Schrödinger-harmadik fokú egyenlet: Levezetés és magyarázat

Electrical4u

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi a Schrödinger-egyenlet?

A Schrödinger-egyenlet (más néven Schrödinger hullámegyenlet) egy parciális differenciálegyenlet, amely a kvantummechanikai rendszerek dinamikáját írja le a hullámfüggvénnyel keresztül. A rendszer pályája, pozíciója és energiája a Schrödinger-egyenlet megoldásával adódik.

Minden információ egy alattomos részrészecske esetében a hullámfüggvényben van kódolva. A hullámfüggvény eleget tesz, és megoldható a Schrödinger-egyenlettel. A Schrödinger-egyenlet az alapvető axiómák közé tartozik, amelyeket a fizika alapszintű oktatásában ismertetnek. Egyre gyakrabban találkozunk a Schrödinger-egyenlettel az elektrotechnikai oktatási programokban is, mivel alkalmazható a félvezetőkre.

Sajnálatos módon mindkét esetben csak postulátumként említik, soha sem vezetik le valódi értelműen. Ez nagyon nem elégedettséget kelt, mivel az alapszintű kvantumfizikai oktatás többi része ezen alapul. Ez a cikk során a nulladik lépéstől kezdve levezetjük az egyenletet, és minden tett lépését bemutatjuk.

Elegendően érdekes, hogy a folyamatban használt argumentumok ugyanazok, mint amiket Schrödinger maga alkalmazott, így látható a gondolkodási módja. Emlékeztetésként itt van a történelmi Schrödinger-egyenlet három dimenzióban (nem relativisztikus részrészecskére) összes szépségével:

Kvantumfizika és hullámok

Mindenki szereti a klasszikus fizikát elhanyagolni – de hosszú ideig jól szolgált minket (gondoljunk például Newton mechanikájára, Maxwell-egyenleteire és a speciális relativitáselméletre).

Azonban, ahogy az előző cikkeinkben is láthattuk, a századforduló kísérletei nem voltak túl izgalmasak, ha összevetjük őket azzal, amit akkor ismertünk a fizikáról. A kétszíves interferencia és részben a fotoelektromos hatás kísérletének eredményei nem illeszkedtek jól a korabeli megértéshez.

De miért? Egyszerűen fogalmazva, a klasszikus fizikában két entitás létezik, részecskék és hullámok. Mindkét entitás jellemzői a következők:

Részecskék: helyi energiapaklik és momentummal rendelkező, tömegű objektumok $m$ .

Hullámok: térben terjedő zavarok, amelyek időben utaznak. Leírhatók egy hullámfüggvénnyel $\psi(\vec{r}, t)$ ami leírja a hullámot a térben és az időben.

Ez vezet minket a meglepő eredményekhez, amelyeket a fotoelektromos emiszió cikkünkben találtunk. Felfedeztük, hogy az elektron mindkét tulajdonságot mutat. Ez teljesen ellentmondott a korabeli megértésnek, mivel a két entitást egymást kizárónak tekintették.

Elég őrült, ugye? Ebben az időszakban néhány nagyon befolyásos fizikus kezdett felismerni, hogy van egy ismereti hiányzó rész, és egy nagy áttörés történt, amikor Louis de Broglie hozzárendelte egy momentumot (részecske esetén) egy hullámhosszhoz (hullámok esetén), ami a következőképpen adódik:

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Ezenkívül a Fényelektromos Emisszió-ból tudjuk, hogy a fotonok (még mindig nem biztos, hogy részecske vagy hullám) energiafelvétele és -kiadása az alábbi módon adható meg:

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Ahol $\hbar = h/2\pi$ és $\omega=2\pi f$ . Jelenleg ugyanolyan szakaszban tartunk, mint Schrödinger, mielőtt levezette híres egyenletét. De merre kezdjük? Tudjuk, hogy az elektronok és a fotonok hullám- és részecskével jellemző viselkedést mutatnak. Nem lenne semmi rossz, ha egy olyan univerzális egyenlettel kezdenénk, amelyet minden hullám követ, majd bevezetnénk a részecskéket, hogy megnézzük, milyen eredményt kapunk.

A Hullámegyenlet Levezetése

A zavarás $\psi(\vec{r}, t)$ a hullámegyenletnek tesz eleget. Ne felejtsük el, hogy az elektron hullám- és részecskével jellemző viselkedést mutat, és elektromos töltése van. Ezért most csak az elektromágneses mezőkre koncentrálunk. Ebben az esetben a Maxwell-egyenletek érvényesülnek, és íme ők összes csodájukban:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Ahol $c$ a fény sebessége vakuumban, $\vec{E}$ az elektromos mező és $\vec{B}$ a mágneses mező. A fenti első egyenlet az elektromos generátorok, induktorok és transzformátorok alapja, és Faraday törvényének megtestesítése.

Ezenkívül, az $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ egyenletből következik, hogy nincsenek mágneses monopólok. Az ezekhez az egyenletekhez kapcsolódó levezetés és fizikai jelentés ismerete kiegyensúlyozott mérnöket eredményez. Most alkalmazzuk a curl operátort az 4. egyenletre:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Most használhatunk egy nagyon ismert (és könnyen bizonyítható) vektorsor identitást: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ahol $T$ egy helyettesítő vektor. Alkalmazva most a kis egyenletünkre:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

A kapott eredmény a 3-dimenziós elektromágneses hullámegyenlet. Ez az egyenlet nem csak elektromágneses hullámokban jelenik meg, hanem akusztikában, síkrekordban, hanghullámokban, vízhullámokban és folyadékdinamikában is.

Hogyan származtatható a Schrödinger-egyenlet

Síkhullám-megoldások a hullámegyenlethez

Kezdjük a 1-dimenziós hullámegyenlettel (majd könnyen általánosítható 3 dimenzióra, mert a logika minden esetben érvényes lesz az $x, y$ és $z$ dimenziókban):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Ez valójában egy másodrendű parciális differenciálegyenlet, amelyet síkhullám-megoldásokkal kielégíthetünk:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (ellenőrizze magát!). } \end{equation*}$

A normál hullámmechanikából tudjuk, hogy $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ és $\omega = 2 \pi f$ . Most használjuk Einstein és Compton munkáját, és helyettesítsük be, hogy a foton energiaja $\mathsf{E} = \hbar \omega$ , és de-Broglie szerint $p = h / \lambda = \hbar k$ . További átalakításokkal a síkhullám-megoldást a következő formára hozhatjuk:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ez a síkhullám-egyenlet leírja a foton viselkedését. Helyettesítsük be ezt az egyenletet a hullámegyenletbe, és nézzük meg, milyen eredményt kapunk!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Egyébként, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ami nagyszerű, mert a speciális relativitáselmélet szerint egy relativisztikus részecske teljes energiája, amelynek van tömege $m$ :

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Addig csak a fényrészecskével foglalkoztunk, aminek nincs tömege $(m=0)$ ! Terjesszük ki értelmezésünket, és alkalmazzuk a teljes relativisztikus energiát egy tömeges részecske esetén (mint például az elektron), és változtassuk meg egyenletünk nevét erre: $\Psi$ , mert mi vagyunk a ballerek.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ez az egyenlet közvetlenül a fényrészecske síkhullámegyenletének behelyettesítéséből származik a hullámegyenletbe. Azonban, mivel most a teljes relativisztikus energiát akarjuk kiszámítani egy tömeges részecske esetén, a hullámegyenletet kissé meg kell változtatnunk. Ez azért szükséges, mert a hullámegyenlet nem teljesen alkalmazható új $\Psi$ -re, ami leírja a részecskéket és hullámokat. Most már visszafelé is megoldhatjuk egy operátort, hogy kapjuk a fenti egyenletet, és ez a következőképpen adódik:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Térgömbölyű egyenletben lévő tömeges részecskék megoldása

Most néhány közelítést szeretnénk elvégezni a korábban leírt teljes energián $\mathsf{E}$ momentummal és tömeggel rendelkező részecske esetén. Csupán enyhén átrendezzük a képletet, hogy néhány közelítést alkalmazhassunk.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Az egész manipuláció célja, hogy az egyenletet a következő formában adjuk meg: $\sqrt{1 + x}$ mert ha Taylor-sor kiterjesztést végezünk ezen az egyenleten, akkor a következőt kapjuk:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Amikor $x$ kicsi, akkor a Taylor-sorban csak az $O(1)$ tag marad. Az energiaformulánkban $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Kihasználhatjuk, hogy $p = mv \ll mc$ bármilyen esetben, amely nem halad fénysebességgel (kérlek, jelezd, ha talál valamit, ami nem teljesíti ezt)! Tehát ez a tag valójában csökkent:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Ahol

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ez a szokásos kinetikus energia, amit a középiskolai fizikából ismerünk. Most térjünk vissza a korábbi hullámfüggvényhez, és vegyük be ezt az új információt, hogy meglássuk, mire jutunk:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Azért szétválasztottuk a két kifejezést, mert az első kifejezés $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (iszlán csak a fénysebességen alapul) jelentősen rezgőbb lesz, mint a második kifejezés, és nem feltétlenül írja le azt a részecske-hullám entitást, amit keresünk. Tehát ezen különbség megerősítése érdekében állapítsuk meg, hogy:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Ahol most definiáltuk:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Vegyük most a $\Psi(\vec{r},t)$ első és második parciális deriváltját, és nézzük, mire jutunk. Az első:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

és a második:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Tartszoljuk meg, hogy az utolsó tag, amely a második parciális deriválttal kapcsolatos, elég kicsi, mivel nincs $c^2$ tag, amely rendszám nagyságrendet hordoz, és ezért közelítés szerint a valós második derivált a következőképpen adódik:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

A titokzatos oka annak, hogy ezeket a két parciális deriváltat vettük, az volt, hogy beállíthassuk őket ebben a korábban leírt hullámfüggvény egyenletbe:

De mielőtt ezt megtehetnénk, rendezzük át ezt a formulát, és végül egy olyan egyenlettel fogunk szembenézni, amit Klein-Gordon-egyenletnek nevezünk:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Most már könnyen általánosíthatjuk ezt a három dimenzióra, ha ezt az egyenletet vektoriális egyenletté alakítjuk (az összes lépés, amit tettünk ezen az egyenlet levezetéséhez, alkalmazható minden $x,y$ , és $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ez az egyenlet ismert a szabad részecske Klein-Gordon-egyenletének. Ez az egyenlet relativisztikus, mivel energiatérme nem tesz a kis $\sqrt{1+x}$ Taylor-felbontás során tett feltevéseinket.

Most egyszerűsítsük a Klein-Gordon-egyenletet (vissza térve a 1-D-hez és alkalmazva az új energia képletünket), és eljutunk a hosszan várt Schrödinger-egyenlethez:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Vegyük be az új hullámfüggvényt, amelyet $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ad, ahol tudjuk, hogy a közvetlen és másodlagos idő szerinti deriváltak így néznek ki:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Most csak egy egyszerű átrendezésre van szükség, hogy megkapjuk a Schrödinger-egyenletet három dimenzióban (figyelembe véve, hogy $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Ahol az érv a klasszikus Hamilton-operátor hasonlóságán alapul, amely szerint az egyenlet jobb oldalán lévő tag leírja a hullámfüggvény teljes energiáját.

A levezetés során feltételeztük, hogy $V(\vec{r},t)$ nulla, és csak a kinetikai energia volt figyelembe véve. Tudjuk, hogy a potenciál teljesen additív a térbeli variációkra nézve, tehát a teljes Schrödinger-egyenlet három dimenzióban potenciál esetén a következőképpen írható fel:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Ez minden! Így kapjuk a teljes Schrödinger-egyenletet nem relativisztikus részecske esetén három dimenzióban. Ha tetszett ez a bejegyzés, és szeretné látni további hasonló tartalmakat, kérjük, küldjön nekünk e-mailt, hogy tudtasson erről.

Hivatkozások

Gasiorowicz, S. (2019). Kvantumfizika. 2. kiadás. Kanada: Hamilton Printing, old. 1-50.
Griffiths, D. (2019). Kvantumfizika. 3. kiadás. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. és Volkmer, S. (2019). A Schrödinger-egyenlet levezetése. [online] arXiv.org. Elérhető: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Megtekintve 2019. május 29-én].
Shankar, R. (1980). Kvantummechanika alapjai. 1. kiadás. New York: Springer Science, old. 1-40.

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsa az eredeti tartalmat, jó cikkek megosztása értékes, ha sértés esetén kérjük, lépjen kapcsolatba a törlésével kapcsolatban.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Fizika cikkek

Kvantumelmélet

Szakértők névjegye

Electrical4u

China