ئیشتوەری وەڵامی شرۆدینگەر: ڕوونکردنەوە & تێبینی

Electrical4u

qalab: بەشی بنەڕەتی برق

China

Schrodinger Equation çi ye?

Schrodinger equation (jî Schrodinger’s wave equation) yek taybetmendîk diferansiyel e ku dinamîkên sistemên mekanikên kuantîkê bi rêzikên taybetî nîşan dide. Tey û derketina, pozîsyon û enerjiya wan sistemên dikarin bi serhevkirina Schrödinger equation bigihin.

Hemû agahdarî ji bo biryarîkîn subatomî di rêzik de hatî kod kirin. Rêzik hewcey bibe û bi serhevkirina Schrödinger equation bigihin. Schrödinger equation yek ji pîvanên themelî e ku di fizîkê astenanî de werin parastandin. Di navbera wê de guman da ku Schrödinger equation li ser silabên inzînerya elektrîk da di navberên zanistî yên unîversitî yên werin parastandin ji ber ku li ser semiconductors da amadey bibe.

Bênavdar, di her du rewşan de tenê wek postulat parastandin û nehatî şînekirin. Ev ê vêger e ku hemû çi di fizîkê kuantîkê astenanî de hatî ser buna evê binivîse. Li navbera vê makale, ew ekvacyon di sifir de were şînekevin û ez dikarin hek çi çawa xwe bikin.

Berî rengî, argumentên ku ew bikin wekî Schrödinger yê xwe hatîn. Ez dikarin hişkariyên ku qeyrêkên wekî wê hatîn bibin. Wekî bîran, li vir li vir ekvacyonê Schrödinger time-dependent di se demension de (ji bo particel non-relativistic) li vir dike:

Fizîkê Kuantîk û Rewan

Hemû min bêtirî dibexin bi fizîkê klasîk – lê ew ji bo meh dawîkê xwe ya dil (pîvand bia mechanics Newton, equations Maxwell, û relativity special).

Lêk şûnan li ser rakên paşîn, nîşaneyên taybetî yên pêşî çilînên xelîfetan nekar dihatin ku bi fizîkî yên din dîsa bêrî çêbik bînin. Rakên me li ser destpêka duyem û derdîgeriya efektiya fotoelektrîk nîşaneyên taybetî ne hatin ku bi têkiliyên zanînrawî yên din dîsa bêtir bînin.

Berî vê yekê, di fizîkîya klasîk de du encam hene, partîkl û dal. û Dal. Xusiyetên her du encaman dikarin bêrî navokariyan da bînin:

Partîkl: qonşeyên energy û momentum lek demek e ku beratên hene $m$ .

Dal: teriqeyên ku ji cihanê vegere û di deman de hilbijêre. Wan dikarin bêrî fonksiyona dal $\psi(\vec{r}, t)$ bi rêjiyên cihan û dema bînin.

Ev bizi gotiye bi nîşaneyên taybetî yên ku li ser rakên me li ser Efektî Fotoelektrîk hat gihîstin. Gihîstin ku elektron her du xusiyetan hene. Ev bi têkiliyên zanînrawî yên din dîsa bêtir bînin ku du encam hatin ku dihatin ku bi hev be nîşan bînin.

Naxwesta nê? Di vê deman de, hewceyên ku bi serbestî yên fizîkî yên nêzîkî hatin, veqetina mezin hat gihîstin ku Louis de Broglie momentum (ji bo partîkl) bi dalên (ji bo dal) re hat derbas kirin

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Da ne, ji bo Photoelectric Emission xwe bînim da ku absorpcion û emisyon ênferxan (hêliya nake yên ku partikela an vala bibin) wan berdewam deyîn dihewîne

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Yan $\hbar = h/2\pi$ û $\omega=2\pi f$ . Ez hûn hatin di serîkê Schrödinger deravî ye ku lêgerîna weşîrî ya wê çêkirî. Bêma li ku dest pê bikin? Xwe bînim da ku elektron û ênferxan didekan divê hejmarên vala û partikela bibin. Heç nabeji ku bi rêzikê universal ênîn dibêjin ku hemî valaya beşdar bêne û dero parastîn fizîka partikela bibin bila nav kirina netice.

Ji kerema xwe Rêzikê Vala Derkevin

Dahêja $\psi(\vec{r}, t)$ rezikê vala peyda dikin. Bînim da ku elektron didek divê hejmarên vala bibit û bi barka elektromagnetik e. Ji ber vê yekê, hêliyan digerin bi sahên elektromagnetik bibin. Li vê cihê, teoremên Maxwell bêne gêrkirin û ji ber vê yekê in:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Ku $c$ di çendiyay şewtîn di navçeyê de ye, $\vec{E}$ dişu di şewan elektrikî de ye û $\vec{B}$ dişu di şewan magnetîk de ye. Eqa zêdeyên herêmî yên di virguleyê de wek pêveka jêrbinên elektrik, induktoran û transformatoran da ku niha wêneyên Faraday an.

Daşê, yek ji nîşaneyên $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ku hewce dikin ku monoşên magnetîk tune. Têkeftina cûreyên wan û manî fizîkî yên di navbera wan de dê were bavêjeya inzhener ê beşek. La teya, eqa zêdeyên electromagnetic wave ê bikin ku heye:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

La teya, divê yek ji nîşaneyên vector identity bikin: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ku $T$ dişu yek placeholder vector e. Lekin, eqa zêdeyên me bikin:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ji bo niha ji hêjîn ên ku werin, ekuasyonên alânan elektromagnetîk di tîr-a sê dimensiyon de hatine. Ekuasyon bûyî ne di nav alânan elektromagnetîk de heke û di navên din de çêkiribû: akustîk, alânan seismic, alânan ses, alânan ber, û dinamîkîya pêl.

Yekêkê Schrödinger Jî Derive Bike

Hallên Alânan Ravnî yên bi Ekuasyonên Alânê

Di destpêkê ekuasyonên alânan ji bo yek dimensiyon (wê çend bêtir ên bigereye bikar bêje di sê dimensiyonan de pas jî, cûnki mantîqê li ser hemû dîmenda xebit bibe): $x, y$ , û $z$ dimensa.)

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ev, di gerçandî de, ekuasyon parsiyal diferansiyel yekemîn derceyî ye û bi hallên alânan ravnî têkildar e:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

Ji wan şewê din me we dikarin ji mekanîkî alînên nermal bînin ku $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ û $\omega = 2 \pi f$ . Tani, bi karberdanan karanî yên Einstein û Compton, dikarin bigerin da ku enerya ya foton didey heye $\mathsf{E} = \hbar \omega$ û ji de-Broglie didey heye $p = h / \lambda = \hbar k$ . Dikarin hilberta xwe ya dalilên plane wave digerîne bikin:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ev divê tevlê plane wave yekem foton be. Ji bo dikarin ê, vê tevlê bike bibinek ber bi tevlêya wave û birê bibin!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Diğer bir deyişle, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ bu harika bir şey çünkü özel görelilikten biliyoruz ki, kütlesi olan bir göreceli parçacığın toplam enerjisi şu şekildedir: $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Ve şimdiye kadar sadece kütle olmayan fotonla ilgilenmişizdir $(m=0)$ ! Anlayışımızı genişletelim ve kütlesi olan bir parçacık (örneğin elektron) için toplam göreceli enerjiyi uygulayalım ve denklemin adını $\Psi$ olarak değiştirelim çünkü biz oyunun ustalarıyız.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Bu denklem, foton için düzlem dalga denklemini dalga denklemine yerleştirerek doğrudan elde edilmiştir. Ancak, artık kütlesi olan bir parçacık için toplam göreceli enerjiyi çözmek istediğimiz için, dalga denklemini biraz değiştirmemiz gerekmektedir. Bu, yeni $\Psi$ 'ya tamamen uymaması gerektiği için olduğu gibidir. Şimdi, yukarıdaki denklemi bulmak için bir operatör bulabiliriz ve bu operatör şu şekildedir:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Çareserên Ji Bo Partiklên Bi Wêjiyê Di Tirijiyê de Çareserkirin

Niha dixwazin hewcekan dikarin di energya tevahîn da ku hûn hatine şopandin bide $\mathsf{E}$ ji bo partikil bi momentum û wêjiyê. Bêtibînin formula ya vê yekar bikin ta dikarin hewcekan bikin.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Her têk çareserê ya vê manipulasyonê ye ku formula bigire di formayê de $\sqrt{1 + x}$ çûnki êger seriya Taylor yên vê formulayê bigire:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kur $x$ ya kuç dibe, Taylor serisinda yeganê dikevên qalib bîne û hûn $O(1)$ term. Formulamizda nergîna, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Hewendê da ku $p = mv \ll mc$ ji bo hemî çiyan ku naqšandina çarxan de ne (ji kerema xwe min bike heke hûn ê çi dikevin ku vê şertê têkildane)! Nêra hûn dikevên termek berde:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Yê ku

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Nivîsên nergîna kinetîkî ku me li fizîkî liseyên din dikarin bibînin. Heke hûn vê informasyonê di formûla wave function de bikin, çi dikarin dibikin:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ma liyê ku divê du terma yê ji ber vegerîn, yekem term $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (ji nûsardan bêtirên dawî ya rojî) da hêsan dikare beşdar in bi termê yekem û nekêşin ne derbas bike ku particel-derewa ku têne ziyaret dike. Ji bo guherandina dem dem, bisotin da ku:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Ku heman hatine çavkirdin:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ji bo lêgerîna parçeyên yekem û duyem yên $\Psi(\vec{r},t)$ , binihêrin ku çawa dike. Yekem:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

û duyem:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Bebixweh da ku mind bideyên di wan de divê bînin ku dawîk ji bo deriyek din ên dikim û ku dikim di navbera yekem û duêm de bikar îne weke nisandê ye ku li ser rastî nehatiye an jî ku tevahî c^2 tune di navbera yekem û duêm de hatiye, û bi vê taybetî divê deriyek din bêjwere were wek:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Sabeqî ku ew hewce ne qeyd kirin du deriyek parçeyan wese bêje ku ew ber hevkariyek niha bibine:

Lê pêve qeyd bikin, formulê ya ku ew hewce ne reng bikin û ew ber hevkariyek niha bibine:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Niha em zêdekirina bixwebera vê berhê ji du dimensiyonê derbas bikin di hêlê de ku vê berhê bi karîna berhê ya vegirî (hemî çalakên ku ew dikar kirin da ku vê formûla werin çêkirin li ser hemî $x,y$ , û $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Vê berhê di navê berhêya Klein-Gordon de dît bo partikela serbest. Vê berhê ya relatyvistik e ku termê enerjîyê ne ku şertên ku me bi xistina biçûkîn $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Niha, hêja berhêya Klein-Gordon (vegera ji du dimensiyonê ve giran bikin û formûla nû ya enerjîyê bikar bînin) û piştre hatine berhêya Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Li vir bike nûya fonsiyona gavê di rêjiyê de ku dihatiye bi $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ku ew dikare dihatiye cîhê û yekem û duyem derîvativên bi rêjiyê dagil bikin:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Niha daxwaz dike çewitîna yekê ye ku heta Schrödinger an jî dikane (bisey bînin $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Yan kevîş bi rêkayetên Hamiltonian klasîk da, divê qeyd bikin ku termê li ser sîpana weha ber hejmar ênereya funksiyonê degerandî ya dalilê.

Li serivkirina me, hesab kirin ku $V(\vec{r},t)$ 0 û ku tik ênereya kinetîkî hatî şîne. Bînim ku potensiyel tenha li ser guhertinên cih û demê zêde dihat û ji ber vê, eqûsasyona Schrödinger yekêye di sîlantî de bi potensiyel da heye:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Bûyî! Heke tu ji bo vê pêşnûsê xweşîkî hate û duhêt dikarin piştgirî bikin, ji kerema xwe email bideyên lê zaniyê.

Navçoyan

Gasiorowicz, S. (2019). Fîzîkaya Kuantîk. 2nd ed. Kanada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Fîzîkaya Kuantîk. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). Ji Ber Vê Bilindayê Schrodinger Equation Derive Bike. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Peyda: Serbestiya malpera, nivîskara wêrên bibînin, her çawa ku vê neyê çap bibe hûn dikarin peyda bigin.

Bexşişek bidin û nuşkarê wê bikevin!

Peyvên Sename:

Nivîsên Fîzîk

Teoriya Kuantik

Derbarê Pisporan

Electrical4u

China