Equazione d'onda di Schrödinger: Derivazione e Spiegazione

Electrical4u

Campo: Elettricità di base

China

Cos'è l'equazione di Schrödinger?

L'equazione di Schrödinger (nota anche come equazione d'onda di Schrödinger) è un'equazione differenziale parziale che descrive la dinamica dei sistemi meccanici quantistici attraverso la funzione d'onda. La traiettoria, la posizione e l'energia di questi sistemi possono essere ottenute risolvendo l'equazione di Schrödinger.

Tutte le informazioni per una particella subatomica sono codificate all'interno di una funzione d'onda. La funzione d'onda soddisfa e può essere risolta utilizzando l'equazione di Schrödinger. L'equazione di Schrödinger è uno degli assiomi fondamentali introdotti nella fisica per studenti universitari. È inoltre sempre più comune trovare l'equazione di Schrödinger introdotta nel programma di ingegneria elettrica nelle università poiché si applica ai semiconduttori.

Sfortunatamente, viene enunciata solo come postulato in entrambi i casi e non viene mai derivata in modo significativo. Questo è piuttosto insoddisfacente poiché quasi tutto ciò che viene insegnato nella fisica quantistica universitaria si basa su questa base. In questo articolo, deriveremo l'equazione da zero e farò del mio meglio per mostrare ogni passaggio compiuto.

Interessantemente, gli argomenti che faremo sono gli stessi adottati da Schrödinger stesso, quindi potrai vedere le linee di pensiero di un gigante del suo tempo. Come promemoria, ecco l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in 3 dimensioni (per una particella non relativistica) nella sua bellezza:

Fisica quantistica e onde

A tutti piace criticare la fisica classica – ma ci ha servito bene per un bel po' di tempo (pensa alla meccanica newtoniana, alle equazioni di Maxwell e alla relatività speciale).

Tuttavia, come mostrato nei nostri articoli precedenti, i risultati sperimentali all'inizio del secolo non sembravano molto spettacolari rispetto alla fisica conosciuta al tempo. I nostri articoli sull'esperimento della doppia fenditura e, in parte, sull'effetto fotoelettrico, sono risultati sperimentali che non corrispondevano bene alla comprensione conosciuta al tempo.

Ma perché? Per riassumere, nella fisica classica esistono due entità, particelle e onde. Le caratteristiche di queste due entità possono essere descritte come segue:

Particelle: pacchetti localizzati di energia e quantità di moto con massa $m$ .

Onde: disturbi diffusi nello spazio che si propagano nel tempo. Possono essere descritte con una funzione d'onda $\psi(\vec{r}, t)$ che descrive l'onda nello spazio e nel tempo.

Questo ci porta ai sorprendenti risultati trovati nel nostro articolo sull'Emissione Fotoelettrica. Abbiamo scoperto che l'elettrone mostra entrambe queste proprietà. Questo contraddice completamente la comprensione conosciuta al tempo, poiché le due entità erano considerate mutuamente esclusive.

Incredibile, vero? In quel periodo, alcune figure influenti nella fisica iniziarono a rendersi conto che c'era un vuoto di conoscenza, e un grande passo avanti venne compiuto quando Louis de Broglie associò una quantità di moto (per una particella) a una lunghezza d'onda (per le onde), data da

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Inoltre, da Emissione fotoelettrica sappiamo che l'assorbimento e l'emissione di energia dei fotoni (ancora incerti se particella o onda) è dato da

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Dove $\hbar = h/2\pi$ e $\omega=2\pi f$ . Ci troviamo ora esattamente nella stessa fase in cui si trovava Schrödinger prima di derivare la sua famosa equazione. Ma da dove iniziamo? Sappiamo che gli elettroni e i fotoni mostrano un comportamento simile a quello delle onde e delle particelle. Non ci sarebbe niente di sbagliato nel partire da un'equazione universale che tutte le onde dovrebbero rispettare e poi introdurre la fisica delle particelle per vedere se c'è un risultato.

Come derivare l'Equazione dell'Onda

La perturbazione $\psi(\vec{r}, t)$ obbedisce all'equazione dell'onda. Ricordiamo, l'elettrone mostra un comportamento simile a quello delle onde e ha una carica elettromagnetica. Quindi, per ora, concentriamoci solo sui campi elettromagnetici. In questo scenario, si applicano le equazioni di Maxwell e qui sono presentate nella loro gloria:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto, $\vec{E}$ è il campo elettrico e $\vec{B}$ è il campo magnetico. La prima equazione sopra è alla base dei generatori elettrici, induttori e trasformatori ed è l'incarnazione della legge di Faraday.

Inoltre, una delle implicazioni di $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ è che non esistono monopoli magnetici. Comprendere la derivazione di queste equazioni e il significato fisico dietro di esse rende un ingegnere ben preparato. Ora, deriviamo l'equazione che ogni onda elettromagnetica deve rispettare applicando un rotore all'Equazione 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ora possiamo sfruttare un'identità vettoriale molto familiare (e facilmente dimostrabile): $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ dove $T$ è un vettore di sostituzione. Applicandolo alla nostra piccola equazione ora:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Il risultato che abbiamo qui è l'equazione d'onda elettromagnetica in tre dimensioni. Questa equazione si manifesta non solo in un'onda elettromagnetica, ma si è anche dimostrata in acustica, onde sismiche, onde sonore, onde dell'acqua e dinamica dei fluidi.

Come derivare l'equazione di Schrödinger

Soluzioni piane d'onda all'equazione d'onda

Iniziando con l'equazione d'onda per una dimensione (è molto facile generalizzarla poi a tre dimensioni poiché la logica si applicherà in tutte le $x, y$ , e $z$ dimensioni.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Questa è, in realtà, un'equazione differenziale parziale del secondo ordine e viene soddisfatta da soluzioni piane d'onda:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (controlla questo da te!). } \end{equation*}$

Dalla meccanica ondulatoria sappiamo che $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ e $\omega = 2 \pi f$ . Ora, utilizzando il lavoro di Einstein e Compton, sostituiamo il fatto che l'energia di un fotone è data da $\mathsf{E} = \hbar \omega$ e da de-Broglie che $p = h / \lambda = \hbar k$ . Possiamo ulteriormente elaborare la nostra soluzione dell'onda piana in:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Questa è l'equazione dell'onda piana che descrive un fotone. Sostituiamo questa equazione nella nostra equazione d'onda e vediamo cosa otteniamo!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

In altre parole, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ il che è ottimo perché sappiamo dalla relatività speciale che l'energia totale per una particella relativistica con massa $m$ è:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

E abbiamo trattato solo il fotone finora, che non ha massa $(m=0)$ ! Quindi, ampliamo la nostra comprensione e applichiamo l'energia relativistica totale per una particella con massa (come l'elettrone, per esempio) e cambiamo il nome della nostra equazione in $\Psi$ perché siamo dei baller.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Questa equazione proviene direttamente dalla sostituzione dell'equazione d'onda del fotone nell'equazione d'onda. Tuttavia, poiché ora vogliamo risolvere l'energia totale relativistica per una particella con massa, dobbiamo modificare leggermente l'equazione d'onda. Questo perché l'equazione d'onda non dovrebbe applicarsi completamente alla nostra nuova $\Psi$ che descrive particelle e onde. Ora possiamo risolvere all'indietro per un operatore per ottenere l'equazione sopra, ed è dato da:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Risoluzione per Particelle con Massa nell'Equazione d'Onda

Ora vogliamo fare alcune approssimazioni sull'energia totale che abbiamo appena descritto con $\mathsf{E}$ per una particella con momento e massa. Riordiniamo leggermente la formula in modo da poter utilizzare alcune approssimazioni.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

L'obiettivo di questa manipolazione è ottenere l'equazione nella forma $\sqrt{1 + x}$ perché se prendiamo un'espansione in serie di Taylor di questa equazione otteniamo:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Quando $x$ è piccolo, l'unica parte che rimane nello sviluppo di Taylor è il termine $O(1)$ . Nella nostra formula dell'energia, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Possiamo sfruttare il fatto che $p = mv \ll mc$ per qualsiasi cosa che non viaggi alla velocità della luce (per favore, fammi sapere se trovi qualcosa che non soddisfa questo)! Quindi, questo termine si riduce effettivamente a:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Dove

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

È l'energia cinetica normale che vediamo nella fisica delle superiori. Ora, tornando alla funzione d'onda di prima, inseriamo queste nuove informazioni e vediamo cosa otteniamo:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Il motivo per cui abbiamo ora separato i due termini è che il primo termine $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (basato nuovamente sulla velocità della luce) sarà significativamente più oscillatorio rispetto al secondo termine e non necessariamente descrive l'entità onda-particella che stiamo cercando. Quindi, per solidificare questa differenza, stabiliamo ora che:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Dove abbiamo ora definito:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Calcoliamo ora le derivate parziali prima e seconda di $\Psi(\vec{r},t)$ e vediamo cosa otteniamo. La prima:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

e la seconda:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Dovremmo tenere presente che l'ultimo termine con la seconda derivata parziale è piuttosto piccolo a causa del fatto che non c'è un termine $c^2$ che porta l'ordine di grandezza, e quindi per approssimazione, la vera seconda derivata è data da:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Il motivo nascosto per cui abbiamo preso queste due derivate parziali era quello di imputarle in questa equazione che descrive la funzione d'onda precedente:

Ma prima di farlo, riordiniamo questa formula e otterremo un'equazione chiamata equazione di Klein-Gordon:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ora possiamo generalizzare facilmente questo in 3 dimensioni trasformando questa equazione in un'equazione vettoriale (tutti i passaggi che abbiamo compiuto per derivare questa formula si applicheranno per tutti $x,y$ , e $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Questa equazione è conosciuta come l'equazione di Klein-Gordon per una particella libera. Questa equazione è relativistica poiché il suo termine di energia non fa le assunzioni che abbiamo fatto con la piccola $\sqrt{1+x}$ espansione di Taylor.

Ora, semplifichiamo l'equazione di Klein-Gordon (tornando a 1-D e applicando la nostra nuova formula dell'energia) e arriveremo all'attesa Equazione di Schrödinger:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Inseriamo la nostra nuova funzione d'onda data da $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ dove sappiamo a cosa somigliano la prima e la seconda derivata rispetto al tempo:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ora dobbiamo solo riordinare semplicemente per ottenere l'Equazione di Schrödinger in tre dimensioni (nota che $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Dove si può sostenere l'argomento notando la similitudine con l'hamiltoniana classica, il termine sul lato destro dell'equazione descrive l'energia totale della funzione d'onda.

Nella nostra derivazione, abbiamo assunto che $V(\vec{r},t)$ sia 0 e che sia stata considerata solo l'energia cinetica. Sappiamo che il potenziale è puramente additivo rispetto alle sue variazioni spaziali e quindi, l'equazione di Schrödinger completa in tre dimensioni con potenziale è data da:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Ecco fatto! Abbiamo derivato l'equazione di Schrödinger completa per una particella non relativistica in tre dimensioni. Se ti è piaciuto questo post e vorresti vedere altri simili, inviaci un'email per farcelo sapere.

Citazioni

Gasiorowicz, S. (2019). Fisica quantistica. 2ª ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Fisica quantistica. 3ª ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. e Volkmer, S. (2019). Come derivare l'equazione di Schrödinger. [online] arXiv.org. Disponibile su: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accesso 29 maggio 2019].
Shankar, R. (1980).Principi di meccanica quantistica. 1ª ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Dichiarazione: Rispetta l'originale, articoli di qualità meritano di essere condivisi, in caso di violazione dei diritti d'autore contattare per cancellazione.

Dai una mancia e incoraggia l'autore!

Argomenti:

Articoli di Fisica

Teoria Quantistica

Informazioni sugli esperti

Electrical4u

China

Area di competenza

Basic Electrical

Articolo professionale

607