Schrödinger Dalga Denklemi: Türetimi ve Açıklaması

Electrical4u

Alan: Temel Elektrik

China

Schrödinger Denklemi Nedir?

Schrödinger denklemi (ayrıca Schrödinger dalga denklemi olarak da bilinir) bir kısmi diferansiyel denklem olup kuantum mekanik sistemlerin dalga fonksiyonu aracılığıyla dinamiklerini tanımlar. Bu sistemlerin yörüngesi, konumu ve enerjisi Schrödinger denkleminin çözülmesiyle elde edilebilir.

Bir altatom parçacığı için tüm bilgi bir dalga fonksiyonunda kodlanır. Dalga fonksiyonu, Schrödinger denklemine uygundur ve bu denkleme göre çözülebilir. Schrödinger denklemi, lisans düzeyinde fiziğe giriş derslerinde sunulan temel aksiyomlardan biridir. Ayrıca, elektrik mühendisliği ders programlarında yarı iletkenlere uygulanan Schrödinger denklemi de giderek daha yaygın hale gelmektedir.yarı iletkenler.

Ne yazık ki, her iki durumda da sadece bir postülata olarak belirtilir ve hiçbir anlamlı şekilde türetilmez. Bu oldukça hayal kırıklığına uğratan bir durumdur çünkü lisans düzeyinde öğretilen kuantum fiziğinin neredeyse her şeyi bu temele dayanır. Bu makalede, denklemi sıfırdan türeteceğiz ve yapacağım her adımı göstermeye çalışacağım.

İlginci bir şekilde, yapacağımız argümanlar, Schrödinger'in kendi zamanında yaptığı düşünüş şekli ile aynıdır. Hatırlatma olarak, burada, zamana bağlı Schrödinger denklemi üç boyutta (relativistik olmayan bir parçacık için) tüm güzelliğiyle:

Kuantum Fiziği ve Dalgalar

Herkes klasik fiziği eleştirmeyi sever – ancak bize oldukça uzun bir süre hizmet etmiştir (Newton mekaniği, Maxwell denkleleri ve özel görelilik gibi).

Ancak, önceki makalelerimizde gösterildiği gibi, yüzyılın başındaki deneysel sonuçlar, o dönemde bilinen fiziğe kıyasla çok parlayıcı değildi. iki kesiğin deneyi ve bir dereceye kadar fotoelektrik etki, o dönemde bilinen anlayışla iyi uyuşmayan deneysel sonuçlardır.

Ama neden? Basitçe ifade edilecek olursa, klasik fiziğin iki varlığı vardır, parçacıklar ve dalgalar. Bu iki varlığın özellikleri şu şekilde tanımlanabilir:

Parçacıklar: yerleştirilmiş enerji ve momentum paketleri ile kütle $m$ .

Dalgalar: uzayda yayılmış ve zamanda seyahat eden pertürbasyonlar. Bunlar, dalga fonksiyonu $\psi(\vec{r}, t)$ ile uzay ve zamandaki dalga hakkında tanımlanabilir.

Bu, Fotoelektrik Emissiyon makalemizde bulduğumuz şaşırtıcı sonuçlara getiriyor bizi. Elektronun bu iki özelliğe de sahip olduğunu bulduk. Bu, o dönemde bilinen anlayışla tamamen çelişmektedir çünkü iki varlık karşılıklı olarak dışlamalı kabul ediliyordu.

Açıkçası çılgın bir durum değil mi? Bu dönemde, fizikte bazı gerçekten etkili isimler bilgi boşluğu olduğuna dair farkına vardı ve Louis de Broglie'nin bir parçacığın momentumunu (parçacık için) bir dalga boyuna (dalgalar için) ilişkilendirerek büyük bir ilerleme sağlandı:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ayrıca, Photoelectric Emission sayesinde, fotonların (hala parçacık mı dalgası mı olduğundan emin değiliz) enerji absorpsiyonu ve yayılımının şu şekilde verildiğini biliyoruz

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Burada $\hbar = h/2\pi$ ve $\omega=2\pi f$ . Şimdi Schrödinger'in ünlü denklemini türetmeden önce olduğu aşamadayız. Peki nereden başlayalım? Elektronlar ve fotonlar dalga benzeri ve parçacık benzeri davranış gösteriyor. Tüm dalgaların itaat etmesi gereken evrensel bir denklemden başlamak ve ardından parçacık fiziği ekleyerek bir sonucun olup olmadığını görmek yanlış olmaz.

Dalga Denklemi Nasıl Türetilir

Bozulma $\psi(\vec{r}, t)$ dalga denklemine uymaktadır. Hatırlayın, elektron dalga benzeri davranış gösterir ve elektromanyetik yük içerir. Bu nedenle, şimdilik sadece elektromanyetik alanlara bakalım. Bu senaryoda, Maxwell denklemleri geçerlidir ve aşağıda tüm görkemleriyle yer alıyorlar:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Burada $c$ vakumda ışık hızıdır, $\vec{E}$ elektrik alanıdır ve $\vec{B}$ manyetik alandır. Yukarıdaki ilk denklem, elektrik jeneratörlerinin, endüktörlerin ve transformatörlerin temelidir ve Faraday Kanunu'nun somutlaşmasıdır.

Ayrıca, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ denkleminin bir sonucu olarak, herhangi bir manyetik monopolün var olmadığını anlarız. Bu denklemlerin türevini anlamak ve onların fiziksel anlamını kavramak, kapsamlı bir mühendis yapar. Şimdi, Dörtlüncü Denklem'e curl uygulayarak herhangi bir elektromanyetik dalga için geçerli olacak denklemi türetelim:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Şimdi, çok tanıdık (ve kolay kanıtlanabilir) bir vektör özdeşliğini kullanabiliriz: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ burada $T$ bazı yer tutucu vektördür. Şimdi bu küçük denklemimize uygulayalım:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Burada elde ettiğimiz sonuç, üç boyutta elektromanyetik dalga denklemidir. Bu denklem sadece elektromanyetik dalgaların yanı sıra akustik, sismik dalgalar, ses dalgaları, su dalgaları ve akışkan dinamiği gibi alanlarda da ortaya çıkmıştır.

Schrödinger Denklemini Nasıl Türetiriz

Dalga Denkleminin Düz Dalga Çözümleri

1 boyutlu dalga denkleminin (sonrasında kolayca 3 boyuta genelleştirebilirsiniz, çünkü mantık tüm $x, y$ , ve $z$ boyutlarında geçerli olacaktır):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Bu, aslında ikinci derece kısmi diferansiyel bir denklem olup düz dalga çözümleri ile sağlanır:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (kendiniz kontrol edin!). } \end{equation*}$

Normal dalga mekaniğinden bildiğimiz üzere $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ ve $\omega = 2 \pi f$ . Şimdi, Einstein ve Compton'un çalışmalarından yararlanarak, bir fotonun enerjisinin $\mathsf{E} = \hbar \omega$ olduğu gerçeğini yerine koyalım ve de-Broglie'den $p = h / \lambda = \hbar k$ olduğunu kullanalım. Düzlem dalga çözümümüzü daha fazla işlemek için:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Bu, bir fotonu tanımlayan düzlem dalga denklemidir. Bu denklemi dalgamızın denkleminde yerine koyup ne bulduğumuzu görelim!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Başka bir deyişle, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ bu çok iyi çünkü özel görelilikten biliyoruz ki, kütlesi olan göreceli bir parçacığın toplam enerjisi $m$ şu şekildedir:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Şimdiye kadar sadece kütlesi olmayan fotonla ilgilenmişizdir $(m=0)$ ! Şimdi anlayışımızı genişletelim ve kütlesi olan bir parçacık (örneğin elektron) için toplam göreceli enerjiyi uygulayalım ve denklemin adını $\Psi$ olarak değiştirelim çünkü biz dahiüzleriz.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Bu denklem, fotonun düzlemsel dalga denklemini dalga denklemine yerleştirerek elde edilmiştir. Ancak, şimdi kütlesi olan bir parçacık için toplam göreceli enerjiyi çözmek istediğimizden, dalga denklemini biraz değiştirmemiz gerekiyor. Bu, yeni $\Psi$ 'ya tamamen uymaması gerektiği için. Şimdi yukarıdaki denklemi elde etmek için bir operatör bulabiliriz ve bu operatör şu şekilde verilir:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Kütleli Parçacıklar için Dalga Denklemi Çözümü

Şimdi, $\mathsf{E}$ ile tanımlanan tam enerji üzerinde bazı yaklaşımlar yapmak istiyoruz. Formülü biraz yeniden düzenleyelim ki bazı yaklaşımları kullanabilelim.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Bu işlemin amacı denklemi $\sqrt{1 + x}$ formunda elde etmek çünkü bu denklemin Taylor Serisi açılımını alırsak:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Küçük olduğunda, Taylor açılımında kalan tek bölüm $O(1)$ terimidir. Enerji formülümüzde, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . $p = mv \ll mc$ her şey için bu ifade, ışık hızına ulaşmayan şeyler için geçerlidir (bu koşulu karşılamayan bir şey bulursanız lütfen bana bildirin)! Bu nedenle bu terim aslında şu şekilde azalır:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Burada

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Lisede gördüğümüz normal kinetik enerjidir. Şimdi önceki dalga fonksiyonuna geri dönelim, bu yeni bilgileri girdiğimizde ne elde edeceğimize bakalım:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

İki terimi şimdi ayırdığımız neden, ilk terim $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (tekrar sadece ışık hızına dayanarak) ikinci terime göre çok daha salınımlı olacak ve aradığımız parçacık-dalga varlığını gerekli ölçüde açıklamayabilir. Bu farkı pekiştirmek için şu anlayışı oluşturalım:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Şimdi tanımladığımız:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Şimdi $\Psi(\vec{r},t)$ 'nin birinci ve ikinci kısmi türevlerini alalım ve ne elde ettiğimize bakalım. İlki:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

ve ikincisi:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Son terim olan ikinci kısmi türevin oldukça küçük olduğunu unutmamalıyız, çünkü bu terimde $c^2$ büyüklüğündeki bir terim bulunmadığı için, yaklaşık olarak gerçek ikinci türev şu şekilde verilir:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Bu iki kısmi türevi aldığımız gizli sebep, daha önce belirttiğimiz dalga fonksiyonunu tanımlayan bu denklemde onları kullanabilmek içindi:

Ancak bunu yapmadan önce, bu formülü yeniden düzenleyelim ve Klein-Gordon denklemi adında bir denklemle sonuçlanacağız:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Şimdi bu denklemi 3 boyuta kolayca genelleştirebiliriz, bu denklemi bir vektör denklemine dönüştürerek (bu formülü türetmek için aldığımız tüm adımlar tüm $x,y$ ve $z$ için geçerli olacaktır.)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Bu denklem, serbest bir parçacık için Klein-Gordon denklemi olarak bilinir. Bu denklem, enerji terimiyle ilgili yaptığımız küçük $\sqrt{1+x}$ Taylor açılımı varsayımlarını yapmadığından nispeten dördüncü boyutlu olup, relativistik bir denklemdir.

Şimdi, Klein-Gordon denklemini basitleştirelim (1-D'ye geri dönüp yeni enerji formülümüzü uygulayarak) ve uzun zamandır beklenen Schrödinger Denklemine ulaşacağız:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Verilen yeni dalga fonksiyonumuzu $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ kullanarak, zamanın birinci ve ikinci türevlerinin nasıl göründüğünü biliyoruz:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Şimdi yapmamız gereken şey, Schrödinger Denklemi'nin üç boyutta elde edilmesi için basit bir yeniden düzenleme (not: $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Denklemin sağ tarafındaki terimin dalga fonksiyonunun toplam enerjisini tanımladığı argüman, klasik Hamiltonyen'in benzerliğine dikkat çekerek yapılabilir.

Türetimimizde, $V(\vec{r},t)$ 'nin 0 olduğunu ve sadece kinetik enerjinin hesaba katıldığını varsaydık. Potansiyelin uzaysal varyasyonlarına göre tamamen eklenen olduğunu biliyoruz ve bu nedenle, potansiyeli olan üç boyutta tam Schrödinger Denklemi şu şekilde verilir:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

İşte bu kadar! Bu makale, üç boyutta non-relativistik bir parçacık için tam Schrödinger denklemi türetildi. Eğer bu yazıyı beğendiyseniz ve daha fazlasını görmek isterseniz, lütfen bize e-posta göndererek bildirin.

Atıflar

Gasiorowicz, S. (2019). Kuantum Fiziği. 2. baskı. Kanada: Hamilton Printing, ss.1-50.
Griffiths, D. (2019). Kuantum Fiziği. 3. baskı. Üniversite Baskı Evi, Cambridge: Cambridge Üniversitesi Basımevi.
Ward, D. ve Volkmer, S. (2019). Schrodinger Denklemi Nasıl Çıkarılır. [çevrimiçi] arXiv.org. Erişim adresi: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Erişim tarihi: 29 Mayıs 2019].
Shankar, R. (1980).Kuantum Mekaniğinin İlkeleri. 1. baskı. New York: Springer Bilim, ss.1-40.

Bildiri: Orijinali saygıya alın, iyi makaleler paylaşılabilir, eğer kopya hakkı iaşığı varsa lütfen silme isteyin.

Yazarı Ödüllendir ve Cesaretlendir

Konular:

Fizik Makaleleri

Kuantum Teorisi

Uzmanlar hakkında

Electrical4u

China