శ్రோడింగర్ తరంగ సమీకరణం: వివరణ మరియు విప్లవం

Electrical4u

ఫీల్డ్: ప్రాథమిక విద్యుత్‌కళా శాస్త్రం

China

శ్రోడింజర్ సమీకరణం ఏం?

శ్రోడింజర్ సమీకరణం (ఇది శ్రోడింజర్ తరంగ సమీకరణం గానూ అనేకసార్లు పిలవబడుతుంది) ఒక ఆంశిక వికలన సమీకరణం, ఇది క్వాంటం యాంత్రిక వ్యవస్థల డైనమిక్స్‌ను తరంగ ఫంక్షన్ ద్వారా వివరిస్తుంది. ఈ వ్యవస్థల పాటు, స్థానం, మరియు శక్తిని శ్రోడింజర్ సమీకరణం పరిష్కరించడం ద్వారా పొందవచ్చు.

ఒక అణువుల క్షుద్ర పార్టికిల్ యొక్క అన్ని సమాచారం తరంగ ఫంక్షన్‌లో ఎంకోడ్ చేయబడుతుంది. తరంగ ఫంక్షన్ శ్రోడింజర్ సమీకరణం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది. శ్రోడింజర్ సమీకరణం ఉన్నత విద్యా భౌతిక శాస్త్రంలో అధికారికంగా ప్రారంభిక అక్షమైన ఒక అక్షమైన నియమం. ఇది విద్యుత్ ప్రయోగశాల పాఠ్యపుస్తకంలో కూడా ప్రామాణికంగా చేర్చబడుతుంది, ఇది అర్ధదట్టాలకు అనువర్తిస్తుంది.

కానీ, రెండు వేళల్లోనూ ఇది ఒక ప్రక్కతప్రకటన గానే పేర్కొనబడుతుంది, ఏదైనా అర్థవంతమైన విధంగా వివరించబడదు. ఇది అత్యంత దుఃఖప్రదం, కారణం ఉన్నత విద్యా క్వాంటం భౌతిక శాస్త్రంలో పాఠించబడే మిగిలిన అన్ని విషయాలు ఈ భూమికపై నిర్మించబడతాయి. ఈ వ్యాసంలో, మేము నువ్వు నుండి సమీకరణాన్ని ప్రారంభిక విధంగా ప్రారంభించాలనుకుంటున్నాము, మేము అన్ని చేసిన ప్రతి దశ చూపడానికి మీ హెచ్చరినట్లు ప్రయత్నిస్తాము.

అంతేకాక, మేము చేసే విచారణలు శ్రోడింజర్ తన్నేవి చేసే విచారణలకు సమానం, కాబట్టి మీరు ఆ కాలంలో ఒక ప్రమాదకరంగా చాలా అందమైన విచారణలను చూడవచ్చు. యాదృచ్ఛిక స్మరణంగా, ఇక్కడ సమయాన్ని ఆధారపడిన శ్రోడింజర్ సమీకరణం 3-అయాంకాలలో (అణాలోకిక పార్టికిల్ కోసం) అన్ని అందమైన రూపంలో:

క్వాంటం భౌతిక శాస్త్రం మరియు తరంగాలు

ఎవరూ క్లాసికల్ భౌతిక శాస్త్రాన్ని అందం చేస్తారో లేదు - కానీ ఇది మాకు చాలా కాలం వరకు చాలా మంచి పని చేశాయి (న్యూటన్ యాంత్రిక శాస్త్రం, మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు, మరియు విశేష రిలేటివిటీ గురించి ఆలోచించండి).

కానీ, మన ముందున్న వ్యాసాలలో చూపినట్లు, శతాబ్దం ముగియే సమయంలో ప్రయోగాత్మక ఫలితాలు అప్పుడైన తెలిసిన భౌతిక శాస్త్రంతో పోల్చినప్పుడు చాలా ఉజ్వలం కాలేదు. మన డబుల్ స్లిట్ ప్రయోగం మరియు కొన్ని రకాల్లో ఫోటోఇలక్ట్రిక్ ప్రభావం గురించిన వ్యాసాలు, అప్పుడైన తెలిసిన అర్థంతో ఒప్పందం కాలేదు.

కారణం? సాధారణ భౌతిక శాస్త్రంలో రెండు విభాగాలు ఉన్నాయి, పార్టికల్లు మరియు వేవ్లు. ఈ రెండు విభాగాల లక్షణాలను ఈ విధంగా వివరించవచ్చు:

పార్టికల్లు: శక్తి మరియు మోమెంటం యొక్క స్థానాన్ని కలిగిన, ద్రవ్యరాశితో సహితం $m$ .

వేవ్లు: స్థలంలో విస్తరించబడిన, కాలంలో ప్రవహించే ప్రభావాలు. వాటిని వేవ్ ఫంక్షన్‌తో వివరించవచ్చు $\psi(\vec{r}, t)$ స్థలం మరియు కాలంలో వేవ్ ను వివరిస్తుంది.

ఈ విధంగా, మన ఫోటోఇలక్ట్రిక్ ఎమిషన్ వ్యాసంలో కనిపించిన ఆశ్చర్యకర ఫలితాలకు వచ్చాయి. మనం కనుగొన్నట్లు, ఇలక్ట్రాన్ ఈ రెండు లక్షణాలను కలిగి ఉంది. ఇది అప్పుడైన తెలిసిన అర్థంతో సంబంధం లేదు, ఏందుకంటే ఈ రెండు విభాగాలను పరస్పర విభాగాలుగా భావించేరు.

ఇది అందుకు తెలియదు? ఈ సమయంలో, భౌతిక శాస్త్రంలో చాలా ప్రభావశాలి వ్యక్తులు జ్ఞానంలో ఒక ఖాళీ ఉన్నట్లు గుర్తించారు, మరియు లూయిస్ డి బ్రోగ్లీ పార్టికల్ కోసం ఒక మోమెంటం (పార్టికల్) మరియు వేవ్ కోసం ఒక తరంగపు తుల్యం (వేవ్) కలిగి ఉంది

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

అదేవిధంగా, Photoelectric Emission నుండి మనకు తెలుసు, ఫోటన్ల శక్తి అభిమానం మరియు విసర్జన (ఇప్పుడైనా పార్టికల్ లేదా వేవ్ అనేది అనిశ్చితం) కీలకమైన శక్తిని ఇస్తుందని

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

ఇక్కడ $\hbar = h/2\pi$ మరియు $\omega=2\pi f$ . మనం ఇప్పుడు స్క్రోడింగర్ తన ప్రఖ్యాతిపెట్టిన సమీకరణం విధానం చేయడం ముందు ఉన్నాము. ఎందుకు మొదలు పెట్టాలో తెలియదు? మనకు తెలుసు, ఎలక్ట్రాన్లు మరియు ఫోటన్లు వేవ్-లాంటి మరియు పార్టికల్-లాంటి విధానంలో వ్యవహరిస్తున్నాయి. అన్ని వేవ్లు అనుసరించాల్సిన యూనివర్సల్ సమీకరణంతో మొదలు పెట్టి తర్వాత పార్టికల్ భౌతికం చేర్చడం ద్వారా ఫలితం ఉంటుందని చూడాలనుకుందాం.

వేవ్ సమీకరణం ఎలా విధానం చేయబడుతుంది

ప్రభావం $\psi(\vec{r}, t)$ వేవ్ సమీకరణాన్ని పాటిస్తుంది. గుర్తుంచుకోండి, ఎలక్ట్రాన్ వేవ్-లాంటి విధానంలో వ్యవహరిస్తుంది మరియు ఇన్నారమైన చార్జ్ ఉంది. అందువల్ల, ఇప్పుడు, మనం ఇన్నారమైన క్షేత్రాలను చూడండి. ఈ పరిస్థితిలో, మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు అనుసరిస్తాయి, ఇక్కడ వాటి సమృద్ధంలో:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

ఇక్కడ $c$ అనేది శూన్యంలో ప్రకాశ వేగం, $\vec{E}$ అనేది విద్యుత్ క్షేత్రం మరియు $\vec{B}$ అనేది చుమృప్రభావం. ముఖ్యమైన సమీకరణం మొదటి విద్యుత్ జనకాలు, ఇండక్టర్లు, ట్రాన్స్‌ఫార్మర్లకు ఆధారం మరియు ఫారాడే నియమం యొక్క ప్రతిబింబం.

అదేవిధంగా, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ నుండి ఒక అర్థం అనేది ఏ మాగ్నెటిక్ మొనోపోల్స్ లేవు. ఈ సమీకరణాల ఉత్పత్తి మరియు వాటి ప్రామాణిక అర్థం అర్థం చేసుకోవడం ఒక పూర్తి ఎంజినీర్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు, సమీకరణం 4 పై కర్ల్ అనువర్తించడం ద్వారా ఏ విద్యుత్ మాగ్నెటిక్ తరంగం అనుసరించాల్సిన సమీకరణం ఉత్పత్తి చేయండి:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

ఇప్పుడు మేము ఒక చేరుకుంది (మరియు సులభంగా నిరూపించబడిన) వెక్టర్ ఐడెంటిటీని ఉపయోగించవచ్చు: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ఇక్కడ $T$ అనేది ఒక ప్లేస్‌హోల్డర్ వెక్టర్. ఇప్పుడు మా చిన్న సమీకరణంలో ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

మనకు ఇక్కడ వచ్చే ఫలితం మూడు పరిమాణాలలో ఈలక్తో రసాయన తరంగ సమీకరణం. ఈ సమీకరణం ఈలక్తో తరంగాలలో మాత్రం కాకుండా, శబ్ద తరంగాలు, భూకంప తరంగాలు, నీటి తరంగాలు, ద్రవ గమనాల్లో కూడా ప్రదర్శించబడింది.

శ్రోడింగర్ సమీకరణం ఎలా విచ్ఛిన్నం చేయబడుతుంది

తరంగ సమీకరణానికి ప్లేన్ వేవ్ సాధనలు

ఒక పరిమాణంలో తరంగ సమీకరణంతో మొదలుకుందాం (ఇది మూడు పరిమాణాలకు సాధారణీకరించడం చాలా సులభం, ఎందుకంటే అన్ని పరిమాణాలలో దాని తర్కం పని చేస్తుంది): $x, y$ , మరియు $z$ పరిమాణాల్లో కూడా.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

ఈ సమీకరణం నిజంగా రెండవ క్రమ ఆంశిక డిఫరెన్షియల్ సమీకరణం మరియు ఇది ప్లేన్ వేవ్ సాధనలతో సంతృప్తి చెందుతుంది:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

మనం సాధారణ తరంగ శాస్త్రంలోనికి నుండి గుర్తుంది కేవలం $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ మరియు $\omega = 2 \pi f$ . ఇప్పుడు, మనం ఐన్స్టైన్ మరియు కామ్టన్ యొక్క పనిని ఉపయోగించి, ఫోటన్ యొక్క శక్తి ఈ విధంగా ఉంటుందని మార్పు చేయండి: $\mathsf{E} = \hbar \omega$ మరియు డి-బ్రోగ్లీ నుండి $p = h / \lambda = \hbar k$ . మనం మరింత మార్పు చేసుకోవచ్చు మా ప్లేన్ వేవ్ పరిష్కారాన్ని:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

ఈ ప్లేన్ వేవ్ సమీకరణం ఒక ఫోటన్‌ను వివరిస్తుంది. ఈ సమీకరణాన్ని మా వేవ్ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు మనం ఏం కనుగొనేందుకు చూద్దాం!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

ఇది మరో విధంగా చెప్పాలంటే, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ఇది చాలా బాగుదని మనకు తెలుసు, ఎందుకంటే ప్రత్యేక రిలేటివిటీ నుండి మనకు తెలుసు యెంత మాస్ ఉన్న పార్టికిల్‌కు మొత్తం శక్తి:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

మరియు మనం ఇప్పటికే ఫోటన్‌ను పరిష్కరిస్తున్నాము, అది మాస్ లేదు $(m=0)$ ! కాబట్టి మన అర్థాన్ని విస్తరించుకుందాం మరియు మాస్ ఉన్న పార్టికిల్ (ఉదాహరణకు ఎలక్ట్రాన్) కోసం మొత్తం రిలేటివిస్టిక్ శక్తిని ప్రయోగించాలనుకుందాం, మరియు మన సమీకరణాన్ని $\Psi$ అని మార్చాలనుకుందాం ఎందుకంటే మనం బాలర్స్.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ఇది ఫోటన్‌కు వైవిధ్యం సమీకరణం ను తరంగ సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపించడం నుండి వచ్చింది. కానీ, మనకు ఇప్పుడు మాస్ ఉన్న పార్టికిల్ కోసం మొత్తం రిలేటివిస్టిక్ శక్తిని పరిష్కరించాలనుకుంటున్నందున, మనం తరంగ సమీకరణాన్ని కొద్దిగా మార్చాలనుకుందాం. ఇది ఎందుకంటే మన కొత్త $\Psi$ తరంగాలు మరియు పార్టికిల్‌లను వివరిస్తుంది. మనం ఇప్పుడు ముందు సమీకరణాన్ని ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా ఒక ఓపరేటర్‌ను ప్రతిస్థాపించవచ్చు, మరియు అది ఇలా ఉంటుంది:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

ప్రవహన సమీకరణంలో ద్రవ్యరాశి ఉన్న పార్టికల్ల యొక్క పరిష్కారం

మనం ఇప్పుడు ద్రవ్యరాశి మరియు ఆంగుళం ఉన్న పార్టికల్ యొక్క $\mathsf{E}$ యొక్క పూర్తి శక్తిని వివరించిన తర్వాత కొన్ని అంచనాలను చేయాలనుకుందాం. ఫార్ములాను కొద్దిగా మార్చడం జరుగుంది, ఈ అంచనాలను ఉపయోగించడానికి.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

ఈ మార్పుల ప్రధాన ఉద్దేశం సమీకరణాన్ని $\sqrt{1 + x}$ రూపంలో ప్రాప్తం చేయడం, ఎందుకంటే మనం ఈ సమీకరణానికి టెయిలర్ శ్రేణి విస్తరణను తీసుకుంటే మనకు ఈ ఫలితం వస్తుంది:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

చిన్న విలువగా ఉన్నప్పుడు, టేలర్ విస్తరణలో మార్గంగా మిగిలిన భాగం అది $x$ భాగం మాత్రమే. మా శక్తి సూత్రంలో, $O(1)$ భాగం. మా శక్తి సూత్రంలో, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . మేము $p = mv \ll mc$ అనేది కాంతి వేగంతో చేరుకోని ఏదైనా వస్తువుకు సత్యం (మీరు ఈ నిష్పత్తిని చేరుకోని ఏదైనా వస్తువును కనుగొనినట్లయితే మనం మీరికి కనిపించబోతుంది)! కాబట్టి ఈ భాగం దాదాపుగా తగ్గించబడుతుంది:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

ఇక్కడ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

హైస్కూల్ ఫిజిక్స్‌లో మనం చూసిన సాధారణ కినెటిక్ శక్తి. ఇప్పుడు మళ్ళీ ముందు ఉన్న తరంగ ఫంక్షన్‌ని తీసుకుందాం, ఇప్పుడు ఈ కొత్త సమాచారాన్ని ఇవ్వండి మరియు మేము ఎంత ప్రాప్తి చేస్తున్నామో చూద్దాం:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

మేము రెండు పదాలను విభజించామనివ్వాము, ఎందుకంటే మొదటి పదం $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (మళ్ళీ కాంతి వేగంపై అనుసరించి) రెండవ పదం కంటే చాలా లోపలి ఉంటుంది మరియు మనకు అవసరమైన పార్టికల్-వేవ్ వస్తువును నిర్వచించడంలో అవసరం లేదు. కాబట్టి ఈ తేడాను దృష్టిలో పెట్టడానికి, ఈ విధంగా నిర్ణయించాము:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

ఇక్కడ మేము నిర్వచించాము:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

ఇప్పుడు $\Psi(\vec{r},t)$ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ పార్షియల్ డెరివేటివ్లను తీసుకుంటే, మొదటి వాటిలో:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

మరియు రెండవ వాటిలో:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

మనకు గుర్తు పెట్టాలి, రెండవ ఆంశిక వికల్పం యొక్క చివరి పదం అతి చిన్నది ఎందుకంటే అది లేదు $c^2$ పదం యొక్క పరిమాణం, కాబట్టి అందుకే సుమారుగా, నిజమైన రెండవ వికల్పం:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

ఈ రెండు ఆంశిక వికల్పాలను తీసుకున్న గుండె కారణం ముందున్న తరంగ ఫంక్షన్‌ను వివరించే ఈ సమీకరణంలో వాటిని ఉంటేమని చేయడం:

కానీ మేము దానిని చేయడం ముందు, ఈ సూత్రాన్ని మళ్ళీ వ్యవస్థపరచండి, మరియు మేము క్లైన్-గోర్డన్ సమీకరణం అని పిలువబడే సమీకరణంతో ముగిస్తాము:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ఇప్పుడు మనం ఈ సమీకరణాన్ని వెక్టర్ సమీకరణంగా మార్చడం ద్వారా మూడు అయితే దశలను సాధారణీకరించవచ్చు (ఈ సూత్రాన్ని విభజించడానికి మనం తీసుకున్న అన్ని దశలు $x,y$ మరియు $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

ఈ సమీకరణం ఒక స్వేచ్ఛా పార్టికల్‌కోసంబంధించిన క్లైన్-గోర్డన్ సమీకరణంగా ప్రఖ్యాతిపొందింది. ఈ సమీకరణం రిలేటివిస్టిక్ ఉంది, ఎందుకంటే దాని శక్తి పదం మనం చిన్న $\sqrt{1+x}$ టేలర్ విస్తరణ లో చేసిన అనుమానాలను చేర్చలేదు.

ఇప్పుడు, క్లైన్-గోర్డన్ సమీకరణాన్ని సరళీకరించండి (మళ్లీ 1-D కు మరియు మా కొత్త శక్తి సూత్రానికి విస్తరించండి) మరియు మనం చాలా కాలం ఆశించిన ష్రోడింగర్ సమీకరణాన్ని పొందండి:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

ఇప్పుడు, మన కొత్త తరంగ ఫంక్షన్‌ను ఇవ్వండి $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ఇక్కడ మనకు సమయం ప్రకారం మొదటి మరియు రెండవ డెరివేటివ్‌ల నిరూపణ తెలుసు:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

ఇప్పుడు మనం చేయాల్సింది సరళమైన పునర్వ్యవస్థీకరణ మాత్రమే, మూడు డైమెన్షన్లలో ష్రోడింగర్ సమీకరణాన్ని పొందడానికి (గమనించండి $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

సాధారణ హామిల్టోనియన్‌తో పోలిక ద్వారా వాదించవచ్చు, సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న పదం తరంగ ప్రమేయానికి సంబంధించిన మొత్తం శక్తిని వివరిస్తుంది.

మన ఉత్పాదనలో, $V(\vec{r},t)$ సున్నా అని మరియు కేవలం గతి శక్తి మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకున్నామని ఊహించాము. సంభావ్యత దాని స్థానిక వ్యత్యాసాలకు సంబంధించి పూర్తిగా సంకలనాత్మకంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు, అందువల్ల, సంభావ్యతతో మూడు డైమెన్షన్లలో పూర్తి ష్రోడింగర్ సమీకరణం:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

అంతే! ఇక్కడ మనం ఉన్నాం, ఈ వ్యాసం మూడు డైమెన్షన్లలో ఒక నాన్-రిలేటివిస్టిక్ కణానికి పూర్తి ష్రోడింగర్ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించింది. మీరు ఈ పోస్ట్‌ను ఇష్టపడి, ఇలాంటి మరిన్ని చూడాలనుకుంటే, మాకు ఇమెయిల్ చేసి తెలియజేయండి.

మూలాలు

Gasiorowicz, S. (2019). క్వాంటమ్ భౌతిక శాస్త్రం. 2వ ఎడిషన్. కెనడా: హామిల్టన్ ప్రింటింగ్, పేజీలు.1-50.
Griffiths, D. (2019). క్వాంటమ్ భౌతిక శాస్త్రం. 3వ ఎడిషన్. యూనివర్సిటీ ప్రింటింగ్ హౌస్, కెంబ్రిడ్జ్: కెంబ్రిడ్జ్ యూనివర్సిటీ ప్రెస్.
Ward, D. మరియు Volkmer, S. (2019). శ్రోడింగర్ సమీకరణం ఎలా విచ్ఛిన్నం చేయాలో. [ఓన్లైన్] arXiv.org. లభ్యం: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [ప్రాప్తం 29 మే 2019].
Shankar, R. (1980).క్వాంటమ్ మెకానిక్స్ ప్రమాణాలు. 1వ ఎడిషన్. న్యూయార్క్: స్ప్రింగర్ సైన్స్, పేజీలు.1-40.

నిబంధన: మూలంతో ప్రతిపాదన, భల్ల వ్యాసాలు పంచుకోవాలనుకుంది, అధికారిక హక్కులు ఉంటే దాటివేయాలనుకుంది.

ప్రదానం ఇవ్వండి మరియు రచయితన్ని ప్రోత్సహించండి

విషయాలు:

భౌతిక విజ్ఞాన వ్యాసాలు

క్వాంటమ్ సిద్ధాంతం

నిపుణుల గురించి

Electrical4u

China