσωση Schrödinger.

Όλες οι πληροφορίες για ένα υποατομικό σωματίδιο κωδικοποιούνται μέσα σε μια συνάρτηση κύμα. Η συνάρτηση κύμα ικανοποιεί και μπορεί να λυθεί με την εξίσωση Schrödinger. Η εξίσωση Schrödinger είναι ένας από τους βασικούς αξιώματα που παρουσιάζονται στη φυσική προπτυχιακού επιπέδου. Είναι επίσης όλο και πιο συνηθισμένο να βρίσκεται η εξίσωση Schrödinger στο πρόγραμμα σπουδών της ηλεκτρολόγου μηχανικής στα πανεπιστήμια, καθώς εφαρμόζεται σε ημιαγωγά.

Δυστυχώς, σε και τις δύο περιπτώσεις, παρουσιάζεται μόνο ως θεμελιώδες αξίωμα και δεν αποδεικνύεται με κανέναν ουσιαστικό τρόπο. Αυτό είναι αρκετά απογοητευτικό, καθώς σχεδόν τα πάντα που διδάσκονται στην προπτυχιακή κβαντική φυσική οικοδομούνται πάνω σε αυτή τη βάση. Σε αυτό το άρθρο, θα παράγουμε την εξίσωση από την αρχή και θα κάνω το καλύτερό μου για να δείξω κάθε βήμα που έχει γίνει.

Ενδιαφέρον, οι επιχειρήσεις που θα κάνουμε είναι οι ίδιες με εκείνες που έκανε ο ίδιος ο Schrödinger, οπότε μπορείτε να δείτε τη σειρά σκέψης ενός γίγαντα της εποχής του. Ως υπενθύμιση, εδώ είναι η χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger σε 3 διαστάσεις (για ένα μη σχετικιστικό σωματίδιο) σε όλη της την ομορφιά:

Κβαντική Φυσική και Κύματα

Όλοι αγαπάνε να κριτικάρουν την κλασική φυσική – αλλά μας εξυπηρέτησε πολύ καλά για αρκετό χρόνο (σκεφτείτε τη νευτώνια μηχανική, τις εξισώσεις Maxwell και τη σχετικότητα).

Ωστόσο, όπως δείχνουν τα προηγούμενα άρθρα μας, τα εξperimentικά αποτελέσματα στην αρχή του αιώνα δεν ήταν πολύ εντυπωσιακά σε σύγκριση με τη γνωστή φυσική της εποχής. Τα άρθρα μας για το διπλή διαφωτιστική διαφυγή και, σε κάποιο βαθμό, το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο ήταν εξperimentικά αποτελέσματα που δεν ταιριάζουν καλά με τη γνωστή κατανόηση της εποχής.

Αλλά γιατί; Για να το θέσουμε απλά, στην κλασική φυσική υπάρχουν δύο οντότητες, σωματίδια και κύματα. Οι χαρακτηριστικές των δύο αυτών οντοτήτων μπορούν να περιγραφούν ως εξής:

Σωματίδια: τοπικοποιημένα δέσμια ενέργειας και ορμής με μάζα $m$ .

Κύματα: διαταραχές που εξαπλώνονται στο χώρο-και ταξιδεύουν με την πάροδο του χρόνου. Μπορούν να περιγραφούν με μια συνάρτηση κύματος $\psi(\vec{r}, t)$ που περιγράφει το κύμα στο χώρο και το χρόνο.

Αυτό μας οδηγεί στα εκπληκτικά αποτελέσματα που βρήκαμε στο άρθρο μας για την Φωτοηλεκτρική Εκπομπή. Βρήκαμε ότι το ηλεκτρόνιο δείχνει και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά. Αυτό αντιβαίνει εντελώς στη γνωστή κατανόηση της εποχής, καθώς οι δύο οντότητες θεωρούνταν αμοιβαία αποκλειστικές.

Τρελό, σωστά; Σε αυτή την εποχή, μερικές πραγματικά επιφανή φιγούρες στη φυσική ξεκίνησαν να συνειδητοποιούν ότι υπήρχε ένα κενό στη γνώση, και μια μεγάλη πρόοδος ήρθε όταν ο Louis de Broglie συνέδεσε μια ορμή (για σωματίδι) με μια μήκος κύματος (για κύματα) δεδομένη από

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Επίσης, από την Φωτοηλεκτρική Εκπέμψη γνωρίζουμε ότι η απορρόφηση και εκπέμψη φωτονίων (ακόμη και αβέβαιοι αν είναι σωματίδια ή κύμα) έχουν ενέργεια που δίνεται από

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Όπου $\hbar = h/2\pi$ και $\omega=2\pi f$ . Βρισκόμαστε τώρα στο ίδιο στάδιο με τον Schrödinger πριν από την παραγωγή της περίφημης εξίσωσής του. Αλλά πού ξεκινάμε; Είναι γνωστό ότι τα ηλεκτρόνια και τα φωτόνια εμφανίζουν συμπεριφορά όπως κύματα και σωματίδια. Δεν θα υπήρχε κανένα λάθος να ξεκινήσουμε με μια παγκόσμια εξίσωση που πρέπει να τηρούν όλα τα κύματα και στη συνέχεια να εισάγουμε τη φυσική των σωματιδίων για να δούμε αν υπάρχει αποτέλεσμα.

Πώς να παράγουμε την Κυματική Εξίσωση

Η διαταραχή $\psi(\vec{r}, t)$ υποτάσσεται στην κυματική εξίσωση. Θυμηθείτε, το ηλεκτρόνιο εμφανίζει συμπεριφορά όπως κύμα και έχει ηλεκτρομαγνητική φορτία. Έτσι, για τώρα, ας δούμε μόνο τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία. Σε αυτή την περίπτωση, ισχύουν οι εξισώσεις Maxwell και εδώ είναι σε όλη τους την ομορφιά:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Όπου $c$ είναι η ταχύτητα του φωτός σε κενό, $\vec{E}$ είναι το ηλεκτρικό πεδίο και $\vec{B}$ είναι το μαγνητικό πεδίο. Η πρώτη εξίσωση αυτή είναι η βάση των ηλεκτρογεννητών, των επαγωγών και των μετατροπέων και είναι η εμπλουτισμένη μορφή του νόμου Faraday.

Επίσης, μία από τις συνέπειες της $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ είναι ότι δεν υπάρχουν μονοπολικά μαγνητικά μονόπολα. Η κατανόηση της παραγωγής αυτών των εξισώσεων και της φυσικής σημασίας πίσω από αυτές καθιστά τον μηχανικό γνωστικά ευρύ. Τώρα, ας παράγουμε την εξίσωση που πρέπει να συμμορφώνεται κάθε ηλεκτρομαγνητικό κύμα εφαρμόζοντας μια στροβιλική στην εξίσωση 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Τώρα μπορούμε να εκμεταλλευτούμε μια πολύ γνωστή (και εύκολα αποδεικτό) ταυτότητα διανυσμάτων: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ όπου $T$ είναι κάποιο διάνυσμα-πληροφορία. Εφαρμόζοντας στην εξίσωσή μας τώρα:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Το αποτέλεσμα που έχουμε εδώ είναι η εξίσωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε τρεις διαστάσεις. Αυτή η εξίσωση εμφανίζεται όχι μόνο σε ηλεκτρομαγνητικά κύματα, αλλά και σε ακουστικά, σεισμικά κύματα, κύματα ήχου, κύματα νερού και ρευστή μηχανική.

Πώς να Παράγουμε την Εξίσωση Schrödinger

Λύσεις Σειρών Κυμάτων για την Εξίσωση Κυμάτων

Ξεκινώντας με την εξίσωση κυμάτων για μία διάσταση (είναι πραγματικά εύκολο να γενικευτεί σε τρεις διαστάσεις μετά, καθώς η λογική θα ισχύει σε όλες τις $x, y$ , και $z$ διαστάσεις.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι μια δευτεροβάθμια μερική διαφορική εξίσωση και επιτυγχάνεται με λύσεις σειρών κυμάτων:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

Από την κανονική μηχανική κυμάτων γνωρίζουμε ότι $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ και $\omega = 2 \pi f$ . Τώρα, ας χρησιμοποιήσουμε το έργο του Einstein και Compton και να αντικαταστήσουμε το γεγονός ότι η ενέργεια ενός φωτονίου δίνεται από το $\mathsf{E} = \hbar \omega$ και από τον de-Broglie ότι $p = h / \lambda = \hbar k$ . Μπορούμε περαιτέρω να μαζεύουμε τη λύση του επιπέδου κύματος:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Αυτή είναι η εξίσωση του επιπέδου κύματος που περιγράφει ένα φωτόνιο. Ας αντικαταστήσουμε αυτή την εξίσωση στην εξίσωση κύματος και ας δούμε τι βρίσκουμε!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Με άλλα λόγια, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ το οποίο είναι υπέροχο γιατί ξέρουμε από την ειδική σχετικότητα ότι η συνολική ενέργεια για ένα σχετικιστικό σωματίδιο με μάζα $m$ είναι:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Και μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί μόνο με το φωτόνιο που δεν έχει μάζα $(m=0)$ ! Ας επεκτείνουμε λοιπόν την κατανόησή μας και να εφαρμόσουμε τη συνολική σχετικιστική ενέργεια για ένα σωματίδιο με μάζα (όπως το ηλεκτρόνιο για παράδειγμα) και ας αλλάξουμε το όνομα της εξίσωσής μας σε $\Psi$ γιατί είμαστε παίκτες.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Αυτή η εξίσωση προέκυψε από την αντικατάσταση της εξίσωσης επίπεδης κύματος για το φωτόνιο στην εξίσωση κύματος. Ωστόσο, αφού τώρα θέλουμε να λύσουμε τη συνολική σχετικιστική ενέργεια για ένα σωματίδιο με μάζα, πρέπει να αλλάξουμε ελαφρώς την εξίσωση κύματος. Αυτό συμβαίνει επειδή η εξίσωση κύματος δεν πρέπει να εφαρμόζεται πλήρως στο νέο μας $\Psi$ που περιγράφει σωματίδια και κύματα. Τώρα μπορούμε να επιστρέψουμε για έναν τελεστή για να πάρουμε την παραπάνω εξίσωση, και αυτός δίνεται από:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Επίλυση για Σωματίδια με Μάζα στην Εξίσωση Κύματος

Τώρα θέλουμε να κάνουμε μερικές προσεγγίσεις στην πλήρη ενέργεια που μόλις περιγράψαμε από $\mathsf{E}$ για ένα σωματίδιο με όρμη και μάζα. Ας ανατρέξουμε λίγο την τύπωση έτσι ώστε να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε μερικές προσεγγίσεις.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Ο στόχος αυτής της διαμόρφωσης είναι να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή $\sqrt{1 + x}$ επειδή αν πάρουμε μια Τέιλοριανή επέκταση αυτής της εξίσωσης παίρνουμε:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Όταν το $x$ είναι μικρό, η μόνη παράγωγη που παραμένει στην ανάπτυξη Taylor είναι η $O(1)$ . Στον τύπο ενέργειάς μας, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Μπορούμε να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι $p = mv \ll mc$ για κάθε πράγμα που δεν ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός (σας παρακαλώ βρείτε με αν βρείτε κάτι που δεν ικανοποιεί αυτό)! Έτσι, αυτή η παράγωγη μειώνεται σε:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

όπου

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Είναι η φυσική κινητική ενέργεια που βλέπουμε από τη φυσική της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Τώρα, επιστρέφοντας στη συνάρτηση κύματος από πριν, ας εισάγουμε αυτές τις νέες πληροφορίες και ας δούμε τι παίρνουμε:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ο λόγος που έχουμε τώρα χωρίσει τους δύο όρους είναι ότι ο πρώτος όρος $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (βασιζόμενος απλώς στην ταχύτητα του φωτός) θα είναι σημαντικά πιο ταλαντώδης από τον δεύτερο όρο και δεν περιγράφει απαραίτητα το σωματίδιο-κύμα που αναζητούμε. Για να εδραιώσουμε αυτή τη διαφορά, ας ορίσουμε τώρα ότι:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Όπου έχουμε τώρα ορίσει:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ας πάρουμε τώρα την πρώτη και δεύτερη μερική παράγωγο του $\Psi(\vec{r},t)$ και ας δούμε τι παίρνουμε. Η πρώτη:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

και η δεύτερη:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Πρέπει να θυμόμαστε ότι ο τελευταίος όρος με τη δεύτερη μερική παράγωγο είναι αρκετά μικρός λόγω του γεγονότος ότι δεν υπάρχει $c^2$ όρος που φέρει την τάξη μεγέθους, και συνεπώς, με προσέγγιση, η πραγματική δεύτερη παράγωγος δίνεται από:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Ο παράδοξος λόγος που πήραμε αυτές τις δύο μερικές παραγώγους ήταν ώστε να τις εισάγουμε σε αυτή την εξίσωση που περιγράφει την κύμα-συνάρτηση προηγουμένως:

Αλλά πριν το κάνουμε αυτό, ας αναδιατάξουμε αυτή την τύπο και θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση που ονομάζεται εξίσωση Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Τώρα μπορούμε εύκολα να γενικεύσουμε αυτό σε τρεις διαστάσεις μετατρέποντας αυτή την εξίσωση σε διανυσματική εξίσωση (όλα τα βήματα που έκαναμε για να πάρουμε αυτή την τύπο θα εφαρμοστούν για όλες τις $x,y$ και $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως η εξίσωση Klein-Gordon για ένα ελεύθερο σωματίδιο. Αυτή η εξίσωση είναι σχετικιστική, καθώς ο όρος ενέργειας της δεν κάνει τις υποθέσεις που έκαναμε με τη μικρή $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Τώρα, ας απλοποιήσουμε την εξίσωση Klein-Gordon (πηγαίνοντας πίσω σε 1-D και εφαρμόζοντας το νέο τύπο ενέργειας) και θα φτάσουμε στην πολυπεριμενομένη Εξίσωση Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ας εισάγουμε τη νέα μας κυματοσυνάρτηση δεδομένη από $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ όπου γνωρίζουμε πώς φαίνονται οι πρώτες και δεύτερες παραγώγοι σε σχέση με το χρόνο:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Τώρα όλο το που πρέπει να κάνουμε είναι μια απλή αναδιάταξη για να πάρουμε την Εξίσωση Schrödinger σε τρεις διαστάσεις (σημειώστε ότι $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Όπου μπορεί να προβληθεί το επιχείρημα με την παρατήρηση της ομοιότητας του κλασικού Hamiltonian, ότι η φράση στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης περιγράφει τη συνολική ενέργεια της κυματοειδούς συνάρτησης.

Στην παραγωγή μας, υποθέσαμε ότι $V(\vec{r},t)$ είναι 0 και ότι λήφθηκε υπόψη μόνο η κινητική ενέργεια. Γνωρίζουμε ότι το δυναμικό είναι απλά προσθετικό σε σχέση με τις χωρικές του μεταβολές και, επομένως, η πλήρης Εξίσωση Schrödinger σε τρεις διαστάσεις με δυναμικό δίνεται από:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Αυτό είναι! Έχουμε την πλήρη Εξίσωση Schrodinger για ένα μη σχετικιστικό σωματίδιο σε τρεις διαστάσεις. Αν σας άρεσε αυτό το άρθρο και θα θέλατε να δείτε περισσότερα τέτοια, παρακαλούμε στείλτε μας email για να μας ενημερώσετε.

Παραπομπές

Gasiorowicz, S. (2019). Κβαντική Φυσική. 2η έκδ. Καναδά: Hamilton Printing, σελ. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Κβαντική Φυσική. 3η έκδ. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. και Volkmer, S. (2019). Πώς να Παράγετε την Εξίσωση Schrodinger. [online] arXiv.org. Διαθέσιμο στο: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Επισκευθεί στις 29 Μαΐου 2019].
Shankar, R. (1980).Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής. 1η έκδ. New York: Springer Science, σελ. 1-40.

Δήλωση: Σεβαστείτε την αρχική, τα καλά άρθρα αξίζουν να μοιράζονται, εάν υπάρχει παραβίαση πνευματικών δικαιωμάτων παρακαλώ επικοινωνήστε για διαγραφή.

Δώστε μια δωροδοσία και ενθαρρύνετε τον συγγραφέα

Θέματα:

Φυσικά Άρθρα

Κβαντική Θεωρία

Σχετικά με τους εμπειρογνώμονες

Electrical4u

China