معادلة موجة شرودنجر: الاشتقاق والشرح

Electrical4u

حقل: الكهرباء الأساسية

China

ما هي معادلة شرودنجر؟

تعتبر معادلة شرودنجر (وتعرف أيضًا باسم معادلة موجة شرودنجر) معادلة تفاضلية جزئية تصف ديناميكيات الأنظمة الميكانيكية الكمية عبر الدالة الموجية. يمكن استخراج المسار والتوضع والطاقة لهذه الأنظمة من خلال حل معادلة شرودنجر.

يتم تشفير كل المعلومات الخاصة بالجسيم الفرعي داخل الدالة الموجية. ستفي الدالة الموجية ويمكن حلها باستخدام معادلة شرودنجر. تعتبر معادلة شرودنجر واحدة من البديهيات الأساسية التي يتم تقديمها في الفيزياء الجامعية. كما أنها أصبحت أكثر شيوعًا إيجاد معادلة شرودنجر ضمن منهاج الهندسة الكهربائية في الجامعات حيث تنطبق على المصاوغات.

للأسف، يتم ذكرها كفرضية فقط في الحالتين ولا يتم اشتقاقها بطريقة ذات معنى. هذا أمر غير مرضٍ لأن معظم ما يتم تدريسه في الفيزياء الكمية الجامعية يعتمد على هذه الأساس. في هذا المقال، سنقوم باشتقاق المعادلة من الصفر وسأبذل قصارى جهدي لعرض كل خطوة تم اتخاذها.

بشكل مثير للاهتمام، فإن الحجج التي سنقدمها هي نفسها التي اتخذها شرودنجر نفسه لذا يمكنك رؤية طرق التفكير التي كان يقوم بها العملاق في عصره. للتذكير، إليك معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن في ثلاثة أبعاد (لجسيم غير نسبي) بكل جمالها:

الفيزياء الكمية والموجات

يعجب الجميع بانتقاد الفيزياء الكلاسيكية - ولكنها خدمتنا بشكل جيد لفترة طويلة (فكر في ميكانيكا نيوتن ومعادلات ماكسويل والنسبية الخاصة).

ومع ذلك، كما أظهرت مقالاتنا السابقة، لم تكن النتائج التجريبية في بداية القرن مبهرة بالمقارنة مع الفيزياء المعروفة في ذلك الوقت. مقالاتنا حول تجربة الشق المزدوج وفي بعض الأحيان تأثير الضوء الكهروضوئي هي نتائج تجريبية لم تتوافق بشكل جيد مع الفهم المعروف في ذلك الوقت.

ولكن لماذا؟ ببساطة، في الفيزياء الكلاسيكية يوجد كيانان، الجسيمات وال موجات. يمكن وصف خصائص هذين الكيانين كما يلي:

الجسيمات: حزم محلية من الطاقة والزخم ذات كتلة $m$ .

الموجات: اضطرابات منتشرة عبر المساحة والسفر عبر الزمن. يمكن وصفها بدالة موجية $\psi(\vec{r}, t)$ تصف الموجة عبر المساحة والزمن.

وهذا يقودنا إلى النتائج المفاجئة التي وجدناها في مقالنا عن الانبعاث الضوئي الكهروضوئي. وجدنا أن الإلكترون يظهر كلا الخاصتين. هذا يتناقض تمامًا مع الفهم المعروف في ذلك الوقت حيث كان يعتبر الكيانان متنافيين.

هل هذا مجنون؟ في هذه الفترة، بدأ بعض الشخصيات المؤثرة في الفيزياء تدرك وجود فجوة في المعرفة، وجاء الاختراق الكبير عندما ربط لويس دي بروغلي الزخم (للجسيمات) مع طول الموجة (للموجات) بواسطة

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

كذلك، من الانبعاث الضوئي نعلم أن امتصاص وانبعاث الفوتونات (ما زالت غير متأكدة ما إذا كانت جسيمات أو موجات) لها طاقة محددة بواسطة

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

حيث $\hbar = h/2\pi$ و $\omega=2\pi f$ . نحن الآن في نفس المرحلة التي كان عليها شرودنجر قبل اشتقاق معادلته الشهيرة. ولكن من أين نبدأ؟ حسنًا، نعلم أن الإلكترونات والفوتونات تظهر سلوكًا مماثلاً للموجات والجسيمات. لا يوجد شيء خاطئ في البدء بمعادلة عالمية يجب على جميع الموجات أن تلتزم بها ثم إدخال فيزياء الجسيمات لرؤية النتيجة.

كيفية اشتقاق معادلة الموجة

الاضطراب $\psi(\vec{r}, t)$ يخضع لمعادلة الموجة. تذكر، الإلكترون يظهر سلوكًا مشابهًا للموجات ولديه شحنة كهرومغناطيسية. لذلك، لننظر الآن فقط إلى الحقول الكهرومغناطيسية. في هذا السيناريو، تنطبق معادلات ماكسويل وفيما يلي هي بكل مجدها:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

حيث $c$ هي سرعة الضوء في الفراغ، $\vec{E}$ هو المجال الكهربائي و $\vec{B}$ هو المجال المغناطيسي. تعتبر المعادلة الأولى أعلاه أساس المولدات الكهربائية والملفائف والتراكمات وهي تجسيد لقانون فاراداي.

كما أن أحد الاستنتاجات من $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ هو عدم وجود أحاديات مغناطيسية. فهم اشتقاق هذه المعادلات ومعناها الفيزيائي يجعل المهندس أكثر توازناً. الآن، دعونا نشتق المعادلة التي يجب أن تلتزم بها أي موجة كهرومغناطيسية عن طريق تطبيق التواء على المعادلة 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

الآن يمكننا استخدام هوية متجهة معروفة جيدًا (ويمكن إثباتها بسهولة): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ حيث $T$ هو بعض المتجه الوصفي. عند تطبيقه على معادلتنا الصغيرة الآن:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

النتيجة التي لدينا هنا هي معادلة الموجة الكهرومغناطيسية في ثلاثة أبعاد. تظهر هذه المعادلة ليس فقط في الموجات الكهرومغناطيسية، بل ظهرت أيضًا في الصوتيات، وموجات الزلازل، وموجات الصوت، وموجات المياه، وديناميكيات السوائل.

كيفية اشتقاق معادلة شرودنجر

حلول موجة الطائرة لمعادلة الموجة

ابتداءً من معادلة الموجة لبعد واحد (من السهل جدًا التعميم إلى ثلاثة أبعاد بعد ذلك حيث ستطبق المنطق في جميع الأبعاد $x, y$ ، و $z$ ):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

هذه في الواقع معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية وتتحقق بحلول موجة الطائرة:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (تحقق من هذا بنفسك!). } \end{equation*}$

نعلم من ميكانيكا الموجات العادية أن $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ و $\omega = 2 \pi f$ . الآن، لنستخدم العمل من آينشتاين وكامبتون ونعوض في حقيقة أن طاقة الفوتون تعطى بواسطة $\mathsf{E} = \hbar \omega$ ومن دي بروغلي أن $p = h / \lambda = \hbar k$ . يمكننا تبسيط حلنا للموجة المستوية إلى:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

هذه هي معادلة الموجة المستوية التي تصف الفوتون. دعونا نعوض هذه المعادلة في معادلة الموجة الخاصة بنا ونرى ما سنجد!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

بعبارة أخرى، $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ وهو رائع لأننا نعلم من النسبية الخاصة أن الطاقة الكلية للجسيم النسبي الذي له كتلة $m$ هي:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

وقد تعاملنا حتى الآن فقط مع الفوتون الذي ليس لديه كتلة $(m=0)$ ! لذا دعونا نوسع فهمنا ونطبق الطاقة النسبية الكلية للجسيم ذي الكتلة (مثل الإلكترون على سبيل المثال) ونغير اسم معادلتنا إلى $\Psi$ لأننا أشخاص مميزون.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

هذه المعادلة جاءت مباشرة من استبدال معادلة الموجة المستوية للفوتون في معادلة الموجة. ومع ذلك، بما أننا نريد الآن حساب الطاقة لحل الطاقة النسبية الكلية للجسيم ذي الكتلة، فإننا بحاجة إلى تغيير معادلة الموجة قليلاً. هذا لأنه لا ينبغي أن تنطبق معادلة الموجة بشكل كامل على $\Psi$ الجديد الذي يصف الجسيمات والموجات. يمكننا الآن حل المعكوس للحصول على المشغل لمعادلة أعلاه، ويتم إعطاؤه بواسطة:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

حل معادلة الموجة لجسيمات ذات كتلة

نريد الآن إجراء بعض التبسيطات على الطاقة الكاملة التي وصفناها للتو بواسطة $\mathsf{E}$ لجسيم ذي زخم وكتلة. دعنا نعيد ترتيب الصيغة قليلاً حتى نتمكن من استخدام بعض التبسيطات.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

الهدف الرئيسي من هذا التعديل هو الحصول على المعادلة بالصورة $\sqrt{1 + x}$ لأن إذا أخذنا توسيع سلسلة تايلور لهذه المعادلة سنحصل على:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

عندما يكون $x$ صغيرًا، فإن الجزء الوحيد الذي يبقى في التوسيع الطايلوري هو $O(1)$ . في صيغة الطاقة لدينا، $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . يمكننا الاستفادة من حقيقة أن $p = mv \ll mc$ لأي شيء لا يسافر بسرعة الضوء (من فضلك ابحث عني إذا وجدت شيئًا لا يحقق هذا)! لذا فإن هذا المصطلح في الواقع يختزل إلى:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

حيث

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

هو الطاقة الحركية العادية التي نراها في الفيزياء الثانوية. الآن دعنا نعود إلى دالة الموجة السابقة، لنقم بإدخال هذه المعلومات الجديدة ونرى ما سننتهي به:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

لقد قمنا الآن بتقسيم المصطلحين لأن المصطلح الأول $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (又一次基于光速) سيكون أكثر تذبذباً بكثير من المصطلح الثاني ولا يصف بالضرورة الجسيم-الموجة الذي نبحث عنه. لذا، لنقم الآن بتعزيز هذا الاختلاف ونحدد أن:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

حيث قمنا الآن بتعريف:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

لنأخذ الآن المشتقات الجزئية الأولى والثانية لـ $\Psi(\vec{r},t)$ ونرى ما سننتهي به. الأولى:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

والثانية:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

يجب أن نتذكر أن الحد الأخير مع المشتقة الجزئية الثانية صغير جداً بسبب عدم وجود حد يحمل رتبة العدد $c^2$ ، وبالتالي تقريباً، فإن المشتقة الجزئية الثانية الفعلية تعطى بواسطة:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

السبب الخفي لأخذ هاتين المشتقتين الجزئيتين كان حتى نستطيع إدخالهما في هذه المعادلة التي تصف الدالة الموجية سابقاً:

ولكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نعيد ترتيب هذه الصيغة وسننتهي بمعادلة تسمى معادلة كلين-جوردون:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

الآن يمكننا بسهولة تعميم هذا إلى ثلاثة أبعاد من خلال تحويل هذه المعادلة إلى معادلة متجهية (كل الخطوات التي اتخذناها لاشتقاق هذه الصيغة ستكون صالحة لجميع $x,y$ ، و $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

تعتبر هذه المعادلة معروفة باسم معادلة كلاين-غوردون للجسيم الحر. هذه المعادلة نسبوية لأن حد الطاقة فيها لا يعتمد على الافتراضات التي قمنا بها مع التوسع الصغير لـ $\sqrt{1+x}$ تيلور.

الآن، دعونا نبسط معادلة كلاين-غوردون (بالرجوع إلى البعد الواحد وتطبيق صيغتنا الجديدة للطاقة) وسنصل إلى معادلة شرودنغر المنتظرة منذ زمن طويل:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

لنضع في اعتبارنا الدالة الموجية الجديدة المعطاة بواسطة $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ حيث نعرف ما يبدو عليه المشتقات الأولى والثانية بالنسبة للزمن:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

الآن كل ما نحتاج إليه هو إعادة ترتيب بسيطة للحصول على معادلة شرودنجر في ثلاثة أبعاد (لاحظ أن $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

حيث يمكن تقديم الحجة من خلال ملاحظة التشابه بين هاميلتونيان الكلاسيكي بأن المصطلح الموجود على الجانب الأيمن من المعادلة يصف الطاقة الكلية لدالة الموجة.

في استنتاجنا، افترضنا أن $V(\vec{r},t)$ هو صفر وأن فقط الطاقة الحركية تم أخذها في الاعتبار. نعلم أن الجهد هو مجرد إضافي بالنسبة لاختلافاته المكانية وبالتالي، فإن المعادلة الكاملة لشرودنجر في ثلاثة أبعاد مع الجهد تعطى بواسطة:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

هذا هو! هنا لدينا، هذا المقال قد استنتج المعادلة الكاملة لشرودنجر لجسيم غير نسبي في ثلاثة أبعاد. إذا أعجبك هذا المنشور وترغب في رؤية المزيد مثله، يرجى إرسال بريد إلكتروني إلينا لنعرف.

المراجع

Gasiorowicz, S. (2019). فيزياء الكم. الطبعة الثانية. كندا: Hamilton Printing، صفحات 1-50.
Griffiths, D. (2019). فيزياء الكم. الطبعة الثالثة. مطبعة الجامعة، كامبريدج: دار جامعة كامبريدج للنشر.
Ward, D. و Volkmer, S. (2019). كيفية استنتاج معادلة شرودنغر. [عبر الإنترنت] arXiv.org. متاح في: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [تاريخ الوصول: 29 مايو 2019].
Shankar, R. (1980). مبادئ فيزياء الكم. الطبعة الأولى. نيويورك: Springer Science، صفحات 1-40.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، إذا كان هناك انتهاك يرجى التواصل لحذفه.

قدم نصيحة وشجع الكاتب

المواضيع:

مقالات فيزياء

نظرية الكم

حول الخبراء

Electrical4u

China