ස්ක්‍රෝඩින්ග් වේල් සමීකරණය: නිශ්චායනය සහ විස්තරය

Electrical4u

කොටස: මුල් ප්‍රදාන උත්තරීය ප්‍රකාශය

China

ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය යනු කුමක්ද?

ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය (එය ෂ්‍රොඩින්ජර්ගේ තරංග සමීකරණය ලෙසද දැන්වේ) යනු තරංග ශ්‍රිතය හරහා ප්‍රමාණවාචි යාන්ත්‍රික පද්ධතිවල ගතිකාව විස්තර කරන ආංශික අවකලන සමීකරණයකි. මෙම පද්ධතිවල ගමන් මාර්ගය, ස්ථානගත කිරීම සහ ශක්තිය ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය විසඳීමෙන් ලබා ගත හැක.

උප-අඹුරු අංශුවක් සඳහා සියලු තොරතුරු තරංග ශ්‍රිතය තුළ කේතාංකනය කර ඇත. තරංග ශ්‍රිතය සෑම විටම ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය සමග සාපේක්ෂව සෘජු වන අතර එය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකිය. ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය උපාධි භෞතික විද්‍යාවේදී හඳුන්වා දෙන මූලික අවධාරණයන්ගෙන් එකක් වේ. එය අර්ධ සන්නායක වලට අදාළ වන බැවින් විශ්ව විද්‍යාලවල විදුලි ඉංජිනේරු විෂය නිර්දේශය තුළ ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය හඳුන්වා දීම වැඩි වශයෙන් පොදු වී යන්නේ ය.

අවලංගු ලෙස, එය දෙකොට ප්‍රකාශයක් ලෙස පමණක් දක්වා ඇති අතර කිසිසේත් අර්ථවත් ආකාරයකින් ජනනය නොකෙරේ. උපාධි භෞතික විද්‍යාවේ ඉගැන්වෙන අනෙකුත් සියල්ලම මෙම පදනම මත ගොඩනැගී ඇති බැවින් මෙය ඉතා අසතෘප්තිකර වේ. මෙම ලිපියේදී, අපි සමීකරණය මුල සිටම ජනනය කරන්නෙමු සහ මම සෑම පියවරක්ම පෙන්වීමට හැකි උපරිමය උත්සාහ දරන්නෙමි.

අමුතුවේ, අපි සැලකිය යුතු තර්ක ශ්‍රොඩින්ජර් විසින්ම ගත් ඒවාය, එබැවින් ඔහුගේ කාලයේ මහා පුද්ගලයෙකු විසින් කරන චින්තන රේඛා ඔබට දැක ගත හැකිය. මතක තබා ගන්න, මෙය කාලය සමඟ සම්බන්ධ ෂ්‍රොඩින්ජර් සමීකරණය වන අතර (අනාපේක්ෂක අංශුවක් සඳහා) එහි සියලු සුන්දරත්වය සමඟ 3-මාන (3-dimensions) වලදී:

ප්‍රමාණවාචි භෞතික විද්‍යාව සහ තරංග

සෑම කෙනෙකුම සාම්ප්‍රදායික භෞතික විද්‍යාව ප්‍රතික්ෂේප කිරීමට කැමතිය (නිව්ටන්ගේ යාන්ත්‍ර විද්‍යාව, මැක්ස්වෙල්ගේ සමීකරණ, සහ විශේෂ සාපේක්ෂතාව යනාදිය ගැන සිතන්න).

කෙසේ වෙතත්, අපගේ පෙර ලිපිවල දක්වා ඇති පරිදි, එම කාලයේ දැනට පවතින භෞතික විද්‍යාව සමඟ සැසඳූ විට සියවස් අවසන් භාගයේ දී අත්හදා බැලීමේ ප්‍රතිඵල රුචිකර නොපෙනී ය. ද්විත්ව ස්ලිට් පරීක්ෂණය සහ ආලෝක විද්‍යුත් ආචරණය පිළිබඳ අපගේ ලිපි මගින් ඉදිරිපත් කරන අත්හදා බැලීමේ ප්‍රතිඵල එම කාලයේ දැනට පවතින අවබෝධය සමඟ හරිහැටි ගැලපීමට අසමත් විය.

නමුත් ඇයි? සරලව කිවහොත්, සාම්ප්‍රදායික භෞතික විද්‍යාවේ දී ද්‍රව්‍යාංශ සහ තරංග යන දෙයින් පවතී. මෙම දෙයින් එක් එක් ස්වභාවය පහත පරිදි විස්තර කළ හැක:

ද්‍රව්‍යාංශ: ස්කන්ධයක් සහිත බලශක්තියේ හා ගම්‍යතාවයේ ස්ථානීය ඇසුරුම් $m$ .

තරංග: කාලයත් සමඟ ගමන් කරන අවකාශය පුරා ව්‍යාප්ත වූ බාධා. ඒවා තරංග ශ්‍රිතයක් $\psi(\vec{r}, t)$ එනම් අවකාශය හා කාලය පුරා තරංගය විස්තර කරන ශ්‍රිතයක් මගින් විස්තර කළ හැක.

මෙය අපව අපගේ ආලෝක විද්‍යුත් විමෝචනය ලිපියේ හමුවූ අපූරු ප්‍රතිඵල වෙත ගෙන යයි. අප සොයාගත්තේ ඉලෙක්ට්‍රෝනය මේ දෙකම ගුණාංග පෙන්වන බවයි. මෙම දෙයින් එකක් පමණක් පවතින බව සැලකූ එම කාලයේ දැනට පවතින අවබෝධය සම්පූර්ණයෙන්ම ප්‍රතිවිරුද්ධ විය.

අහඹු නේද? මේ වෙලාවේ භෞතික විද්‍යාවේ බලපෑම් සහිත පුද්ගලයන් කිහිප දෙනෙක් දැනුමේ පරතරයක් පවතින බව අවබෝධ කර ගැනීමට පටන් ගත්තේ ය. ලූවිස් ඩි බ්‍රොයිල් විසින් ද්‍රව්‍යාංශයක් සඳහා ගම්‍යතාව (p) තරංගයක් සඳහා තරංග දිග (λ) සමඟ සම්බන්ධ කළ විට විශාල ප්‍රගතියක් ඇති විය:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

මෙහිදී Photoelectric Emission මගින් අපට තවත් සංකීර්ණ කොටසක් පිළිබඳ දැනගැනීමට ලැබේ. එය ප්‍රකාශ ආකෘති උල්ලේඛනය (සූදාරෝ යුගලය හෝ ටන් ලෙස නිර්ණය කිරීම පිළිබඳ අවබෝධය ඇතුලත්) පිළිබඳ අවබෝධය ලබා දෙයි.

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

මෙහිදී $\hbar = h/2\pi$ සහ $\omega=2\pi f$ . අපි දැන් Schrödinger විසින් රාජ්‍ය සමීකරණය නිර්මාණය කිරීමට පෙර දැක්වෙන අවස්ථාවට පිහිටා ඇත. මෙහිදී අපි කොහේ ආරම්භ කරන්නේද? මෙහිදී අපි ඉලෙක්ට්‍රොන් සහ ප්‍රකාශ ආකෘති යන දෙකම ටන් සහ ප්‍රසාරණ ආකෘති වැනි විද්‍යාත්මක ආකෘති පෙන්වා දෙන බව දැනගැනීමට ලැබේ. මෙහිදී අපි අල්ලා ගත හැකි තියෙන අවස්ථාවක් පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය. මෙහිදී අපි සියලු ප්‍රසාරණ අනුගමනය කළ යුතු ප්‍රකාශ සමීකරණයක් ආරම්භ කරන්නේ නැතහොත් ටන් විද්‍යාත්මක ප්‍රකාශ ඇතුලත් කිරීමට පෙර දැක්වෙන අවස්ථාවක් පිළිබඳ අවබෝධය ලබා දෙයි.

කොහේ ප්‍රසාරණ සමීකරණය ලබා දැක්වීමට යන්නේ

ප්‍රසාරණය $\psi(\vec{r}, t)$ ප්‍රසාරණ සමීකරණයට අනුගත වේ. මෙහිදී ඉලෙක්ට්‍රොන් ප්‍රසාරණ ආකෘති පෙන්වා දෙයි සහ එය ප්‍රකාශ ආකෘති ප්‍රසාරණයකි. මෙහිදී අපි Maxwell සමීකරණ යොදා ගත හැකිය. මෙහිදී මෙම සමීකරණ පහත පරිදි පෙන්වා දෙයි:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

යේ තුළ ස්වාභාවික ආලෝකයේ ප්‍රවේගයද $c$ එහි රූපමය ක්ෂේත්‍රයද $\vec{E}$ හා උණුසුම ක්ෂේත්‍රයද $\vec{B}$ යන්නෙන් දැක්වේ. මෙම ප්‍රථම සමීකරණය බොහෝ ඉලෙක්ට්‍රික ජනක, ඉන්ඩක්ටර් සහ ට්‍රැන්ස්ෆෝර්මර් වල පාදක වන අතර එය ප්‍රකාශයේ නියමයේ ප්‍රතිඵලයයි.

තවද $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ මෙම සමීකරණයේ අනු්පූර්වයක් ලෙස පිළිගැනේ ප්‍රකාශයේ එක් පෝලයක් නැති බවයි. මෙම සමීකරණ ප්‍රකාශයේ සාධනය සහ එය පිළිබඳ ප්‍රකාශය විභාග කිරීම සහ එය පිළිබඳ ප්‍රකාශය සහිත නිර්මාණය කිරීම විශාල අරමුණු ඇඟවූ ඉංජිනේරුවන් සඳහා ප්‍රමාණයක් වන අතර එය අවශ්‍ය ප්‍රකාශයකි. දැන් අපි ප්‍රකාශ තරඟයක් පිළිබඳ අනුපාතය ලබා ගැනීමට සමීකරණය 4 ට ප්‍රකාශයේ ප්‍රකාශයක් යොදන්න:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

දැන් අපි ප්‍රකාශයේ ප්‍රකාශයක් ලෙස ප්‍රකාශයේ ප්‍රකාශයක් භාවිතා කළ හැක්කේ මෙය සාධනය කළ හැක්කේ ප්‍රකාශයේ ප්‍රකාශයක් ලෙස: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ මෙහිදී $T$ යන්න ක්ෂේත්‍රයක් ලෙස පිළිගැනීමයි. දැන් අපි මෙම සමීකරණය භාවිතා කරමු:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

මෙත්තන ලබාගත් ප්‍රතිඵලය වන්නේ තුළු දිශාවලදී සිදු කරන ලද ආකෘති ප්‍රසාරණ තරංග සමීකරණයයි. මෙම සමීකරණය ආකෘති ප්‍රසාරණ තරංග පමණක් නොවේ යැයි පෙන්වා දෙයි – එය ධ්වනියේදී, තුළුප්‍රසාරණ තරංග, සෝන්ය තරංග, වායු තරංග, සහ උදාහරණ ගැටළුවලදීද දූෂ්ඨ ප්‍රකාශ කරනු ලබන අතර ප්‍රවාහන ප්‍රක්‍රියාවලදීද දූෂ්ඨ පෙනී ඇත.

ශ්‍රෝඩින්ග් සමීකරණය ලබා ගැනීමේ ක්‍රමය

තරංග සමීකරණයට තිබෙන තල තරංග පිළිතුරු

1-අක්ෂයේ පිළිබඳ තරංග සමීකරණය (ඒක අක්ෂයේදී පසුව 3-අක්ෂ ට ප්‍රසාරණය කිරීම ඉතා පහසුය) මෙය පිළිබඳ පිළිතුරු ප්‍රකාශ කරනු ලබන අතර, එය සියලු අක්ෂ පිළිබඳ ප්‍රකාශ කරනු ලබන අතර, $x, y$ , සහ $z$ අක්ෂ පිළිබඳ ප්‍රකාශ කරනු ලබන අතර, එය පිළිබඳ සමීකරණය පහත පරිදි යැයි පෙන්වා දෙයි:

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

මෙය මාර්ගික අවකලන සමීකරණයකි සහ එය තල තරංග පිළිතුරු සමඟ සම්පූර්ණ වේ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

මෙහි අපි සාමාන්‍ය තරඟ ප්‍රක්‍රියාවේදී දැනගෙන යනු ලැබේ $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ සහ $\omega = 2 \pi f$ . එimdi, අපි ඉන්ස්ටයින් සහ කොම්ප්ටන්ගේ කරුණුව භාවිතා කරමු සහ එන ප්‍රකාශ ක්‍රමයේ බලය විසින් පහත පරිදි ආදේශ කිරීමට පිළිතුරු ලැබෙනු ලැබේ $\mathsf{E} = \hbar \omega$ සහ ඩී බ්‍රෝග්ලියෙන් $p = h / \lambda = \hbar k$ . අපි මෙහි අපේ තරඟ ප්‍රකාශ ක්‍රමය ට අදාළ කිරීමට පහත පරිදි පිළිතුරු ලැබෙනු ලැබේ:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

මෙය ප්‍රකාශ ප්‍රකාශකයක් පිළිබඳව දැක්වෙන තරඟ ප්‍රකාශ ක්‍රමයයි. අපි මෙම ප්‍රකාශ ක්‍රමය අපේ තරඟ ප්‍රකාශ ක්‍රමයට ආදේශ කරමු සහ අපට ලැබෙනු ලැබෙනු ලැබෙනු ලැබෙනු ලැබේ!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

මෙහිදී, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ මෙය සාර්ථකයි, එයට කාරණයව අපි සුත්‍ර සැලකිය හැකියි කොටස් විශේෂ පිළිබඳ සාපේක්ෂ විද්‍යාවේ මූලධාරනයන්ට අනුව තාර්කික ප්‍රමාණයක් සහිත ප්‍රතික්‍රියා දෛශිකයක් සඳහා සම්පූර්ණ ඉන්දුම $m$ ලෙස පහත පරිදියි:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

දැන් අපි පහත පරිදි ප්‍රකාශ කරන්නේ පියුණු සඳහා පමණක් වන අතර, එය ප්‍රතික්‍රියා දෛශිකයක් නොවේ $(m=0)$ ! එනම්, අපි අපගේ විශේෂ පිළිගැනීම පිළිබඳ ප්‍රතික්‍රියා දෛශිකයක් (උදාහරණයක් ලෙස ඒලෙක්ට්‍රෝනය) සඳහා සම්පූර්ණ ඉන්දුම යොදා ගැනීමට අපගේ සමීකරණයේ නම වෙනස් කරමු $\Psi$ එය අපි ප්‍රසිද්ධ පිළිගැනීමේ ප්‍රතිඵලයකි.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

මෙම සමීකරණය පියුණු සඳහා තරඟ ප්‍රස්තාර සමීකරණය තරඟ සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් ලැබේ. නමුත්, අපි දැන් ප්‍රතික්‍රියා දෛශිකයක් සඳහා සම්පූර්ණ ඉන්දුම සඳහා නියතය සඳහා විසඳුම ලබා ගැනීමට අවශ්‍ය නිසා, අපි තරඟ සමීකරණය පහසුවෙන් වෙනස් කළ යුතුය. එය නිසා අපගේ නව වශයෙන් $\Psi$ සඳහා තරඟ සමීකරණය සාර්ථකයි. අපි දැන් පහත සමීකරණය සඳහා නියතයක් විසඳුම සඳහා ප්‍රතික්‍රියාකරුවක් පිළිබඳ අපි ප්‍රතික්‍රියා කළ හැකිය, එය පහත පරිදියි:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

තරංග සමීකරණයේ ප්‍රතිපදන සහිත ප්‍රස්ථාර විස්තාර සඳහා විසඳුම්

අපි දැන් අපිට පෙන්වූ සම්පූර්ණ ඉන්පුව පිළිබඳ ක්‍රමානුකූල උපකල්පන කිහිපයක් කිරීමට අවශ්‍යයි $\mathsf{E}$ ප්‍රස්ථාරය සහ ප්‍රතිපදනය සහිත කොටසක් සඳහා. අපි සමීකරණය න්‍යාසයේ ප්‍රතිපදන ක්‍රමානුකූල උපකල්පන කිරීමට සැලකිය යුතුය.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

මෙම සංක්‍රීයාවේ මූලික උදෙස්කම සමීකරණය $\sqrt{1 + x}$ ලෙස ප්‍රකාශ කිරීමයි එය ප්‍රකාශ කිරීමේදී අපි Taylor Series expansion ලෙස ප්‍රකාශ කළ විට අපට ලැබෙනු ඇත:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

මූලද්‍රව්‍ය වේගය අඩු වන විට, ටේලර් ප්‍රසාරණයේ ඇති අවසාන කොටසක් පමණක් පවතී, එය $x$ යන පදයයි. මෙහිදී, බලශක්ති සූත්‍රයේ, $O(1)$ පදයයි. බලශක්ති සූත්‍රයේදී, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . එයට අනුව, $p = mv \ll mc$ ලෙස පිළිවෙලින් පැවසිය හැකිය (උල්ලේ ප්‍රකාශ වේගයට නොසමාන වන සියලු ද්‍රව්‍ය සඳහා). එබැවින්, මෙම පදය පහත ආකාරයට පැහැදිලි කළ හැකිය:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

මෙහි

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

මෙය ජීවිත විද්‍යාවේ අප පිළිගන්නා පරමාණුක බලශක්තියයි. මෙතැනින් පැවසුම් විද්‍යාවේ පිළිවෙලින්, මෙම නව තොරතුරු පිළිබඳව ලියන්නේ මෙසේය:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

මෙන්න අපි දෙකොටසක් කරගත් නිසාදීම වශයෙන් පළමු අංගය $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (ලෝක උදෑසන ප්‍රවේගය මත පිහිටුවූ) දෙවන අංගයට වඩා ඇති ඉරාසිය සහිත වන අතර, අපි අවශ්‍ය කරන ප්‍රතිබිම් ට තැනීමට නොහැකිය. එබැවින් මෙම වෙනස පහත පරිදි නිරූපණය කරමු:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

මෙහි අපි අනුව නිරූපණය කරමු:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

දැන් $\Psi(\vec{r},t)$ ප්‍රථම හා දෙවැනි අංශික අවකලනයන් ලබා ගැනීමට යමු. පළමු අවකලනය:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

දෙවන අවකලනය:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

මෙහිදී අපට සැලකිය යුත්තේ දෙවන පොදු අවකලනය සහිත අවසාන පදය නියතයෙන්ම කුඩා බවයි, එය පිළිබඳව නිරූපණය කරන්නේ මෙම පදය විශාලත්වයේ ප්‍රතිඵලයක් ඇති නිසායි. එයට පිළිවෙලින්, අනුමානයක් ලෙස, දී ඇති අවකලනය පහත ආකාරයෙන් දැක්විය හැකිය:

$c^2$ $\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

මෙම දෙක් පොදු අවකලනයන් අප ඉතා නිරෝධයෙන් අවධානය කළ නිසාත් අපට මෙම සින්දු ප්‍රස්තාරය සැලකීමට අවශ්‍ය වූයේ:

ගමන් කරන්නට පෙර, අපට මෙම සූත්‍රය පැවැත්වීමට අවශ්‍යය. එය පහත ආකාරයෙන් සූත්‍රයක් ලෙස දැක්විය හැකිය, එය ක්ලයින්-ගොඩන් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

දැන් අපි මෙම සමීකරණය තුළ පරිවර්තනය කිරීමෙන් එය තුළ පරිවර්තනය කළ විට අපි එය තුළ පරිවර්තනය කළ විට අපි එය තුළ පරිවර්තනය කළ විට අපි එය තුළ පරිවර්තනය කළ විට (සෑම පියවරක්ම අපි මෙම සූත්‍රය ලබා ගැනීමට ලක්ෂ්‍ය කල අතර එය සියලු $x,y$ සහ $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

මෙම සමීකරණය නිරෝධනය කිරීමේ ක්ලයින්-ගොඩන් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම සමීකරණය ප්‍රකාශීය වන අතර එහි බලයේ පදය අපි කළ වැඩි ප්‍රමාණයේ අනුකලනය අනුව ප්‍රකාශ කරනු ලබනු නොවේ. $\sqrt{1+x}$ ටිලර් ප්‍රසාරණය.

දැන්, අපි ක්ලයින්-ගොඩන් සමීකරණය අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රකාශය සුලු කරමු (1-D වෙත ආපසු යොමු කරමු සහ අපිගේ නව බලයේ සූත්‍රය යොදා ගෙන) පසුව අපි යම් කාලයක් පසු ඇති ස්ච්‍රොඩින්ගර් සමීකරණයට පිළිගනු ලැබේ:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

අපිගේ නව උත්පාදනය ලෙස ලියනු ලබනු වායු ශ්‍රිතය $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ අපි කාලය පිළිබඳව පළමු සහ දෙවන අවකලනය අවබෝධයේ අනුව:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

මෙන් මුලින් කළ යුත් දේ හොඳින් වැඩීමක් පමණයි. තිරසාර දෘශ්‍ය සමීකරණය තුළදී (නොවන්න $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

මෙහි ප්‍රකාශය කළ හැකියි නිර්ණායක හැමිල්ටනියන් සමානතාවය නිරූපණය කිරීමෙන් ලැබේ. සමීකරණයේ දකුණු පසින් ප්‍රකාශය විශේෂාංගයේ සම්පූර්ණ ඉඩක් ප්‍රකාශ කිරීමයි.

අපගේ උපුටා ගැනීමේදී, අපි $V(\vec{r},t)$ යනු 0 වන බව සැකකීමට ඇති විය. එය පිළිබඳ ප්‍රකාශය කින් පමණක් ප්‍රකාශ කළ යුත්තේ යැයි අපි දැනගැනීමට ලැබේ. අපි දැනගැනීමට ලැබේ බවට අනුව, ප්‍රකාශය පුරා ප්‍රකාශ කළ ස්කන්ධය පිළිබඳ ප්‍රකාශය ලේසියෙන් එකතු කළ හැකිය. එය පිළිබඳ ප්‍රකාශය පුරා ප්‍රකාශ කළ තිරසාර දෘශ්‍ය සමීකරණය පහත පරිදි වේ:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

එයයි! අපි ලැබුණු අතර, මෙම ලිපිය පුරා ප්‍රකාශ කළ තිරසාර දෘශ්‍ය සමීකරණය පිළිබඳ ප්‍රකාශය ලේසියෙන් ප්‍රකාශ කළ යුත්තේ නොවැඩි බින්දුවක් සඳහා ප්‍රකාශ කළ යුත්තේ දෘශ්‍ය සමීකරණයයි. ඔබ මෙම ලිපිය ඇතුලත් කිරීමට අවශ්‍ය නම්, අපගේ ඉමේල් ලින් අපට දැන්විය හැකිය.

පිළිතුරු

Gasiorowicz, S. (2019). ක්වන්ටම් විද්යාව. 2න් ප්‍රතිලිපිය. කැනඩාව: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). ක්වන්ටම් විද්යාව. 3න් ප්‍රතිලිපිය. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. සහ Volkmer, S. (2019). Schrodinger සමීකරණය ලබා ගැනීමේ ක්‍රමය. [online] arXiv.org. පෙනී ඇත: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [ඉල්ලු කල දිනය 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).ක්වන්ටම් මෙකානිකයේ ප්‍රධානත්වය. 1න් ප්‍රතිලිපිය. New York: Springer Science, pp.1-40.

කියවීම: මුල් පිටුවට නියමයි, යාවත්කාලීන ලිපි බෙදීමට අගය ඇත, උසාවිය ඇත්තේ නම් එය මකා දැමීමට කියවීම කරන්න.

ලිපිකරුවාට පින්තූරයක් දී සහ උද්ධිපන්න කරන්න!

විශයයන්:

විද්යුත් පර්යේෂණ ලේඛන වලට අනුවර්තනයකරන්න.

ක්වන්ටම් න්යාය

විශේෂඥයන් පිළිබඳව

Electrical4u

China