Mwili wa Schrödinger: Uhusiano na Maelezo

Electrical4u

Champu: Maelezo ya Kifupi kuhusu Umeme

China

Ni ni Neno la Schrödinger?

Maelezo Schrödinger (kwa pia kujulikana kama mshale wa Schrödinger) ni maelezo la tafakari tofauti ambalo hutafsiri mahitaji ya mfumo wa fiziki chanya kupitia kwa kutumia mshale. Mzunguko, maeneo, na nishati za vifaa hivi vinaweza kupata kwa kutatua maelezo la Schrödinger.

Tayari zote za atomu ndogo zinapatikana ndani ya mshale. Mshale utafanana na unaweza kutatuliwa kutumia maelezo la Schrödinger. Maelezo la Schrödinger ni moja ya msingi wa axioms zinazotolewa katika fiziki ya chuo kikuu. Ni rahisi kuona maelezo la Schrödinger limetolewa ndani ya muktadha wa umeme katika vyuo vikuu kwa sababu linalitumika semiconductors.

Kwa bahati mbaya, ni tu kama postulate kwenye vipande vingine na hakutatuliwa kwa njia bora. Hii ni kusikitisha sana kwa sababu yoyote kingine inayokufundishwa katika fiziki chanya ya chuo kikuu inajengwa juu ya msingi huu. Katika makala hii, tutatatua maelezo kutoka kwenye msingi na nitajaribu kuonyesha hatua zote zilizochukuliwa.

Nipo kwamba, matumizi yanayotumiwa ni sawa na hayo aliyotumia Schrödinger mwenyewe hivyo unaweza kuona mawazo ya mtu mkubwa alivyokuwa anavyofikiria wakati wake. Kama kumbukumbu, hapa ni maelezo la Schrödinger la muda kwa mita tatu (kwa kitu kinachobainisha si relativistic) kwa busara zote:

Fiziki Chanya na Mawimbi

Wengine wanapenda kukata habari za fiziki ya kiwango cha kwanza – lakini ilikutumika vizuri kwa muda mrefu (angalia masharti ya Newton, masharti ya Maxwell, na usawa wa kisasa).

Hata hivyo, kama ilivyoelezwa katika makala yetu za awali, matokeo ya majaribio kwenye mwisho wa miaka hayakubalika sana unavyokipata kwa hisabati ya wakati ule. Makala yetu kuhusu ujaribisho wa nyuzi mbili na hadi kwa daraja fulani uhalifu wa photoelectric ni matokeo ya majaribio ambayo hayakubalika vizuri na ufafanuliwa wa wakati ule.

Lakini kwa nini? Kutoa kwa mfano rahisi, kwenye fizikia ya kiukuu kuna viungo vya mbili, vitambaa na mafua. Sifa za viungo vyote vinavyoweza kuelezea kama ifuatavyo:

Vitambaa: mifuko mikubwa ya nishati na mzunguko na uzito $m$ .

Mafua: mabadiliko yanayosambaza nchi-kusafiri kwa muda. Vinaweza kuelezea kwa fomu ya mafua $\psi(\vec{r}, t)$ inayaelezeho mafua kwa nchi na muda.

Hii inatufanya tuweze kupata matokeo magumu kwa makala yetu ya Uhalifu wa Photoelectric. Tukapata kuwa elektroni anazotumia vyote viungo vya hivi. Hii kamili inawashindana na ufafanuliwa wa wakati ule kwa sababu viungo vilivyoweza kutumika kwa pamoja vilikuwa vya kuwa vya kinyume.

Aibu sana? Waktu huo, watu muhimu katika fizikia walianza kujua kwamba kuna toka katika maarifa, na mapenzi mengi yaliyofika wakati Louis de Broglie aliwahusisha momentum (kwa vitambaa) kwa urefu wa mafua (kwa mafua) aliyetolewa na

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Pia, kutoka Photoelectric Emission tunajua kuwa uchukuzi na ukosefu wa photons (bado sijui ikiwa ni mfumo au mwamba) una nishati iliyotolewa kwa njia

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kwenye ambapo $\hbar = h/2\pi$ na $\omega=2\pi f$ . Sisi sasa tunapata hatua sawa na yale Schrödinger alivyokuwa kabla ya kutengeneza mstari wake mashuhuri. Lakini tutastartea wapi? Tunajua kuwa electrons na photons zinazoelea tabia za mwamba na miwani. Hakutakuwa na chochote chenye makosa kuanzia na mstari muungano ambao miwani yote yanapaswa kuikubali na basi kutumia fiziki ya vitu viwili ili kuona kama kutakuwa na matokeo.

Jinsi ya Kutengeneza Mstari wa Miwani

Ukosefu $\psi(\vec{r}, t)$ unafuata mstari wa miwani. Kumbuka, electron anazoelea tabia za mwamba na ana umbo wa electromagnetism. Kwa hiyo, sasa tuangalie electromagnetic fields. Katika hii, Maxwell's equations zinazozitumika na hapa ziko katika utaratibu wao:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Wakati $c$ ni kasi ya mwanga katika uzima, $\vec{E}$ ni ukuta mawimbi na $\vec{B}$ ni ukuta mawimbi ya chumvi. Mwili wa awali wa juu ni msingi wa majeneratori ya umeme, inductor, na transformers na ni muonekano wa Faraday's Law.

Pia, moja ya athari kutoka $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ni kwamba hakuna monopole za chumvi zinazopo. Kuelewa utengenezaji wa hesabu hii na maana yake ya fiziki hutenga muhandisi mzuri. Sasa, hebu tufanikishe hesabu ambayo mawimbi ya umeme na chumvi lazima ikigeukie kwa kutumia curl kwenye Equation 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Sasa tunaweza kutumia uhusiano mzuri sana (na rahisi kukubalika) wa vector identity: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ ambapo $T$ ni placeholder vector. Kutumia kwenye hesabu yetu sasa:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Tangu tunayopewa hapa ni mwili wa mtaani wa mawimbi ya elektromagnetiki katika mita tatu. Mwili huu umefanikiwa kutokana na mawimbi ya elektromagnetiki tu lakini pia imeonekana kwenye akustiki, mawimbi ya seismiki, mawimbi ya sauti, mawimbi ya maji, na mawimbi ya mzunguko wa maji.

Jinsi ya Kutambua Mwili wa Schrödinger

Mwisho wa Mawimbi wa Mwili wa Mtaani

Kuanzia na mwili wa mtaani wa mawimbi wa kiwango cha moja (ni rahisi sana kukubalika katika mita tatu baada ya hiyo kama maneno yatafanya kazi katika vyote $x, y$ , na $z$ kiwango):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Hii ni, kweli, mwili wa partial differential wa kiwango cha pili na unaweza kutimiza na matokeo ya mawimbi ya mtaani:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (angalia hii kwa nafsika!). } \end{equation*}$

Kwa ujuzi wetu kutoka kwa mekaniki ya mawimbi ya kawaida tunajua kuwa $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ na $\omega = 2 \pi f$ . Sasa, twataka kutumia kazi kutoka kwa Einstein na Compton na kubadilisha kwamba nishati ya photon inaweza kutathminiwa kwa kutumia $\mathsf{E} = \hbar \omega$ na kutokana na de-Broglie kwamba $p = h / \lambda = \hbar k$ . Tunaweza kutumia zaidi ufumbuzi wa mawimbi yetu:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Hii ni mwili wa mawimbi unaotathmini photon. Tutaingiza hii equation katika mwili wa mawimbi wetu na kutazama nini tutapata!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Kwa maneno mengine, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ ambayo ni nzuri kwa sababu tunajua kutoka kwa relativity ya maalum kwamba nishati kamili kwa particle lenye uzito $m$ ni:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

Na tumejihusisha tu na photon hata sasa ambaye hauna uzito $(m=0)$ ! Tufanikiwe kuelekea kuelewa zaidi na tuandaa nishati kamili ya relativity kwa particle lenye uzito (kama vile electron kwa mfano) na badilishe jina la equation yetu kuwa $\Psi$ kwa sababu tunaweza.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Sasa hii equation ilikuja moja kwa moja kutokana na substitution ya plane wave equation kwa photon katika wave equation. Lakini, tangu sasa tunataka nishati itatue total relativistic energy kwa particle lenye uzito, tunahitaji kubadilisha wave equation kidogo. Hii ni kwa sababu wave equation haifai kutekeleze kwa kutosha kwa $\Psi$ ambayo hutafsiri particles na waves. Sasa tunaweza kurejelea operator ili kupata equation yenye juu, na anayotolewa ni:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Utatuzi wa Mawimbi kwa Viambatanilivyowa mawimbi

Tunataka sasa kutumia utaratibu mzuri wa umbo fulani tuliloainisha na $\mathsf{E}$ kwa viambatanivyo na mguu na ukubwa. Tufanye tu upanuli mkubwa wa mwisho ili tuweze kutumia utaratibu huu.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Maana yote ya ufanisi hii ni kupata mwisho katika mfano $\sqrt{1 + x}$ kwa sababu ikiwa tutumia utaratibu wa Taylor Series wa mwisho huu tunapata:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Wakati $x$ ni ndogo, sehemu pekee ambayo inabaki katika utambuzi wa Taylor ni $O(1)$ . Katika mfumo wetu wa nishati, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Tunaweza kutumia kwa kuwa $p = mv \ll mc$ kwa chochote kisicho safiri kwa mwendo wa mwanga (tafadhali nitumaini ikiwa unapatikana chochote kisicho sanaa hii)! Kwa hiyo sehemu hii ya kwisha kukurudia:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kusini

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ni nishati ya kinetiki sahihi tunayoyiona kutoka fizikia ya sekondari. Sasa tureje tu kwenye fangi ya mawimbi tangu awali, tujifunze kwa kutumia habari hii mpya na tue tukio:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Sababu tunayokuwa sasa tumevunja maneno mawili ni kwamba maneno ya kwanza $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (kwa kutumia upya mwanga wa mwisho) itakuwa zaidi ya kuwa na mzunguko kuliko maneno ya pili na siyo muhimu kuelezea wimbo wa mtaani tunayochukua. Kwa hivyo ili kuwakilisha tofauti hii, hebu tuanze:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Tunayokuwa tumeanzisha:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Hebu tuanze na mara mbili za kujifunza ya $\Psi(\vec{r},t)$ na tuchukue nini tutapata. Mara ya kwanza:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

na mara ya pili:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Tunapaswa kumbuka kuwa mteremko wa pili na muda wa pili ni dogo sana kwa sababu ya kwamba hakuna $c^2$ term inayomiliki daraja la ukubwa, na kwa hivyo kwa kiotomatiki, mteremko wa pili wa kweli unatoa kama:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Sababu yasiyofanikiwa tunayopata mteremko wa pili na muda wa pili ilikuwa ili tuweze kuiingiza katika mlinganyo huu unaotafsiri wave function:

Lakini kabla tuweze kufanya hivyo, hebu tuandae mlinganyo huu na tutapata mlinganyo unaitwa Klein-Gordon equation:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Sasa tunaweza kupanua hii kwa urahisi kwa maudhui miaka tatu kwa kutumia mstari huu kuwa mstari wa vekta (maelezo yote tuliyotumia kutengeneza formula hii zitakuwa zinazokubalika kwa wote $x,y$ , na $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Mstari huu unatafsiriwa kama Mstari wa Klein-Gordon kwa chanzo chenye huruma. Mstari huu ni wa relativiti kwa sababu anuwai ya nishati yake haiyaniweke dhana ambazo tuliweka kwa kutumia ukuaji mdogo wa Taylor.

Sasa, hebu tuimarisha Mstari wa Klein-Gordon (kutoka kwenye miaka moja kurudi kwenye formula yetu mpya ya nishati) na tutapata Mstari wa Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Hebu tiamue kwenye kazi yetu mpya ya mwangaza inayotolewa kwa $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ ambako tunajua jinsi ya mara ya kwanza na mara ya pili ya kuzidisha kwa muda:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Sasa tu tunahitaji kufanya upanuli wao wa chache kutambua mwisho wa Equation ya Schrödinger katika mita tatu (kumbuka kuwa $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Ambapo unaweza kusema kwa kutambua uwezo wa Hamiltonian ya klasiki kwamba sehemu ya haki ya equation inaelezea nishati kamili ya wave function.

Katika ufanisi wetu, tuliamini kuwa $V(\vec{r},t)$ ni 0 na kuwa tumeingiza tu nishati ya kinetiki. Tunajua kuwa potential ni additi moja kwa sababu ya mabadiliko yake ya spatial na kwa hiyo, Equation kamili ya Schrödinger katika mita tatu na potential inatefsiriwa kama:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Hii ndiyo! Tumesha pata, maoni haya yamewafanulia Equation kamili ya Schrodinger kwa particle isiyotumaini relativity katika mita tatu. Ikiwa umependa post hii na unataka kuona zaidi kama hii, tafadhali tumia barua pepe kutunijulisha.

Maelezo

Gasiorowicz, S. (2019). Fizikia Kwantiki. Mwaka wa pili. Canada: Hamilton Printing, safu 1-50.
Griffiths, D. (2019). Fizikia Kwantiki. Mwaka wa tatu. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. na Volkmer, S. (2019). Jinsi ya Kutokomea Mwongozo wa Schrodinger. [mtandaoni] arXiv.org. Inapatikana: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Imetumika 29 Mei 2019].
Shankar, R. (1980).Mistari ya Fizikia Kwantiki. Mwaka wa kwanza. New York: Springer Science, safu 1-40.

Taarifa: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

Tambua na hamisha mshairi!

Mada:

Makala ya Fizikia

Teoria ya Kwantiko

Kuhusu wataalamu

Electrical4u

China