श्रोडिङ्गर लहर समीकरण: व्युत्पन्न र व्याख्या

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स्क्रोडिङर समीकरण क्या है?

स्क्रोडिङर समीकरण (जिसे भी स्क्रोडिङर की तरंग समीकरण के रूप में जाना जाता है) एक आंशिक अवकल समीकरण है जो तरंग फलन के माध्यम से क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के गतिकी का वर्णन करता है। इन प्रणालियों के पथ, स्थिति, और ऊर्जा को स्क्रोडिङर समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

एक उप-परमाणुक कण के लिए सभी जानकारी एक तरंग फलन में एन्कोड की जाती है। तरंग फलन स्क्रोडिङर समीकरण को संतुष्ट करेगा और इसको हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। स्क्रोडिङर समीकरण एक बुनियादी अभिगृहीत है जो अंडरग्रेजुएट भौतिकी में पेश किया जाता है। यह अधिक से अधिक सामान्य हो रहा है कि विश्वविद्यालयों में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के पाठ्यक्रम में स्क्रोडिङर समीकरण को पेश किया जाए, क्योंकि यह अर्धचालक के लिए लागू होता है।

दुर्भाग्य से, दोनों मामलों में यह केवल एक पोस्टुलेट के रूप में बताया जाता है और किसी भी महत्वपूर्ण तरीके से व्युत्पन्न नहीं किया जाता है। यह बहुत असंतोषजनक है क्योंकि अंडरग्रेजुएट क्वांटम भौतिकी में पढ़ाए जाने वाले लगभग सभी चीजें इस आधार पर बनाई जाती हैं। इस लेख में, हम इस समीकरण को ग्राउंड अप से व्युत्पन्न करेंगे और मैं अपनी सर्वश्रेष्ठ कोशिश करूंगा कि प्रत्येक चरण को दिखाया जाए।

दिलचस्प रूप से, वे तर्क जो हम लगाएंगे, स्क्रोडिङर द्वारा लिए गए तर्क जैसे ही हैं, ताकि आप एक विशाल व्यक्ति के सोच के रेखाओं को देख सकें। याद दिलाने के लिए, यहाँ 3-आयामों में समय-संबंधी स्क्रोडिङर समीकरण (एक गैर-सापेक्षता सिद्धांतीय कण के लिए) इसकी सुंदरता में:

क्वांटम भौतिकी और तरंगें

हर कोई क्लासिकल भौतिकी को बाग देना पसंद करता है - लेकिन यह हमारे लिए बहुत लंबे समय तक अच्छा सेवा दिया (न्यूटोनियन यांत्रिकी, मैक्सवेल के समीकरण, और विशेष सापेक्षता सिद्धांत)।

तथापि, हाम्रो अघिल्लो लेखहरूमा देखाइएको अनुसार, सदीको मुडामा को प्रयोगशाला नतिजाहरूले त्यो समयको ज्ञात भौतिकीबाट तुलना गर्दा धेरै चमकिलो देखिँदैन। हाम्रो दुई छेद अनुभव र एक डिग्रीमा फोटोइलेक्ट्रिक प्रभावको बारेमा अध्ययन गरिएको प्रयोगशाला नतिजाहरूले त्यो समयको ज्ञात बुझाइलाई ठीक जोडिँदैन।

तर किन? सान्दर्भिक रूपमा, शास्त्रीय भौतिकीमा दुई वस्तुहरू छन्, कण र तरंगहरू। यी दुई वस्तुहरूको विशेषताहरू निम्नानुसार वर्णन गरिन सकिन्छ:

कण: ऊर्जा र गति र द्रव्यमानको स्थानीकृत बंडल $m$ ।

तरंगहरू: स्थान र समयमा फैलिएका विकार। उनीहरूलाई एउटा तरंग फंक्सन द्वारा वर्णन गरिन सकिन्छ $\psi(\vec{r}, t)$ जसले तरंगलाई स्थान र समयमा वर्णन गर्छ।

यो हाम्रो फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन लेखमा पाइएका आश्चर्यजनक नतिजालाई ले आउँछ। हामीले पाएको छ कि इलेक्ट्रनले यी दुई विशेषताहरू दुवै देखाउँछ। यो त्यो समयको ज्ञात बुझाइलाई पूर्ण विरोधाभासिक छ किनकि यी दुई वस्तुहरूलाई एकाइकै विशेष बुझिन्थ्यो।

पागल छ त? यो समयमा, भौतिकीमा केही वास्तवमा प्रभावशाली व्यक्तिहरूले ज्ञानमा एउटा अंतर छ भन्ने बुझ्न थिए, र एक ठूलो प्रगति भएको थियो जब लुई डी ब्रोग्लीले एक कणको गति (कणको लागि) र तरंगदैर्ध्य (तरंगको लागि) दिएको थिए

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

यसको अलावा प्रकाश-विद्युत प्रक्षेपण बाट हामीले जान्छौं कि फोटनहरू (अझै पण पार्टिकल वा तरंग हुन भन्ने निश्चित छैन) को ऊर्जा सोध र उत्सर्जन यस तर हुन्छ:

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

यहाँ $\hbar = h/2\pi$ र $\omega=2\pi f$ । हामी अब एउटै अवस्थामा छौं जस्तै श्रोडिङ्गर आफ्नो प्रसिद्ध समीकरण निकाल्नुभएको थिए। तर हामी कहाँबाट शुरु गर्नुहुन्छ? यद्यपि, हामीले जान्छौं कि इलेक्ट्रनहरू र फोटनहरू तरंग-जस्ता र पार्टिकल-जस्ता व्यवहार गर्छन्। यहाँ त्यहाँ एउटै यसको ठिक छैन यदि हामी सबै तरंगहरूले अनुसरण गर्नुपर्ने एक सामान्य समीकरणसँग शुरु गर्दछौं र त्यसको उपरिभागमा पार्टिकल भौतिकी ल्याउँदछौं देखि यदि कुनै परिणाम आउँछ।

तरंग समीकरण कसरी निकाल्नुहोस?

परिवर्तन $\psi(\vec{r}, t)$ तरंग समीकरणलाई अनुसरण गर्दछ। याद राख्नुहोस, इलेक्ट्रनले तरंग-जस्ता व्यवहार गर्छ र यसको विद्युत-चुम्बकीय आवेश छ। त्यसैले, अब आइयो विद्युत-चुम्बकीय क्षेत्रहरूमा देख्दै रहनुहोस्। यस स्थितिमा, मैक्सवेलका समीकरणहरू लागू हुन्छन् र यहाँ यसको चमकदार रूप:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

यहाँ $c$ एक रिक्त स्थान में प्रकाश की गति है, $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है। ऊपर दिए गए पहले समीकरण का आधार विद्युत जनरेटर, इंडक्टर और ट्रांसफोर्मर है और यह फाराडे के नियम का विस्तार है।

इसके अलावा, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ से एक निष्कर्ष यह है कि कोई चुंबकीय एकपोल नहीं मौजूद है। इन समीकरणों के उत्पादन और उनके पीछे के भौतिक अर्थ को समझने से एक व्यापक इंजीनियर बनता है। अब, हम समीकरण 4 पर कर्ल लगाकर उस समीकरण को व्युत्पन्न करेंगे जिसका कोई विद्युत-चुंबकीय तरंग अनुसरण करती है:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

अब हम एक बहुत ही परिचित (और आसानी से सिद्ध) सदिश पहचान का उपयोग कर सकते हैं: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ जहाँ $T$ कोई स्थानापन्न सदिश है। इसे हमारे छोटे समीकरण पर लागू करने पर:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

यहाँ हमारे पास तीन आयामों में विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण है। यह समीकरण केवल विद्युत चुम्बकीय तरंगों में ही नहीं, बल्कि ध्वनिक, सिज्मिक तरंगों, ध्वनि तरंगों, जल तरंगों और द्रव गतिशीलता में भी दिखाई देता है।

स्क्रोडिंगर समीकरण को कैसे निकालें

तरंग समीकरण के लिए समतल तरंग समाधान

एक आयाम (1-आयाम) के लिए तरंग समीकरण से शुरू करते हुए (बाद में 3-आयामों में सामान्यीकरण बहुत आसान होगा, क्योंकि तर्क सभी आयामों में लागू होगा: $x, y$ , और $z$ आयामों में):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

वास्तव में, यह एक द्वितीय क्रम का आंशिक अवकल समीकरण है और इसे समतल तरंग समाधानों से संतुष्ट किया जा सकता है:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (check this for yourself!). } \end{equation*}$

यहाँ हम आम तरंग यांत्रिकी से जानते हैं कि $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ और $\omega = 2 \pi f$ । अब, आइए आइन्स्टाइन और कॉम्प्टन के काम का उपयोग करें और फोटोन की ऊर्जा दी गई है इस तथ्य को प्रतिस्थापित करें कि $\mathsf{E} = \hbar \omega$ और डी-ब्रोग्ली से $p = h / \lambda = \hbar k$ । हम अपने तलीय तरंग समाधान को और भी विकसित कर सकते हैं:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

यह एक फोटोन को वर्णन करने वाला तलीय तरंग समीकरण है। चलिए इस समीकरण को हमारे तरंग समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि हम क्या पाते हैं!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

यानी, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ जो अच्छा है क्योंकि हम विशेष सापेक्षता से जानते हैं कि द्रव्यमान $m$ के साथ एक सापेक्षवादी कण की कुल ऊर्जा है:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

और अब तक हम केवल फोटॉन के साथ संबंधित रहे हैं जिसका द्रव्यमान $(m=0)$ ! तो चलिए हमारी समझ को विस्तारित करें और द्रव्यमान (जैसे इलेक्ट्रॉन) वाले कण के लिए कुल सापेक्षवादी ऊर्जा को लागू करें और हमारे समीकरण का नाम $\Psi$ में बदल दें क्योंकि हम बॉलर्स हैं।

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

अब यह समीकरण सीधे फोटॉन के लिए तल प्रवाह समीकरण को लहर समीकरण में प्रतिस्थापित करने से आया है। हालाँकि, चूँकि हम अब द्रव्यमान वाले कण के लिए कुल सापेक्षवादी ऊर्जा को हल करना चाहते हैं, हमें लहर समीकरण को थोड़ा बदलना होगा। यह इसलिए है क्योंकि लहर समीकरण पूरी तरह से हमारे नए $\Psi$ लिए लागू नहीं होना चाहिए जो कण और लहरों का वर्णन करता है। अब हम ऊपर दिए गए समीकरण के लिए ऑपरेटर को वापस हल कर सकते हैं, और यह दिया जाता है:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

तरंग समीकरणमा द्रव्यमान भएका कणहरूको लागि समाधान

अब हामीले $\mathsf{E}$ द्वारा वर्णन गरिएको पूर्ण ऊर्जामा केही अनुमानहरू गर्न चाहन्छौं, जुन संवेग र द्रव्यमान भएको कणको लागि हो। त्यसो भए हामी केही अनुमानहरू प्रयोग गर्न सकौं भन्ने उद्देश्यले सूत्रलाई थोरै पुनःव्यवस्थित गरौं।

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

यो प्रक्रियाको पूरै उद्देश्य समीकरणलाई $\sqrt{1 + x}$ को रूपमा ल्याउनु हो किनभने यदि हामी यस समीकरणको टेलर श्रृंखला विस्तार लिन्छौं भने हामीलाई प्राप्त हुन्छ:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

जब $x$ छोटा होता है, तो टेलर विस्तार में शेष रहने वाला भाग $O(1)$ पद ही रहता है। हमारे ऊर्जा सूत्र में, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ । हम इस तथ्य का लाभ उठा सकते हैं कि $p = mv \ll mc$ जो कुछ भी प्रकाश की गति से गतिमान नहीं है (यदि आप ऐसा कुछ ढूंढ लेते हैं तो मुझे बताएं)! इसलिए यह पद वास्तव में इस प्रकार से कम हो जाता है:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

जहाँ

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

हमारे उच्च विद्यालय के भौतिकी से जो नियमित गतिज ऊर्जा है। अब पहले से वेव फ़ंक्शन पर वापस आते हैं, चलो अब इस नई जानकारी को डालते हैं और देखते हैं कि हम किसके साथ समाप्त होते हैं:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

हामीले दुई पदोंलाई अब विभाजन गर्नेको कारण यो हो कि पहिलो पद $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (फेरि प्रकाशको गतिमा आधारित) दोस्रो पदभन्दा धेरै दोलाहरू छन् र यसले आवश्यक रूपमा हामीले चाहने कण-तरंग वस्तुलाई वर्णन गर्दिन छ। यस फरकलाई स्थिर गर्न, चलो अब यसलाई स्थापना गरौं:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

यहाँ हामीले अब परिभाषा गरेका छौं:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

चलो अब $\Psi(\vec{r},t)$ को पहिलो र दोस्रो आंशिक डेरिवेटिभ लिन र देखौं कि हामी कस्ता उत्तर मिल्छ। पहिलो:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

र दोस्रो:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

हामीले याद राख्नुपर्छ कि दोस्रो आंशिक डेरिवेटिभको साथ अन्तिम पद धेरै सानो छ किनभने $c^2$ पद जसको मात्रा क्रम छैन, त्यसैले अनुमान गर्दा, वास्तविक दोस्रो डेरिवेटिभ यसरी दिइन्छ:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

यी दुई आंशिक डेरिवेटिभ लिएको चालाक कारण यो थियो त्यो लागि कि हामीले यी दुई आंशिक डेरिवेटिभलाई अघि बताएको तरंग फंक्शनलाई वर्णन गर्ने यस समीकरणमा डाल्न चाहेको थिए:

तर यसको आगे गर्न अघि, आइए यो सूत्रलाई फेरि सजिलो गरौं र अन्तमा आमले क्लाइन-गोर्डन समीकरण नामक एक समीकरण पाउँछौं:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

अब हामीले यसलाई सजिलैँ ३-आयाममा सामान्यीकरण गर्न सक्छौं यस समीकरणलाई सदिश समीकरणमा परिणत गरेर (यो सूत्र प्राप्त गर्नका लागि हामीले जुन चरणहरू लिएका थियौं, ती सबै चरणहरू $x,y$ , र $z$ का लागि लागू हुनेछ।)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

यो समीकरणलाई खुली-गोर्डन समीकरणको रूपमा चिनिन्छ मुक्त कणका लागि। यो समीकरण आपेक्षिकवादी छ किनभने यसको ऊर्जा पदले हामीले सानो $\sqrt{1+x}$ टेलर विस्तारका साथ गरेका अनुमानहरू गर्दैन।

अब, आइए क्लाइन-गोर्डन समीकरणलाई सरल बनाऔं (फेरि १-डी मा फर्कौं र हाम्रो नयाँ ऊर्जा सूत्र लागू गरौं) र हामी लामो समयदेखि प्रतिक्षा गरिरहेको श्रोडिङ्गर समीकरणमा पुग्नेछौं:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

आइए हाम्रो नयाँ तरंग फलन राखौं जुन दिइएको छ $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ जहाँ हामीलाई थाहा छ कि समयका सन्दर्भमा प्रथम र दोस्रो व्युत्पन्नहरू कस्ता देखिन्छन्:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

अब हामीले यो सिम्पल रूपमा फेरि व्यवस्थित गर्नुहोस् र तिन आयामको श्रोडिङ्गर समीकरण प्राप्त गर्नुहोस् (ध्यान दिनुहोस् कि $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

जहाँ यो विचार गर्न सकिन्छ कि श्रोडिङ्गर समीकरणको दाई भाग लेख्याउँदा एउटा वेव फंक्सनको कुल ऊर्जा वर्णन गर्छ।

हाम्रो व्युत्पन्नमा, हामीले धेरै बाट गर्यो कि $V(\vec{r},t)$ ० छ र केवल गतिज ऊर्जा मात्र लिइयो। हामी जान्छौं कि इन्धन अपनाइएको ठाउँमा शुद्ध योगदान दिन्छ र त्यसैले, तिन आयामको श्रोडिङ्गर समीकरण इन्धनसहित दिइएको छ:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

यो छ! यहाँ हामीले तिन आयाममा गतिशील निरपेक्ष कणको लागि पूर्ण श्रोडिङ्गर समीकरण व्युत्पन्न गर्यौं। यदि तपाईंले यो पोस्ट पसन्द गरेका छ र यस्तो औंठो पोस्टहरू देख्न चाहनुहुन्छ भने, कृपया हामीलाई ईमेल गर्नुहोस् र यस्तो छन् भन्ने जानाउनुहोस्।

उद्धरणहरू

Gasiorowicz, S. (2019). क्वाण्टम भौतिकी. २ वाँ संस्करण. कनाडा: हैमिल्टन प्रिन्टिङ, पृष्ठहरू १-५०।
Griffiths, D. (2019). क्वाण्टम भौतिकी. ३ वाँ संस्करण. युनिवर्सिटी प्रिन्टिङ हाउस, केम्ब्रिज: केम्ब्रिज युनिवर्सिटी प्रेस।
Ward, D. र Volkmer, S. (2019). श्रोडिङर समीकरणलाई कसरी निकाल्ने. [ऑनलाइन] arXiv.org. उपलब्ध छ: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [पहुँचित २९ मे २०१९]।
Shankar, R. (1980).क्वाण्टम भौतिकीको सिद्धान्तहरू. १ वाँ संस्करण. न्यूयोर्क: स्प्रिंगर साइंस, पृष्ठहरू १-४०।

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